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数学提纲

中考数学复习资料

实数单元复习提纲

知识点：

有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对值。

有理数的运算种类、各种运算法则、运算律、运算顺序、科学计数法、近似数与有效数字、计算器功能鍵及应用。

大纲要求：

使学生复习巩固有理数、实数的有关概念．了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。

会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小。

画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小。

了解有理数的加、减、乘、除的意义，理解乘方、幂的有关概念、掌握有理数运算法则、运算委和运算顺序，能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方和简单的混合运算。

了解有理数的运算率和运算法则在实数运算中同样适用，复习巩固有理数的运算法则，灵活运用运算律简化运算能正确进行实数的加、减、乘、除、乘方运算。

了解近似数和准确数的概念，会根据指定的正确度或有效数字的个数，用四舍五入法求有理数的近似值（在解决某些实际问题时也能用进一法和去尾法取近似值），会按所要求的精确度运用近似的有限小数代替无理数进行实数的近似运算。

了解电子计算器使用基本过程。

会用电子计算器进行四则运算。

内容分析：

一、实数的有关概念

（1）实数的组成：

说明：

“分类”的原则：

1）相称（不重、不漏）；2）有标准。

（2）数轴：

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可），实数与数轴上的点是一一对应的。

数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数，

（3）相反数：

实数的相反数是一对数（只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反效是零）．从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称．

（4）绝对值：

从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离。

（5）倒数：

实数a（a≠0）的倒数是

（乘积为1的两个数，叫做互为倒数）；

零没有倒数．

二、实数的运算

实数的运算

（1）加法：

同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；异号两数相加。

取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；任何数与零相加等于原数。

（2）减法：

a-b=a+（-b）

（3）乘法：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．即

（4）除法：

（5）乘方：

（6）开方：

如果x2＝a且x≥0，那么

＝x；如果x3=a，那么

在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减．有括号时，先算括号里面．

3．实数的运算律

（1）加法交换律a+b＝b+a

（2）加法结合律（a+b）+c=a+（b+c）（3）乘法交换律ab＝ba（4）乘法结合律（ab）c=a（bc）（5）分配律a（b+c）=ab+ac其中a、b、c表示任意实数．运用运算律有时可使运算简便．

代数式单元复习提纲

知识点：

代数式、代数式的值、整式、同类项、合并同类项、去括号与去括号法则、幂的运算法则、整式的加减乘除乘方运算法则、乘法公式、正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂。

分式，分式的基本性质，最简分式，分式的运算，零指数，负整数，整数，整数指数幂的运算。

因式分解定义，提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式（十字相乘法、求根）、因式分解一般步骤。

平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、同类二次根式、二次根式运算、分母有理化。

等式及基本性质、方程、方程的解、解方程、一元一次方程、一元二次方程、简单的高次方程。

分式方程、二次根式的概念、解法思路、解法、增根。

大纲要求：

了解代数式的概念，会列简单的代数式。

理解代数式的值的概念，能正确地求出代数式的值；理解整式、单项式、多项式的概念，会把多项式按字母的降幂（或升幂）排列，理解同类项的概念，会合并同类项；掌握同底数幂的乘法和除法、幂的乘方和积的乘方运算法则，并能熟练地进行数字指数幂的运算；能熟练地运用乘法公式（平方差公式，完全平方公式及（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab）进行运算；掌握整式的加减乘除乘方运算，会进行整式的加减乘除乘方的简单混合运算。

了解分式的概念，会确定使分式有意义的分式中字母的取值范围。

掌握分式的基本性质，会约分，通分。

会进行简单的分式的加减乘除乘方的运算。

掌握指数指数幂的运算。

大纲要求：

理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法，能把简单多项式分解因式。

理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。

会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）；了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。

掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。

理解方程和一元一次方程、一元二次方程概念；理解等式的基本性质，能利用等式的基本性质进行方程的变形，掌握解一元一次方程的一般步骤，能熟练地解一元一次方程；会推导一元二次方程的求根公式，理解公式法与用直接开平方法、配方法解一元二次方程的关系，会选用适当的方法熟练地解一元二次方程；了解高次方程的概念，会用因式分解法或换元法解可化为一元一次方程和一元二次方程的简单的高次方程；体验“未知”与“已知”的对立统一关系。

了解分式方程、二次根式方程的概念。

掌握把简单的分式方程、二次根式方程转化为一元一次方程、一元二次方程的一般方法，会用换元法解方程，会检验。

内容分析：

一、代数式

1．代数式的有关概念

（1）代数式：

代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．

（2）代数式的值；用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果p叫做代数式的值．求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．（3）代数式的分类

2．整式的有关概念

（1）单项式：

只含有数与字母的积的代数式叫做单项式．对于给出的单项式，要注意分析它的系数是什么，含有哪些字母，各个字母的指数分别是什么。

（2）多项式：

几个单项式的和，叫做多项式。

对于给出的多项式，要注意分析它是几次几项式，各项是什么，对各项再像分析单项式那样来分析

（3）多项式的降幂排列与升幂排列：

把一个多项式技某一个字母的指数从大列小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列。

把—个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺斤排列起来，叫做把这个多项式技这个字母升幂排列，给出一个多项式，要会根据要求对它进行降幂排列或升幂排列．

（4）同类项：

所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类顷．要会判断给出的项是否同类项，知道同类项可以合并．即

{注意：

其中的X可以代表单项式中的字母部分，代表其他式子。

}3．整式的运算

（1）整式的加减：

几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接．整式加减的一般步骤是：

（i）如果遇到括号．按去括号法则先去括号：

括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉。

括号里各项都不变符号，括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉．括号里各项都改变符号．

（ii）合并同类项：

同类项的系数相加，所得的结果作为系数．字母和字母的指数不变．

（2）整式的乘除：

单项式相乘（除），把它们的系数、相同字母分别相乘（除），对于只在一个单项式（被除式）里含有的字母，则连同它的指数作为积（商）的一个因式相同字母相乘（除）要用到同底数幂的运算性质：

多项式乘（除）以单项式，先把这个多项式的每一项乘（除）以这个单项式，再把所得的积（商）相加．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．遇到特殊形式的多项式乘法，还可以直接算：

（3）整式的乘方

单项式乘方，把系数乘方，作为结果的系数，再把乘方的次数与字母的指数分别相乘所得的幂作为结果的因式。

单项式的乘方要用到幂的乘方性质与积的乘方性质：

多项式的乘方只涉及

二、分式

1．分式的有关概念

设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子

就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义。

分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简

2、分式的基本性质

（M为不等于零的整式）

2．分式的运算（分式的运算法则与分数的运算法则类似）．

（异分母相加，先通分）；

4．零指数

5．负整数指数

注意正整数幂的运算性质

可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m、n可以是O或负整数。

三、因式分解

多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．分解因式的常用方法有：

（1）提公因式法如多项式

其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．

（2）运用公式法，即用

写出结果．（3）十字相乘法

对于二次项系数为l的二次三项式

寻找满足ab=q，a+b=p的a，b，如有，则

对于一般的二次三项式

寻找满足a1a2=a，c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1，a2，c1，c2，如有，则

（4）分组分解法：

把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．分组时要用到添括号：

括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号.

（5）求根公式法：

如果

有两个根X1，X2，那么

四、数的开方与二次根式

1．二次根式的有关概念

（1）二次根式式子

叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O．

（2）最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．

（3）同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．

2．二次根式的性质

3．二次根式的运算

（1）二次根式的加减二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．

（2）三次根式的乘法二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即

二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行。

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．

（3）二次根式的除法二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去（或分子、分母约分）．把分母的根号化去，叫做分母有理化．

五、整式方程

1．方程的有关概念

含有未知数的等式叫做方程．使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解（只含有—个未知数的方程的解，也叫做根）．

2．一次方程（组）的解法和应用

只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为零的方程，叫做一元一次方程．解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化成1．

3.一元二次方程的解法

（1）直接开平方法形如（mx+n）2=r（r≥o）的方程，两边开平方，即可转化为两个一元一次方程来解，这种方法叫做直接开平方法．

（2）配方法把一元二次方程通过配方化成（mx+n）2=r（r≥o）的形式，再用直接开平方法解，这种方法叫做配方法．

（3）公式法通过配方法可以求得一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式：

用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．

（4）因式分解法如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的左边可以分解为两个一次因式的积，那么根据两个因式的积等于O，这两个因式至少有一个为O，原方程可转化为两个一元一次方程来解，这种方法叫做因式分解法．

六、分式方程与二次根式方程内容分析：

1．分式方程的解法

（1）去分母法：

用去分母法解分式方程的一般步骤是：

（i）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（ii）解这个整式方程；（iii）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去.在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入最简公分母.

（2）换元法：

用换元法解分式方程，也就是把适当的分式换成新的未知数，求出新的未知数后求出原来的未知数．

2．二次根式方程的解法

（1）两边平方法：

用两边平方法解无理方程的—般步骤是：

（i）方程两边都平方，去掉根号，化成有理方程；（ii）解这个有理方程；（iii）把有理方程的根代入原方程进行检验，如果适合，就是原方程的根，如果不适合，就是增根，必须舍去．在上述步骤中，两边平方是关键，验根必须代入原方程进行．

（2）换元法：

用换元法解无理方程，就是把适当的根号下台有未知数的式子换成新的未知数，求出新的未知数后再求原来的未知数．

统计初步单元复习提纲

知识点：

总体、个体、样本、样本容量、平均数、方差、标准差、方差的简化公式、频率分布、频率分布直方图。

必然事件、不可能事件、随机事件、概率、等可能性事件、树图、生命表意义、期望值。

大纲要求：

了解总体、个体、样本、样本容量等概念；了解样本方差、总体方差、样本标准差的意义，理解加权平均数的概念，掌握它的计算公式，会计算样本方差和样本标准差，理解频数、频率的概念，掌握整理数据的步骤和方法，会列出样本频率分布表，画出频率分布直方图。

了解学习概率的意义，理解随机事件、不可能事件、必然事件，理解并学会概率的定义及其统计算法和等可能性事件的概率及其计算方法，了解并初步学会概率的简单应用。

内容分析

1、重要概念：

1.总体：

考察对象的全体。

2.个体：

总体中每一个考察对象。

3.样本：

从总体中抽出的一部分个体。

4.样本容量：

样本中个体的数目。

5.众数：

一组数据中，出现次数最多的数据。

6.中位数：

将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数据的平均数）

2、计算方法

1.样本平均数：

⑴

;⑵若

，

，…，

则

（a—常数，

，

，…，

接近较整的常数a）;⑶加权平均数：

;⑷平均数是刻划数据的集中趋势（集中位置）的特征数。

通常用样本平均数去估计总体平均数，样本容量越大，估计越准确。

2．样本方差：

⑴

;⑵若

…,

则

（a—接近

、

、…、

的平均数的较“整”的常数）;若

、

、…、

较“小”较“整”，则

;⑶样本方差是刻划数据的离散程度（波动大小）的特征数，当样本容量较大时，样本方差非常接近总体方差，通常用样本方差去估计总体方差。

3．样本标准差：

方程（组）、不等式（组）单元复习提纲

一、方程组

知识要点：

方程组、方程组的解、解方程组、二元一次方程（组）、三元一次方程（组）、二元二次方程（组）、解方程组的基本思想、解方程组的常见方法。

一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理。

列方程（组）解应用题的一般步骤、列方程（组）解应用题的核心、应用问题的主要类型。

能够列方程（组）解应用题。

不等式概念，不等式基本性质，不等式的解集，解不等式，不等式组，不等式组的解集，解不等式组，一元一次不等式，一元一次不等式组。

大纲要求：

了解方程组和它的解、解方程组等概念，灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组，并会解简单的三元一次方程组。

掌握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法，掌握由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的二元二次方程组成的方程组的解法。

掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。

对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；掌握韦达定理及其简单的应用；会在实数范围内把二次三项式分解因式；会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题。

理解不等式，不等式的解等概念，会在数轴上表示不等式的解；理解不等式的基本性质，会应用不等式的基本性质进行简单的不等式变形，会解一元一次不等式；理解一元一次不等式组和它的解的概念，会解一元一次不等式组；能应用一元一次不等式（组）的知识分析和解决简单的数学问题和实际问题。

内容分析：

一、方程（组）

1.方程组的有关概念

含有两个未知数并且未知项的次数

是1的方程叫做二元一次方程．两

个二元—次方程合在一起就组成了

一个—。

元一次方程组．二元一次

方程组可化为

（a，b，m、n不全为零）的形式.使方程组中的各个方程的左、右两边都相等的未知数的值，叫做方程组的解．

2.一次方程组的解法和应用

解二元（三元）一次方程组的一般方法是代入消元法和加减消元法．

3.简单的二元二次方程组的解法

（1）可用代入法解一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组．

（2）对于两个二元三次方程组成的方程组，如果其中一个可以分解因式，那么原方程组可以转化为两个由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组来解．

二、判别式与韦达定理

1.一元二次方程的根的判别式

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△＝b2-4ac。

当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根．

2.一元二次方程的根与系数的关系

（1）如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么

，

（2）如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-P，x1x2=q

（3）以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2-（x1+x2）x+x1x2=0．

3.二次三项式的因式分解（公式法）在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是x1,x2，那么ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）．

三、应用题

列出方程（组）解应用题的一般步骤是：

㈠概述列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。

其具体步骤是：

⑴审题。

理解题意。

弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。

⑵设元（未知数）。

①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。

一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。

一般地，未知数个数与方程个数是相同的。

⑸解方程及检验。

⑹答案。

综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。

在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。

因此，列方程是解应用题的关键。

㈡常用的相等关系

1．行程问题（匀速运动）

2．基本关系：

s=vt

1

相遇问题（同时出发）：

+

=

;

2

追及问题（同时出发）：

若甲出发t小时后，乙才出发，而后在B处追上甲，则

3水中航行：

;

3．配料问题：

溶质=溶液×浓度　　溶液=溶质+溶剂

4．3．增长率问题：

4．工程问题：

基本关系：

工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看着单位“1”）。

5．几何问题：

常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。

㈢注意语言与解析式的互化；如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、……

又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：

100a+10b+c，而不是abc。

㈣注意从语言叙述中写出相等关系。

如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。

又如，x与y的差为3，则x-y=3。

㈤注意单位换算。

如，“小时”“分钟”的换算;s、v、t单位的一致等。

四、不等式

1．定义：

a＞b、a＜b、a≥b、a≤b、a≠b。

2．一元一次不等式：

ax＞b、ax＜b、ax≥b、ax≤b、ax≠b（a≠0）。

3．一元一次不等式组：

4．不等式的性质：

⑴a>b←→a+c>b+c　⑵a>b←→ac>bc（c>0）　⑶a>b←→acb,b>c→a>c　⑸a>b,c>d→a+c>b+d.

5．一元一次不等式的解、解一元一次不等式

6．一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组（在数轴上表示解集）

7．一元一次不等式、一元一次不等式组的解法

（1）只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为零的不等式，叫做一元一次不等式．解一元一次不等式的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化成1．要特别注意，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，要改变不等号的方向．

（2）解一元一次不等式组的一般步骤是：

（i）先求出这个不等式组中各个一元一次不等式的解集；（ii）再利用数轴确定各个解集的公共部分，即求出了这个一元一次不等式组的解集．

函数及其图象单元复习提纲

一、坐标系与函数

知识点：

平面直角坐标系、常量与变量、函数与自变量、函数表示方法。

正比例函数及其图像、一次函数及其图像、反比例函数及其图像。

二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向。

大纲要求：

1.了解平面直角坐标系的有关概念，会画直角坐标系，能由点的坐标系确定点的位置，由点的位置确定点的坐标；2.理解常量和变量的意义，了解函数的一般概念，会用解析法表示简单函数；3.理解自变量的取值范围和函数值的意义，会用描点法画出函数的图像。

理解正比例函数、一次函数、反比例函数的概念；理解正比例函数、一次函数、反比例函数的性质；会画出它们的图像；会用待定系数法求正比例、反比例函数、一次函数的解析式。

理解二次函数的概念；会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；会平移二次函数y＝ax2（a≠0）的图象得到二次函数y＝a（ax＋m）2＋k的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；会用待定系数法求二次函数的解析式；利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。

内容分析：

1．平面直角坐标系的初步知识

在平面内画两条互相垂直的数轴，就组成平面直角坐标系，水平的数轴叫做x轴或横轴（正方向向右），铅直的数轴叫做y轴或纵轴（正方向向上），两轴交点O是原点．这个平面叫做坐标平面．x轴和y把坐标平面分成四个象限（每个象限都不包括坐标轴上的点），要注意象限的编号顺序及各象限内点的坐标的符号：

由坐标平面内一点向x轴作垂线，垂足在x轴上的坐标叫做这个点的横坐标，由这个点向y轴作垂线，垂足在y轴上的坐标叫做这个点的纵坐标，这个点的横坐标、纵坐标合在一起叫做这个点的坐标（横坐标在前，纵坐标在后）．一个点的坐标是一对有序实数，对于坐标平面内任意一点，都有唯一一对有序实数和它对应，对于任意一对有序实数，在坐标平面都有一点和它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．

2．函数设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数．用数学式子表示函数的方法叫做解析法．在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值范围必须使解析式有意义．遇到实际问题，还必须使实际问题有意义．当自变量在取值范围内取一个值时，函数的对应值叫做自变量取这个值时的函数值．

3．函数的图象

把自变量的一个值和自变量取这个值时的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，可以在坐