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离散数学复习提纲

集合论

一、基本概念

集合（set）：

做为整体识别的、确定的、互相区别的一些对象的总体。

规定集合的三种方式：

列举法、描述法、归纳法

集合论的三大基本原理

外延公理：

两个集合A和B相等当且仅当它们具有相同的元素（无序性）

概括公理：

对于任意个体域U，任一谓词公式P都确定一个以该域中的对象为元素的集合S（确定性）

正规公理：

不存在集合A1,A2,A3,…使得…∈A3∈A2∈A1（有限可分，集合不能是自己的元素）

注意：

隶属、包含的判断（有时两者兼有）

定理1：

对于任意集合A和B，A=B当且仅当AB且BA

传递性，对全集、空集的关系等

定理5：

空集是唯一的

子集、真子集、子集个数等

运算：

并、交、补、差、幂集，及一些运算性质、公式

幂集：

对任意集合A，ρ（A）称作A的幂集，定义为：

ρ（A）={x|xA}，所有子集的集合

设A,B为任意集合，AB当且仅当ρ（A）ρ（B）

集合族：

如果集合C中的每个元素都是集合，称C为集合族

集合族的标志集：

如果集合族C可以表示为某种下标的形，C={Sd|d∈D}，那么这些下标组成的集合称作集合族C的标志集

广义并、广义交，及相关运算性质、公式

归纳定义：

基础条款：

规定某些元素为待定义集合成员，集合其它元素可以从基本元素出发逐步确定

归纳条款：

规定由已确定的集合元素去进一步确定其它元素的规则

终极条款：

规定待定义集合只含有基础条款和归纳条款所确定的成员

基础条款和归纳条款称作“完备性条款”，必须保证毫无遗漏产生集合中所有成员

终极条款又称“纯粹性条款”，保证集合中仅包含满足完备性条款的那些对象

例：

自然数的归纳定义、数学归纳法等……（建议看一下课件例子了解一下思路）

二、关系

有序组（二元）：

设a,b为任意对象，称集合族{{a},{a,b}}为二元有序组，简记为

称a为的第一分量，b为第二分量

递归定义：

n=2时，={{a1},{a1,a2}}

n>2时，=<,an>

集合的笛卡儿积：

对任意集合A,A2,…,A，A1×A2称作集合A1，A2的笛卡儿积，定义如下：

A1×A2={|u∈A1,v∈A2}

A1×A2×…×An=（A1×A2×…×An-1）×An

定理：

对于任意有限集合A1,…,An，有|A1×…×An|=|A1|*…*|An|

一些运算性质

关系是各个对象之间的联系和对应

R称为集合A1,A2,…,An-1到An的n元关系，如果R是A1×A2×…×An的一个子集。

当A1=A2=…=An-1=An时，也称R为A上的n元关系

几个特殊二元关系：

空关系、全关系、相等关系

定义：

设R为A到B的二元关系（RA×B）

xRy表示∈R，¬xRy表示R

定义域domain：

Dom（R）={x|x∈A∧y（∈R）}

R的值域range：

Ran（R）={y|y∈B∧x（∈R）}

称A为R的前域，B为R的陪域

注意：

前域与定义域，陪域与值域的差别。

尤其是定义域与前域，与函数的差别

关系表示法：

集合表示法

关系图表示法（有向箭头，主要是前域陪域相同的关系图）

关系矩阵（mij=1当且仅当aiRbj；mij=0当且仅当¬aiRbj）

关系相等：

相同前域陪域，且xy（xRy↔xSy）

运算：

要有相同前域、陪域。

但总可以对关系的前域和陪域做适当的扩充，使之满足条件

并（矩阵分量析取）

交（矩阵分量合取）

差（前一个关系和后一个关系的补矩阵做合取）

补（矩阵做否定）

逆运算：

R~={|xRy}，RA×B，是B×A上的关系，关系矩阵转置

合成：

RA×B，SB×C，R和S的合成关系RS定义为：

RS={|x∈A∧z∈C∧y（y∈B∧xRy∧ySz）}，RSA×C

矩阵乘法，其中乘法用合取，加法用析取

幂运算：

定义为自身的n次合成Rn=R…R（n个R合成），R0=EA

幂关系有限定理：

设集合A的基数为n，R是A上的二元关系，则存在自然数i,j使得0≤i＜j≤2n2，有Ri=Rj（鸽笼原理，A×A有n2个元素，子集个数为2n^2个）

自反关系：

（就是每个元素都和自己有关系）

x（x∈A→xRx）

关系图：

每个节点都有环

关系矩阵：

对角线全为1

反自反关系：

（每个元素都和自己没关系）

x（x∈A→¬xRx）

关系图：

每个节点都没有环

关系矩阵：

对角线全为0

对称关系：

（每对关系都是相互的）

xy（x,y∈A∧xRy→yRx）

关系图：

两个节点之间有边的就有反向边

关系矩阵：

对称矩阵

反对称关系：

（若有相互关系则只能是同一个元素，不同元素间不能有相互关系）

xy（x,y∈A∧xRy∧yRx→x=y）

关系图：

两个节点之间只能有一条单向边

关系矩阵：

ci,j=1（i≠j）时cj,i=0

传递关系：

xyz（x,y,z∈A∧xRy∧yRz→xRz）

关系图：

如果有边v1v2,…,vn-1vn，则有边v1vn

注意：

A上的空关系是反自反的，不是自反的（此外是对称的、反对称的、传递的）

如果A=，那么A上的空关系就是自反的，同时也是反自反的，因为注意定义谓词的前件x∈A始终为假

A上的相等关系EA既是对称的，又是反对称的

即对于特殊集合、关系的判断要从定义式出发，注意前件的真假

R自反当且仅当EAR

R反自反当且仅当EA∩R

R对称当且仅当RR~

R反对称当且仅当R∩R~EA

R传递当且仅当R2R

运算的封闭性：

如果关系R的某个性质经过关系运算后仍然保持，则称该性质对这个运算封闭（以上5个特性对交和求逆运算都封闭，自反对合成封闭）

等价关系：

等价关系R为A上的自反、对称、传递的二元关系

等价类：

设R为A上的等价关系，对于每个a∈A，a的等价类记做[a]R（简记[a]），定义为：

[a]R={x|x∈A∧xRa}，a称作[a]R的代表元素

划分：

满足下列条件的集合A的子集族π

B（B∈π→B≠）（划分单元里没有空集）

∪π=A（所有划分单元合起来是全集）

BB’（B∈π∧B’∈π∧B≠B’→B∩B’=）（划分单元两两不相交）

π中的元素称为划分的单元

特别约定A=时只有划分

A上的等价关系R的所有等价类的集合，构成A的一个划分，称作等价关系R对应的划分

反过来，集合A的一个划分π，也对应A上的一个等价关系R，称作划分π对应的等价关系

等价关系和划分的一一对应

划分的“粗细”概念：

如果π1的每一个单元都包含于π2的某个单元，称π1细于π2，表示为π1≤π2；如果π1≤π2而且π1≠π2，则表示为π1＜π2，称作“真细于”

定理：

π1，π2分别是等价关系R1，R2对应的划分，那么R1R2↔π1≤π2

定理说明，越“小”（包含二元组较少）的等价关系对应越细的划分；最小的等价关系是相等关系EA；最大的等价关系是全关系

划分的运算：

（结合图来很好理解）

积划分运算：

划分π1和π2的积划分π1•π2是满足如下条件的划分：

π1•π2细于π1和π2；如果某个划分π细于π1和π2，则π一定细于π1•π2；也就是说，π1•π2是细于π1和π2的最粗划分（”最小公倍数”）

积划分对应于等价关系交运算

和划分运算：

划分π1和π2的和划分π1+π2是满足如下条件的划分：

π1和π2均细于π1+π2；如果有划分π，π1和π2均细于π，则π1+π2细于π。

也就是说，π1+π2是粗于π1和π2的最细划分（“最大公约数”）

和划分不对应于等价关系的并运算，而是对应于等价关系并运算结果的传递闭包

二元关系R的传递闭包t（R）：

t（R）是传递的，Rt（R），对于A上的任意一个具有传递性质且包含R的关系R’，t（R）R’

商集：

R是A上的等价关系，称A的划分{[a]R|a∈A}为A的R商集，记做A/R

A/（R1∩R2）=A/R1•A/R2

A/t（R1∪R2）=A/R1+A/R2

序关系：

R为集合A上的自反、反对称、传递的二元关系

存在序关系R的集合A称作有序集（orderedset），用二元有序组表示，一般的有序集表示成

哈斯图：

对序关系关系图的一种简化画法

由于序关系自反，各结点都有环，省去；

由于序关系反对称且传递，所以关系图中任何两个不同的结点直接不会有双向的边或通路，所以省去边的箭头，把向上的方向定为箭头方向

由于序关系传递，所以省去所有推定的边，即a≤b,b≤c有a≤c，省去ac边

元素排序：

a≤b，称a先于或等于b；a小于或等于b；如果¬（a≤b），则称a,b不可比较或者不可排序

最大（小）元、极大（小）元（必须是B中元素）：

为有序集，BA

B的最小元b：

b∈B∧x（x∈B→b≤x）（必须比每个B的元素都小于或等于）

B的最大元b：

b∈B∧x（x∈B→x≤b）（必须每个B的元素都比它小于或等于）

B的极小元b：

b∈B∧¬x（x∈B∧x≠b∧x≤b）（比B中每个可比元都小于或等于）

B的极大元b：

b∈B∧¬x（x∈B∧x≠b∧b≤x）（B中每个可比元都比它小于或等于）

极大和最大的差别在于B中是否包含不可比较的元素

最大（小）元必为极大（小）元；最大（小）元若有则唯一；极大（小）元恒存在未必唯一

上（下）界，上（下）确界（只要是A中元素）：

为有序集，BA

B的上界a：

a∈A∧x（x∈B→x≤a）（必须每个B的元素都比它小于或等于）

B的下界a：

a∈A∧x（x∈B→a≤x）（必须比每个B的元素都小于或等于）

B的上确界a：

a是B的所有上界的集合最小元

B的下确界a：

a是B的所有下界的集合最大元

最大（小）元是上（下）确界；属于B的上（下）界为最大（小）元；都未必存在

链、反链

半序关系：

R为集合A上的反自反、反对称、传递的二元关系（即序关系除去每个元素与自己的关系）

三、函数

定义：

如果X到Y的二元关系fX×Y，对于每个x∈X，都有唯一的y∈Y，使得∈f，则称f为X到Y的函数，记做：

X→Y

前域和定义域重合；单值性：

∈f∧∈f→y=y’

y=f（x），称x为自变元，y为函数在x处的值，y为x的像点，x为y的源点（基于映射）

X≠时，空关系不是函数，当X＝时，空关系是函数，称作空函数

函数的规定方法：

列表法、图标法、解析法、递归定义

函数相等与包含

函数个数：

如果|X|=m，|Y|=n，则{f|f:

X→Y}的基数为nm，共有nm个X到Y的函数。

X到Y的全体函数集合表示为YX

定义域子集的映象：

f’（A）={y|x（x∈A∧y=f（x））}（即定义域的一个子集A的值域）

函数合成（恩，不写了。

。

）

单射：

如果任意x1≠x2有f（x1）≠f（x2）。

如果f和g都是单射函数，则其合成gf也是单射函数。

如果gf是单射函数，则f是单射函数

满射：

如果任意y都有x使得y=f（x），即Ran（f）=Y。

如果f和g都是满射函数，则其合成gf也是满射函数。

如果gf是满射函数，则g是满射函数

双射函数：

如果f既是单射函数又是满射函数，称作双射函数。

如果f和g都是双射函数，则其合成gf也是双射函数。

如果gf是双射函数，则f是单射函数，g是满射函数

逆函数：

只有双射函数存在逆函数

左逆函数：

如果gf=EX，则称g为f的左逆函数

右逆函数：

如果fg=EY，则称g为f的右逆函数

f可逆当且仅当f既有左逆函数，又有右逆函数，而且左逆函数和右逆函数相等

图论

图：

由结点和联结结点的边所构成的离散结构G=

结点集V（非空），边集E（多重集，可以有多个相同边）

有向边：

结点的二元有序组表示

无向边：

结点的两元素多重集表示

有限图：

V,E都有限集

重边：

重数大于1的边

有重边的为重图，否则为单图

简单图：

无环无重边的无向图

完全图：

任意两个不同结点间都有边，Kn

孤立结点、零图（只有孤立结点）

赋权图：

G=，结点权函数：

V→W，边权函数：

E→W

结点的度：

d（v）定义为关联端点v的边的数目

注意对有向图来说度d（v）=d+（v）+d-（v）

度的总和为偶数，边数目的两倍；有向图出度等于入度

悬挂点：

一度的顶点

正则图：

所有顶点的度均相同的图称为正则图，按照顶点的度数k称作k-正则图，Kn是n-1正则图

子图、真子图：

边集结点集都必须为子集

生成子图：

结点集相同的子图

补图：

结点集相同，边集交集为空，并集为完全图

图的同构：

可以将V1中所有的结点一一对应地置换为V2中的结点名后得到的图等于G2

（同分异构体）

拟路径：

v1,e1,v2,e2,v3,…,vl-1,el-1,vl，其中ei=或者{vi,vi+1}，拟路径中的边数目称作拟路径的长度

路径：

拟路径中的边各不相同

闭路径：

v1=vl的路径

通路：

路径中的顶点各不相同

回路：

v1=vl的通路

路径和通路定理：

在有n个顶点的图G中，如果有顶点u到v的拟路径，那么u到v必有路径，并且必有长度不大于n-1的通路

闭路径和回路定理：

在有n个顶点的图G中，如果有顶点v到v的闭路径，那么必定有一条从v到v的长度不大于n的回路

可达：

u=v，或者存在一条u到v的路径

连通的无向图：

无向图中任意两个顶点都是可达的

强连通的有向图：

有向图中任意两个顶点都是互相可达的

单向连通的有向图：

任意两个顶点，至少从一个顶点到另一个是可达的

弱连通的有向图：

将有向图看作无向图时是连通的

连通分支：

图G的连通子图G’，而且G’不是任何其它连通子图的真子图（最大性）

欧拉图：

如果图G上有一条经过所有顶点、所有边的闭路径（允许顶点重复）

–无向图：

G连通，所有顶点的度都是偶数

–有向图：

G弱连通，每个顶点的出度与入度相等

欧拉路径：

如果图G上有一条经过所有顶点、所有边的路径（非闭）（允许顶点重复）

–无向图：

G连通，恰有两个顶点的度是奇数

–有向图：

G连通，恰有两个顶点出度与入度不相等，其中一个出度比入度多1，另一个入度比出度多1

哈密顿图：

如果图G上有一条经过所有顶点的回路（不要求经过所有边）

哈密顿通路：

如果图G上有一条经过所有顶点的通路（非回路）

判定定理（充分非必要）：

如果具有n个顶点的图G的每一对顶点的度数之和都不小于n-1，那么G中有一条哈密顿通路。

如果G的每一对顶点度数之和不小于n，且n>=3，则G为一哈密顿图

邻接矩阵：

无重边的有向图G=，其邻接矩阵A[G]定义为，aij=1,当∈E，aij=0,当E

注意：

与关系矩阵的联系。

拟路径，邻接矩阵自乘L次：

AL，则乘积结果矩阵中每个分量aij（L）的含义为G中顶点vi到vj的长度为L的拟路径条数

路径矩阵B=A∨A

（2）∨A（3）∨…∨A（|V|），其中A（m）=A∧A∧…∧A

B的每个分量bij表示vi到vj是否有路径

可达性矩阵：

P=I∨B，加上顶点的自身可达性

关联矩阵（简单无向图）：

表示顶点和边的关联关系，n*m矩阵。

通过矩阵的秩来判定图的连通分支个数

二分图：

满足如下条件的无向图G=

有非空集合X,Y,X∪Y=V,X∩Y=

每个{vi,vj}∈E，都有vi∈X∧vj∈Y或者vi∈Y∧vj∈X

可以用G=表示二分图bipartitegraph

如果X,Y中任意两个顶点之间都有边，则称为完全二分图。

记作K|X|,|Y|

二分图的等价条件：

G至少要有两个顶点，而且G中所有回路的长度都是偶数

匹配：

将E的子集M称作一个匹配，如果M中的任意两条边都没有公共端点。

边数最多的匹配称作最大匹配。

如果X（Y）中的所有的顶点都出现在匹配M中，则称M是X（Y）-完全匹配。

如果M既是X-完全匹配，又是Y-完全匹配，称M是完全匹配

**匈牙利算法：

任取一个匹配，取非饱和点走交错路（边交替属于不属于已有匹配），若终点是非饱和点，则令匹配为原匹配和增广路的♁（即属于这两个集合但不属于交集部分）；若终点是饱和点，则将起点去掉不再考虑（我猜不会考）

平面图：

如果无向图G可以在一个平面上图示出来，并且各边仅在顶点处相交，称作平面图。

K5和K3,3都不是平面图，K5是顶点数最少的非平面图，K3,3是边数最少的非平面图

平面图等价条件：

G或者G的子图作任何同胚操作（在原图的边上增加或者删除二度节点）后得到的图均不能以K5及K3,3为子图

树：

连通无回路的无向图称为树

树中的悬挂点称作树叶

非树叶节点称作分支点

仅有单个孤立节点的树称作空树

每个连通分支都是树的图称作森林（树也是森林）

性质：

简单、二分、平面

顶点数比边数多1

删去任意一条边就不连通

生成树：

如果图T是G的生成子图，且T是树。

任意连通图G都至少有一棵生成树

根树rootedtree递归定义

一个孤立节点v0是根树，v0称为树根

如果T1,T2,…Tk是根树，其树根分别是v1,v2,…,vk，则

V=V（T1）∪V（T2）∪…∪V（Tk）∪{v0}；

E=E（T1）∪E（T2）∪…∪E（Tk）∪{v0,,v1}∪{v0,,v2}…∪{v0,,vk}

T=也是根树，v0称为树根

Tn称为T的子树subtree，树根称为父节点parent，而子树的树根称为子节点child

v1,v2,…,vk互称兄弟节点sibling

根树中每个节点都是某个子树的根

n元树：

每个节点都至多有n个子节点的根树称作n元树

二元有序树可以用来表示任何n元有序树：

左子节点表示第一个子节点，右子节点表示下一个兄弟节点

二元树的遍历：

先根、中根、后根

应用：

表达式树、排序搜索树等

抽象代数

算术：

研究整数、有理数、实数和复数的加、减、乘、除等运算

代数：

算术的一般化，允许用字母等符号来代替数进行运算

代数结构：

在一个对象集合上定义若干运算，并设定若干公理描述运算的性质

非空集合S，称作代数结构的载体

载体S上的若干运算

一组刻画载体上各运算性质的公理

抽象代数：

抛弃代数结构中对象集合与运算的具体意义，研究运算的一般规律（交换、结合、分配），并对代数结构进行分类，研究其一般性质

运算：

Sn到S的一个函数，称为n元运算，常用*表示二元运算，常用Δ表示一元运算

运算的基本性质：

（必须要满足）

普遍性：

S中的所有元素都可参加运算

单值性：

相同的元素运算结果也相同且唯一

封闭性：

任何元素参加运算的结果也是S中的元素

二元运算一般性质：

（可以不满足）

结合律：

xyz（x,y,z∈S→x*（y*z）=（x*y）*z）

交换律：

xy（x,y∈S→x*y=y*x）

*运算对#运算满足分配律：

xyz（x,y,z∈S→x*（y#z）=（x*y）#（x*z））

幺元：

中的元素e，如果对任意x，满足x（x*e=e*x=x）

右幺元：

x（x*er=x）

左幺元：

x（el*x=x）

一般情况下，左右幺元可能是不同元素，也可能有多个

如果存在幺元，那么幺元是唯一的，而且同时是左右幺元

零元：

中的元素o，如果对任意x，满足x（x*o=o*x=o）

右零元：

x（x*or=or）

左零元：

x（ol*x=ol）

如果存在零元则唯一

逆元：

中有幺元e，如果x*y=e，那么x称作y的左逆元，y为x的右逆元

如果x*y=y*x=e，那么x,y互称逆元

多于1个元素的载体集上零元没有逆元

满足结合律的代数结构中，逆元唯一

可约cancelable元素：

中元素a，如果对任意x,y∈S有

a*x=a*y蕴涵x=y（左可约）

x*a=y*a蕴涵x=y（右可约）

那么a称为可约的

满足结合律的代数结构中，有逆元的元素可约