高三高考数学国步分项分类题及析答案玉.docx

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高三高考数学国步分项分类题及析答案玉

高三高考数学国步分项分类题及析答案玉

12-2坐标系与参数方程

基础巩固强化

1.（文）极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是（　　）

A．直线、直线　　　　　　B．直线、圆

C．圆、圆D．圆、直线

[答案]　D

[解析]　由ρ＝cosθ得ρ2＝ρcosθ，∴x2＋y2－x＝0.此方程所表示的图形是圆．

消去方程中的参数t可得，x＋y－1＝0，此方程所表示的图形是直线．

（理）（2011·皖中地区示范高中联考）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t∈R），圆的参数方程为（θ∈[0,2π）），则圆心C到直线l的距离为（　　）

A．0　　　　　　　　　　B．2

C.D.

[答案]　C

[解析]　化直线l的参数方程（t∈R）为普通方程为x－y＋1＝0，化圆的参数方程（θ∈[0,2π））为普通方程为（x－1）2＋y2＝1，则圆心C（1,0）到直线l的距离为＝.

2．若直线的参数方程为（t为参数），则直线的倾斜角为（　　）

A．30°B．60°

C．120°D．150°

[答案]　A

[解析]　由直线的参数方程知，斜率k＝＝＝＝tanθ，θ为直线的倾斜角，所以该直线的倾斜角为30°.

3．（文）（2011·北京市西城区高三模拟）在极坐标系中，过点（1,0）并且与极轴垂直的直线方程是（　　）

A．ρ＝cosθB．ρ＝sinθ

C．ρcosθ＝1D．ρsinθ＝1

[答案]　C

[解析]　过点（1,0）且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x＝1，所以其极坐标方程为ρcosθ＝1，故选C.

（理）在极坐标系中，过点（2，）且与极轴平行的直线的方程是（　　）

A．ρcosθ＝B．ρsinθ＝

C．ρ＝cosθD．ρ＝sinθ

[答案]　B

[解析]　设P（ρ，θ）是所求直线上任意一点，则ρsinθ＝2sin，∴ρsinθ＝，故选B.

4．在平面直角坐标系中，经伸缩变换后曲线方程x2＋y2＝16变换为椭圆方程x′2＋＝1，此伸缩变换公式是（　　）

A.B.

C.D.

[答案]　B

[解析]　设此伸缩变换为

代入x′2＋＝1，

得（λx）2＋＝1，

即16λ2x2＋μ2y2＝16，

与x2＋y2＝16比较得

故

故所求变换为

故选B.

5．设极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴为x轴正半轴，则直线（t为参数）被圆ρ＝3截得的弦长为（　　）

A.B.

C.D.

[答案]　B

[解析]　圆的直角坐标方程为x2＋y2＝9，直线的参数方程化为普通方程为x－2y＋3＝0，则圆心（0,0）到直线的距离d＝.所以弦长为2＝.

6．抛物线x2－2y－6xsinθ－9cos2θ＋8cosθ＋9＝0的顶点的轨迹是（其中θ∈R）（　　）

A．圆B．椭圆

C．抛物线D．双曲线

[答案]　B

[解析]　原方程变形为：

y＝（x－3sinθ）2＋4cosθ.设抛物线的顶点为（x，y），则，消去参数θ得轨迹方程为＋＝1.它是椭圆．

7．（文）极坐标系中，点A在曲线ρ＝2sinθ上，点B在曲线ρcosθ＝－2上，则|AB|的最小值为________．

[答案]　1

[解析]　ρ＝2sinθ⇒ρ2＝2ρsinθ

∴x2＋y2－2y＝0，即x2＋（y－1）2＝1；

∵ρcosθ＝－2，∴x＝－2，

易知圆心（0,1）到直线x＝－2的距离为2，圆半径为1，故|AB|min＝1.

（理）（2011·安徽“江南十校”联考）在极坐标系中，直线ρsin（θ－）＝与圆ρ＝2cosθ的位置关系是________．

[答案]　相离

[解析]　直线的直角坐标方程为x－y＋1＝0，圆的直角坐标方程为（x－1）2＋y2＝1，其圆心C（1,0），半径r＝1.因为圆心到直线的距离d＝＝>1，故直线与圆相离．

8．（文）已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcosθ＝3，ρ＝4cosθ（ρ≥0,0≤θ<），则曲线C1与C2交点的极坐标为________．

[答案]　

[解析]　化为直角坐标方程为x＝3和x2＋y2＝4x（y≥0），故交点为（3，），其极坐标为.

[点评]　可直接解得

（理）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ（cosθ＋sinθ）＝1与ρ（sinθ－cosθ）＝1的交点的极坐标为__________．

[答案]　（1，）

[解析]　曲线ρ（cosθ＋sinθ）＝1化为直角坐标方程为x＋y＝1，ρ（sinθ－cosθ）＝1化为直角坐标方程为y－x＝1.联立方程组，得，则交点为（0,1），对应的极坐标为（1，）．

[点评]　可直接由两方程联立解出交点坐标，

∵∴

∵ρ≠0，∴cosθ＝0，∴θ＝＋kπ　（k∈Z），

∴sinθ＝±1，∵ρ>0，∴sinθ＝1，

∴θ＝＋2nπ（n∈Z），ρ＝1，

令n＝0得，交点的一个极坐标为（1，）．

9．（文）直线（t为参数）被曲线ρ＝cos（θ＋）所截的弦长为________．

[答案]　

[解析]　由得直线方程为3x＋4y＋1＝0，

∵ρ＝cos（θ＋）＝cosθ－sinθ，

∴ρ2＝ρcosθ－ρsinθ，∴x2＋y2＝x－y，

即（x－）2＋（y＋）2＝.

圆心到直线的距离d＝，

∴弦长＝2×＝.

（理）已知直线l的参数方程是（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝，则直线l被曲线C截得的弦长等于________．

[答案]　

[解析]　由ρ＝得，ρ＝，∴ρ2（1＋sin2θ）＝2，∴x2＋2y2＝2，将代入并化简得，7t2－4t－4＝0，∴t1＋t2＝，t1t2＝－，

∴|t1－t2|＝＝＝.

10．（文）（2012·山西高考联合模拟）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ＋）＝0.

（1）写出直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程；

（2）求圆C截直线l所得的弦长．

解析：

（1）消去参数得圆C的普通方程为（x－）2＋（y－1）2＝9，

由ρcos（θ＋）＝0得ρcosθ－ρsinθ＝0，

直线l的直角坐标方程x－y＝0.

（2）圆心（，1）到l的距离d＝＝1.

设圆心截直线l所得弦长为m，则＝＝2，∴m＝4.

（理）（2012·银川一中二模）平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－2ρsinθ－3＝0.

（1）求直线l的极坐标方程；

（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|.

[解析]　

（1）消去参数得直线l的直角坐标方程：

y＝x

将代入得ρsinθ＝ρcosθ⇒θ＝或θ＝（ρ≥0）．

（也可以是：

θ＝（ρ∈R））

（2）由得，

ρ2－ρ－3＝0

设A（ρ1，），B（ρ2，），

则|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.

[点评]　也可化为直角坐标方程求解.

能力拓展提升

11.（2011·西安检测）已知直线l：

（t为参数）与圆C：

（θ为参数），它们的公共点个数为________个．

[答案]　2

[解析]　直线l的普通方程为x＋y－2＝0，⊙C的圆心（1,1），半径r＝，圆心C在直线l上，∴l与⊙C相交．

12．（文）（2011·咸阳模拟）若直线3x＋4y＋m＝0与圆（θ为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是____．

[答案]　（－∞，0）∪（10，＋∞）

[解析]　由条件知，圆心C（1，－2）到直线3x＋4y＋m＝0的距离大于圆的半径1，

∴>1，∴m<0或m>10.

（理）已知直线l的参数方程：

（t为参数），曲线C的极坐标方程：

ρ＝2sin，求直线l被曲线C截得的弦长为_______．

[答案]　

[分析]　可将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程求解；也可将曲线C的方程化为直角坐标方程后，将l方程代入利用t的几何意义求解．

[解析]　将直线l的参数方程化为普通方程为y＝2x＋1，将圆C的极坐标方程化为普通方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2，从圆方程中可知：

圆心C（1,1），半径r＝，所以圆心C到直线l的距离d＝＝<＝r.所以直线l与圆C相交．

所以直线l被圆C截得的弦长为

2＝2＝.

13．（2011·天津理，11）已知抛物线C的参数方程为（t为参数），若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆（x－4）2＋y2＝r2（r>0）相切，则r＝________.

[答案]　

[解析]　根据抛物线C的参数方程，得出y2＝8x，得出抛物线焦点坐标为（2,0），所以直线方程：

y＝x－2，利用圆心到直线距离等于半径，得出r＝＝.

14．（文）（2012·江西理，15）曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．

[答案]　ρ＝2cosθ

[解析]　将代入x2＋y2－2x＝0中得，

ρ2－2ρcosθ＝0，∵ρ≠0，∴ρ＝2cosθ.

（理）（2012·湖北理，16）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________．

[答案]　（，）

[解析]　由化为普通方程y＝（x－2）2①

由θ＝化为直角坐标方程y＝x（x≥0）②

联立①②，∴（x－2）2＝x，即x2－5x＋4＝0，

∴x1＋x2＝5，∴中点坐标为（，）．

15．（2011·课标全国文，23）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．M是C1上的动点，P点满足＝2，P点的轨迹为曲线C2.

（1）求C2的方程；

（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.

[解析]　

（1）设P（x，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上，所以

即

从而C2的参数方程为（α为参数）

（2）曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.

射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin＝2，

射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin＝4.

所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2.

16．（文）（2011·大连市模拟）已知直线l经过点P（，1），倾斜角α＝，圆C的极坐标方程为ρ＝cos（θ－）．

（1）写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；

（2）设l与圆C相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．

[解析]　

（1）直线l的参数方程为（t为参数），即（t为参数）．

由ρ＝cos（θ－）得ρ＝cosθ＋sinθ，

所以ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，得（x－）2＋（y－）2＝.

（2）把代入（x－）2＋（y－）2＝中

得t2＋t－＝0.

由根与系数的关系得t1t2＝－，

由参数t的几何意义得：

|PA|·|PB|＝|t1t2|＝.

（理）（2012·乌鲁木齐地区诊断）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），经过变换后曲线C变换为曲线C′.

（1）在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴（单位长度与直角坐标系相同）的极坐标系中，求C′的极坐标方程；

（2）求证：

直线x－y－2＝0与曲线C′的交点也在曲线C上．

[解析]　

（1）设曲线C′上任意一点P（x′，y′），

由变换得代入C得

所以曲线C′是以（1,0）为圆心，半径为1的圆.

∴C′的极坐标方程为ρ＝2cosθ.

（2）曲线C′的直角坐标方程为（x－1）2＋y2＝1，

由得或

所以交点为（2,0）或（，－），两点的坐标均满足曲线C的直角坐标方程＋y2＝1.

∴直线x－y－2＝0与曲线C′的交点也在曲线C上．

1．直线的参数方程为（t为参数），则直线的倾斜角为（　　）

A．40°B．50°

C．140°D．130°

[答案]　C

[解析]　将直线的参数方程变形得，，∴倾斜角为140°.

2．在极坐标系下，直线ρcos＝与曲线ρ＝的公共点个数为（　　）

A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．2或0

[答案]　B

[分析]　讨论极坐标方程表示的曲线的位置关系，交点个数等问题，一般是化为直角坐标方程求解．对于熟知曲线形状、位置的曲线方程，也可以直接画草图，数形结合讨论．

[解析]　方程ρcos＝化为ρcosθ＋ρsinθ＝2，

∴x＋y＝2，方程ρ＝，即x2＋y2＝2，显然直线与圆相切，∴选B.

3．已知点P（x，y）满足（x－4cosθ）2＋（y－4sinθ）2＝4（θ∈R），则点P（x，y）所在区域的面积为（　　）

A．36πB．32π

C．20πD．16π

[答案]　B

[解析]　圆心坐标为（4cosθ，4sinθ），显然圆心在以原点为圆心、半径等于4的圆上，圆（x－4cosθ）2＋（y－4sinθ）2＝4（θ∈R）绕着上述圆旋转一周得到的图形是一个圆环，圆环的外径是6，内径是2，∴选B.

4．（2011·广州）设点A的极坐标为（2，），直线l过点A且与极轴所成的角为，则直线l的极坐标方程为________．

[答案]　填ρcos（θ＋）＝1、ρcosθ－ρsinθ－2＝0、

ρsin（－θ）＝1、ρsin（θ－）＝1中任意一个均可

[解析]　∵点A的极坐标为（2，），∴点A的平面直角坐标为（，1），又∵直线l过点A且与极轴所成的角为，∴直线l的方程为y－1＝（x－）tan，即x－y－2＝0，∴直线l的极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ－2＝0，可整理得ρcos（θ＋）＝1或ρsin（－θ）＝1或ρsin（θ－）＝1.

[点评]　一般地，在极坐标系下，给出点的坐标，曲线的方程，讨论某种关系或求某些几何量时，通常都是化为直角坐标（方程）求解．如果直接用极坐标（方程）求解，通常是解一个斜三角形．

5．（2012·河南六市联考）曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线C2的参数方程为（t为参数）．

（1）将C1化为直角坐标方程；

（2）曲线C1与C2是否相交？

若相交，求出弦长，若不相交，请说明理由．

[解析]　

（1）∵ρ＝4cosθ，∴ρ2＝4ρcosθ，∴x2＋y2＝4x，

所以C1的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0.

（2）C2的直角坐标方程为3x－4y－1＝0，

C1表示以（2,0）为圆心，2为半径的圆．

圆心C1（2,0）到直线C2的距离

d＝＝1<2.

所以C1与C2相交．

相交弦长|AB|＝2＝2.

6．（2012·包头市一模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（a>b>0，φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C1上的点M（1，）对应的参数φ＝，射线θ＝与曲线C2交于点D（1，）．

（1）求曲线C1、C2的方程；

（2）若点A（ρ1，θ），B（ρ2，θ＋）在曲线C1上，求＋的值．

[解析]　

（1）将M（1，）及对应的参数φ＝，代入

得∴，

所以曲线C1的方程为（φ为参数），或＋y2＝1.

设圆C2的半径为R，由题意，圆C2的方程为ρ＝2Rcosθ（或（x－R）2＋y2＝R2）．

将点D（1，）代入ρ＝2Rcosθ，

得1＝2Rcos，即R＝1.

（或由D（1，），得点D的直角坐标（，），代入（x－R）2＋y2＝R2，得R＝1），

所以曲线C2的方程为ρ＝2cosθ（或（x－1）2＋y2＝1）．

（2）因为点A（ρ1，θ），B（ρ2，θ＋）在曲线C1上，

所以＋ρsin2θ＝1，＋ρcos2θ＝1，

所以＋＝（＋sin2θ）＋（＋cos2θ）＝.