锐角三角函数.docx
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锐角三角函数
教学设计
时间:
2010年3月21日星期一
课题:
28.1.1锐角三角函数
(一)第1课时
红庄中学:
张金鹏
一、教学目标:
1、知识与能力:
初步了解正弦、余弦、正切概念;能较正确地用siaA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比;熟记30°、45°、60°角的三角函数,并能根据这些值说出对应的锐角度数。
2.方法与过程:
逐步培养学生观察、比较、分析,概括的思维能力。
3.情感、态度与价值观:
提高学生对几何图形美的认识。
二、教学重点:
正弦、余弦、正切概念。
三、教学难点:
用含有几个字母的符号组siaA、cosA、tanA表示正弦,余弦,正切。
四、教学方法:
合作探究。
五、教学准备:
多媒体课件。
六、教学过程:
(一)探究活动一:
1.课本引入问题,再结合特殊角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。
2.归纳三角函数定义。
siaA=
cosA=
tanA=
3.例1.求如图所示的Rt
⊿ABC中的siaA,cosA,tanA的值。
B
(二)探究活动二:
1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sia30°、cos45°、tan60°
归纳结果
30°
45°
60°
siaA
cosA
tanA
2.求下列各式的值
(1)sia30°+cos30°
(2)
sia45°-
cos30°
(3)
+ta60°-tan30°
(三)拓展提高
如图,在⊿ABC中,∠A=30°,tanB=
AC=2
求AB
(四)小结:
(五)作业:
课本P77练习
七、教后反思:
(一)成功之处:
(二)不足之处:
第二课时
课题解直角三角形应用
(一)
教学目标
(一)知识与能力:
使学生理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
(二)方法与过程:
通过综合运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
(三)情感、态度与价值观:
渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯.
教学重点:
直角三角形的解法.
教学难点:
三角函数在解直角三角形中的灵活运用.
教学疑点:
学生可能不理解在已知的两个元素中,为什么至少有一个是边。
教学方法:
学生学法:
教学过程
(一)知识回顾
1.在三角形中共有几个元素?
2.直角三角形ABC中,∠C=90°,a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢?
(1)边角之间关系sinA=
cosA=
tanA
(2)三边之间关系a2+b2=c2(勾股定理)
(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°.
(二) 探究活动
1.我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系,利用这些关系,在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后,就可求出其余的元素.这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念,同时又陷入思考,为什么两个已知元素中必有一条边呢?
激发了学生的学习热情.
2.教师在学生思考后,继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边?
”让全体学生的思维目标一致,在作出准确回答后,教师请学生概括什么是解直角三角形?
(由直角三角形中除直角外的两个已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形).
3.例题评析
例1在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,且b=
a=
,解这个三角形.
例2在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,且b=20
=35
,解这个三角形(精确到0.1).
例3在Rt△ABC中,a=104.0,b=20.49,解这个三角形.
(三)巩固练习
在△ABC中,∠C为直角,AC=6,
的平分线AD=4
,解此直角三角形。
(四)总结与扩展
请学生小结:
1、在直角三角形中,除直角外还有五个元素,知道两个元素(至少有一个是边),就可以求出另三个元素.
2、解决问题要结合图形。
(五)、布置作业
第三课时
解直三角形应用
(二)
教学目标
(一)、知识与能力:
使学生了解仰角、俯角的概念,使学生根据直角三角形的知识解决实际问题.
(二)、方法与过程:
逐步培养分析问题、解决问题的能力.
(三)情感、态度与价值观:
渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯.
教学重点:
要求学生善于将某些实际问题中的数量关系,归结为直角三角形中元素之间的关系,从而解决问题.
教学难点:
要求学生善于将某些实际问题中的数量关系,归结为直角三角形中元素之间的关系,从而解决问题.
教学方法:
学生学法:
教学过程:
(一)回忆知识
1.解直角三角形指什么?
2.解直角三角形主要依据什么?
(1)勾股定理:
a2+b2=c2
(2)锐角之间的关系:
∠A+∠B=90°
(3)边角之间的关系:
tanA=
(二)新授概念
1.仰角、俯角
当我们进行测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,在水平线下方的角叫做俯角.
教学时,可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义.
2.例1
如图(6-16),某飞机于空中A处探测到目标C,此时飞行高度AC=1200米,从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′,求飞机A到控制点B距离(精确到1米)
解:
在Rt△ABC中sinB=
AB=
=
=4221(米)
答:
飞机A到控制点B的距离约为4221米.
(三).巩固练习:
练习
(四)总结与扩展
请学生总结:
本节课通过两个例题的讲解,要求同学们会将某些实际问题转化为解直角三角形问题去解决;今后,我们要善于用数学知识解决实际问题.
(五)、布置作业
第四课时
解直三角形应用(三)
教学目标
(一)知识与能力:
使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题,从而会把实际问题转化为数学问题来解决.
(二)能力目标:
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
(三)情感目标:
渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点,培养学生用数学的意识.
教学重点:
要求学生善于将某些实际问题中的数量关系,归结为直角三角形元素之间的关系,从而利用所学知识把实际问题解决.
教学难点:
要求学生善于将某些实际问题中的数量关系,归结为直角三角形中元素之间的关系,从而利用所学知识把实际问题解决.
教学方法:
学生学法:
教学过程:
1.导入新课
上节课我们解决的实际问题是应用正弦及余弦解直角三角形,在实际问题中有时还经常应用正切和余切来解直角三角形,从而使问题得到解决.
2.例题分析
例1.如图6-21,厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度为10米,∠A-26°,
求中柱BC(C为底边中点)和上弦AB的长(精确到0.01米).
分析:
上图是本题的示意图,同学们对照图形,根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边,本题已知什么,求什么?
例2.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65
方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南东34
方向上的B处。
这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)?
.
引导学生根据示意图,说明本题已知什么,求什么,利用哪个三角形来求解,用正弦、余弦、正切、余切中的哪一种解较为简便?
3、巩固练习
为测量松树AB的高度,一个人站在距松树15米的E处,测得仰角∠ACD=52°,已知人的高度是1.72米,求树高(精确到0.01米).
(三)总结与扩展
请学生总结:
通过学习两个例题,初步学会把一些实际问题转化为数学问题,通过解直角三角形来解决,具体说,本节课通过让学生把实际问题转化为数学问题,利用正切或余切解直角三角形,从而把问题解决.
本课涉及到一种重要教学思想:
转化思想.
4、布置作业
第五课时
解直三角形应用(四)
教学目标
(一)知识与能力
使学生懂得什么是横断面图,能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题.
(二)方法与过程:
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
(三)情感、态度与价值观:
培养学生用数学的意识;渗透转化思想;渗透数学来源于实践又作用于实践的观点.
教学重点:
把等腰梯形转化为解直角三角形问题;
教学难点:
如何添作适当的辅助线.
教学方法:
学生学法:
教学过程
1.出示已准备的泥燕尾槽,让学生有感视印象,将其横向垂直于燕尾槽的平面切割,得横截面,请学生通过观察,认识到这是一个等腰梯形,并结合图形,向学生介绍一些专用术语,使学生知道,图中燕尾角对应哪一个角,外口、内口和深度对应哪一条线段.这一介绍,使学生对本节课内容很感兴趣,激发了学生的学习热情.
2.例题
例燕尾槽的横断面是等腰梯形,图6-26是一燕尾槽的横断面,其中燕尾角B是55°,外口宽AD是180mm,燕尾槽的深度是70mm,求它的里口宽BC(精确到1mm).
分析:
(1)引导学生将上述问题转化为数学问题;等腰梯形ABCD中,上底AD=180mm,高AE=70mm,∠B=55°,求下底BC.
(2)让学生展开讨论,因为上节课通过做等腰三角形的高把其分割为直角三角形,从而利用解直角三角形的知识来求解.学生对这一转化有所了解.因此,学生经互相讨论,完全可以解决这一问题.
例题小结:
遇到有关等腰梯形的问题,应考虑如何添加辅助线,将其转化为直角三角形和矩形的组合图形,从而把求等腰梯形的下底的问题转化成解直角三角形的问题.
3.巩固练习
如图6-27,在离地面高度5米处引拉线固定电线杆,拉线和地面成60°角,求拉线AC的长以及拉线下端点A与杆底D的距离AD(精确到0.01米).
分析:
(1)请学生审题:
因为电线杆与地面应是垂直的,那么图6-27中△ACD是直角三角形.其中CD=5m,∠CAD=60°,求AD、AC的长.
(2)学生运用已有知识独立解决此题.教师巡视之后讲评.
4、小结
请学生作小结,教师补充.
本节课教学内容仍是解直角三角形,但问题已是处理一些实际应用题,在这些问题中,有较多的专业术语,关键是要分清每一术语是指哪个元素,再看是否放在同一直角三角形中,这时要灵活,必要时还要作辅助线,再把问题放在直角三角形中解决.在用三角函数时,要正确判断边角关系.
5、布置作业
第六课时
解直三角形应用(五)
教学目标
(一)知识与能力
巩固直角三角形中锐角的三角函数,学会解关于坡度角和有关角度的问题.
(二)方法与过程:
逐步培养学生分析问题解决问题的能力,进一步渗透数形结合的数学思想和方法.
(三)情感、态度与价值观:
培养学生用数学的意识;渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点.
教学重点:
能熟练运用有关三角函数知识.
教学难点:
解决实际问题.
教学疑点:
株距指相邻两树间的水平距离,学生往往理解为相邻两树间的距离而造成错误.
教学方法:
学生学法:
教学过程
1.探究活动一
(1)教师出示投影片,出示例题.
例1如图6-29,在山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m,测得斜坡的倾斜角是24°,求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m).
(2).引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形
已知:
Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5.5,∠A=24°,求AB.
(3).学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1.教师可请一名同学上黑板做,其余同学在练习本上做,教师巡视.
答:
斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米.
2.探究活动二
例2如图6-30,沿AC方向开山修渠,为了加快施工速度,要从小山的另一边同时施工,从AC上的一点B取∠ABD=140°,BD=52cm,∠D=50°,那么开挖点E离D多远(精确到0.1m),正好能使A、C、E成一条直线?
由题目的已知条件,∠D=50°,∠ABD=140°,BD=520米,求DE为多少时,A、C、E在一条直线上。
解:
要使A、C、E在同一直线上,则∠ABD是△BDE的一个外角.
∴∠BED=∠ABD-∠D=90°.
∴DE=BD·cosD
=520×0.6428=334.256≈334.3(m).
答:
开挖点E离D334.3米,正好能使A、C、E成一直线,
3、练习P95练习1,2。
4、小结与扩展
教师请学生总结:
在这类实际应用题中,都是直接或间接地把问题放在直角三角形中,虽然有一些专业术语,但要明确各术语指的什么元素,要善于发现直角三角形,用三角函数等知识解决问题.
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题);
(2)根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;
(3)得到数学问题的答案;
(4)得到实际问题的答案。
四、布置作业
课本习题P979,10
第七课时
解直三角形应用
一、
教学目标:
(一)知识与 能力
巩固用三角函数有关知识解决问题,学会解决坡度问题.
(二)方法与过程:
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力;渗透数形结合的数学思想和方法。
(三)情感、态度与价值观:
培养学生用数学的意识,渗透理论联系实际的观点.
教学重点:
解决有关坡度的实际问题.
教学难点:
理解坡度的有关术语.
教学疑点:
对于坡度i表示成1∶m的形式学生易疏忽,教学中应着重强调,引起学生的重视.
教学方法:
学生学法:
教学过程
1.创设情境,导入新课.
例同学们,如果你是修建三峡大坝的工程师,现在有这样一个问题请你解决:
如图6-33
水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,斜坡AB的坡度i=1∶3,斜坡CD的坡度i=1∶2.5,求斜坡AB的坡面角α,坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m).
介绍概念:
坡度与坡角
2.讲授新课
引导学生分析例题,图中ABCD是梯形,若BE⊥AD,CF⊥AD,梯形就被分割成Rt△ABE,矩形BEFC和Rt△CFD,AD=AE+EF+FD,AE、DF可在△ABE和△CDF中通过坡度求出,EF=BC=6m,从而求出AD.
解:
作BE⊥AD,CF⊥AD,在Rt△ABE和Rt△CDF中,
∴AE=3BE=3×23=69(m).
FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m).
∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m).
因为斜坡AB的坡度i=tan
=
≈0.3333,查表得
α≈18°26′
答:
斜坡AB的坡角α约为18°26′,坝底宽AD为132.5米,斜坡AB的长约为72.7米.
3.巩固练习
教材P124.2
4、总结与扩展
引导学生回忆前述例题,进行总结,以培养学生的概括能力.
1.弄清俯角、仰角、株距、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水位等概念的意义,明确各术语与示意图中的什么元素对应,只有明确这些概念,才能恰当地把实际问题转化为数学问题.
2.认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形,或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题.
3.选择合适的边角关系式,使计算尽可能简单,且不易出错.
4.按照题中的精确度进行计算,并按照题目中要求的精确度确定答案以及注明单位.
四、布置作业
1.看教材,培养看书习惯,作本章小结.
2.课本习题P96第5,8题