初二三角形经典练习题及答案.docx
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初二三角形经典练习题及答案
初二三角形经典练习题及答案
2、了解分析的思想方法。
3、经历思考、猜想，并对操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受证明
的必要性、感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径。
二、教学重点：
1、证明等腰三角形的性质和判定定理；
2、经历思考、猜想，并对操作活动的合理性进行证明，不断感受证明的必要性、感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要方法。
三、教学难点:
1、分析的思考方法；
2、理解证明的必要性，感受合情推量和演绎推理都是人们正确认识事物的重要方法。
四、考点热点回顾：
等腰三角形的性质和判定
1、等腰三角形的性质
等腰三角形的性质定理及推论：
定理：
等腰三角形的两个底角相等
推论1：
等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2：
等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
等腰三角形的其他性质：
①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角，但顶角可为钝角。
③等腰三角形的三边关系：
设腰长为a，底边长为b，则
b
④等腰三角形的三角关系：
设顶角为顶
角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=
180A
2
2、等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推论：
定理：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论1：
三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
等腰三角形的性质与判定
等腰三角形性质等腰三角形判定
1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形；
1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；中2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边，那么这个三角形是等腰三角
与底边两端点距离相等。
形
角1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边；1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对平2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点边，那么这个三角形是等腰三角形；分到底边两端点的距离相等。
、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三
线
1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边；高
2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和线
底边两端点距离相等。
角边
等边对等角
底的一半角形是等腰三角形。
1、如果一个三角形一边上的高平分这条边，那么这个三角形是等腰三角形；
2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。
等角对等边
两边相等的三角形是等腰三角形
五、典型例
题．
一、线段的垂直平分线的
性质
1、如图，在Rt△ABC中，?
B?
90，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知?
BAE?
10，则?
C的度数为A．30B．40C．50D．60
?
?
?
?
?
?
选B．由?
B?
90?
，?
BAE?
10?
得∠AEB=80°，由ED是AC的垂直平分线得EA=EC，所以∠EAC=∠ECA=
11
∠AEB=×80°=40°.2
2、如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC＝，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为
A．1B．1C．1D．16
D
BC
选A.∵△ABC周长等于21，又∵BC等于5，且AB=AC，∴AC=8，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴AE+EC=BE+EC=AC=8,∴△BEC的周长=BE+EC+BC=8+5=13；
3、2009·泉州中考）如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E，若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为；
∵△ABC周长与四边形AEDC周长差等于12，∵DE是线段BC的垂直平分线∴△EDB≌△EDC，
∴BD+BE-DE=12，又∵BD+BE+DE=24，∴DE=6.
4、在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B等于_____________度．
如图因为DE是AB的垂直平分线，又因为∠AED＝50°，所以∠A=40°，因为AB=AC，所以∠B=70°；
如图因为DE是AB的垂直平分线，∠E＝50°，所以∠EAD=40°，因为AB=AC，所以∠B=20°；
答案：
70或20；
5、已知：
如图，△ABC中，?
ABC?
45°，CD?
AB于D，BE平分?
ABC，
且BE?
AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．
求证：
BF?
AC；求证：
CE?
1
BF；
证明：
∵CD?
AB，?
ABC?
45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．∴BD?
CD．
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵?
DBF?
90°?
?
BFD，?
DCA?
90°?
?
EFC，
且?
BFD?
?
EFC，
∴?
DBF?
?
DCA．
又∵?
BDF?
?
CDA?
90°，BD?
CD，
∴Rt△DFB≌Rt△DAC．∴BF?
AC．
证明：
在Rt△BEA和Rt△BEC中
∵BE平分?
ABC，∴?
ABE?
?
CBE．
又∵BE?
BE，?
BEA?
?
BEC?
90°，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC．
∴CE?
AE?
1
AC．
又由，知BF?
AC，
∴CE?
11
AC?
BF．2
要点二、等腰三角形的性质及判定
1．等腰直角三角形的一个底角的度数是
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
选B.因为等腰三角形的两个底角相等，而等腰直角三角形的两个底角互余，所以每个底角等于45°；
2、如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D．E、F分别是CD、AD
上的点，且CE＝AF．如果∠AED＝62o，那么∠DBF＝
A．62oB．38oC．28oD．26o
选C.在Rt△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC得∠BAF=∠C=∠CAD=4o，又∠AED＝62o,∴∠EAC=62o-
4o=1o,又CE＝AF，∴△ABF≌△CAE,∴∠ABF=1o,∴∠DBF＝4o-1o=28o.
3、如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为A．
3
2
B．
2
C．
1
D．4
B
P
C
选B因为∠APD＝60°，所以∠PDC=60°＋∠PAD，又因为∠BPA＝60°＋∠PAD，所以∠PDC=∠BPA，又因为∠B＝∠C，所以△ABP∽△PCD，所以
2BPAB3
?
?
所以CD＝.
3CDPC2
4、一个等腰三角形的一个外角等于110?
，则这个三角形的三个角应该
为。
答案：
70?
70?
40?
或70?
55?
55?
5、如图，在△ABC中，AB?
AC，?
BAC?
40°，分别以AB，AC为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE，使?
BAD?
?
CAE?
90°．求?
DBC的度数；
求证：
BD?
CE．
三角形的边角关系
练习题
回顾：
1、三角形的概念
定义：
由_______直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2、三角形的分类
按角分：
?
锐角三角形?
三角形?
直角三角形
?
钝角三角形?
按边分：
?
不等边三角形?
三角形?
?
底边和腰不相等的等腰三角形
?
等腰三角形?
等边三角形?
?
3、三角形的重要线段
在三角形中，最重要的三种线段是三角形的中线、三角形的角平分线、三角形的高。
说明：
三角形的三条中线的交点在三角形的____部。
三角形的三条角平分线的交点在三角形的______部。
_______三角形的三条高的交点在三角形的内部；______三角形的三条高的交点是直角顶点；_____三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部。
4、三角形三边的关系
定理：
三角形任意两边的和____第三边；
推论：
三角形任意两边的差____第三边；
说明：
运用“三角形中任意两边的和大于第三边”可以判断三条线段能否组成三角形，也可以检验较小的两边的和是否大于第三边。
5、三角形各角的关系
定理：
三角形的内角和是______度；
推论：
当有一个角是90°时，其余的两个角的和为90°；
三角形的任意一个外角______和它不相邻的两个内角的和。
三角形的任意一个外角______任意一个和它不相邻的内角。
说明：
任一三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个钝角；最多有一个直角。
三角形的计数
例1如图，平面上有A、B、C、D、E五个点，其中B、C、D及A、E、C分别在同一条直线上，那么以这五个点中的三个点为顶点的三角形有
A、4个B、6个
C、8个D、10个
解析：
连接AB、AD、BE、DE。
课件出示答案：
C。
小结：
分类讨论是三角形的计数中常见的思路方法。
举一反三：
1、已知△ABC是直角三角形，且∠BAC=30°，直线EF与△ABC的两边AC，AB分别交于点M，N，那么∠CME+∠BNF=
A、150°B、180°
C、135°D、不能确定
解析：
因为∠A=30°，所以∠NMA+∠MNA=180°-30°=150°，
所以∠CME+∠BNF=∠NMA+∠MNA=150°.故选A.
三角形的三边关系
例边长为整数，周长为20的等腰三角形的个数是。
解析：
根据三角形的周长及三角形的三边关系建立不等式和方程，求出其中一边长的范围，再求其正整数解.
答案：
解：
设三角形三边分别为a、b、c且a?
b?
c，a+b+c=20，则a?
7，又由b+c>a，得a小结：
利用已知的等量关系及三角形的三边关系，建立不等式与方程，进而组成不等式与方程的混合组，求其正整数解.
举一反三：
2、现有cm，cm，cm，cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是。
A.1B.C.D.4
三角形的内角和定理
例已知三角形三个内角的度数之比是x：
y：
z，且x+yA、锐角三角形B、直角三角形
C、钝角三角形D、等腰三角形
解析：
设三角形三个内角为x,y,z.根据三角形内角和定理，得x+y+z=180°，结合x+y＜z，利用不等式的性质进行判断.
答案：
解：
三角形的内角和为180°，设三角形三个内角为x，y，z，则x+y+z=180°，又x+y90°，故这个三角形是钝角三角形。
故选C。
小结：
利用三角形内角和为180°建立等量关系是常用的解题方法。
例如图，有一个五角星形ABCDE图案，你能说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°吗？
当A点向下移动到BE上[如图]，上述结论是否仍然成立？
当A点移到BE的另一侧[如图]，上述结论是否仍然成立？
请说明理由。
解析：
连接CD，设BD与EC相交于F，分别在△ACD及△BEF、△CDF中运用三角形内角和定理.
课件出示答案：
解：
设BD与CE相交于F点
在△BEF中，
∠B+∠E+∠1=180°
又∠A+∠C=∠2
有∠1=∠2+∠D=∠A+∠C+∠D
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
解法二：
解：
以题图为例，说明如下：
如图，连接CD，设BD与EC相交于F，在△BEF中，
∠B+∠E+∠3=180°
在△CDF中，∠1+∠2+∠4=180°，
所以∠B+∠E+∠3=∠1+∠2+∠4
所以∠B+∠E=∠1+∠2
在△ACD中，∠A+∠ACD+∠ADF=180°，
即∠A+∠ACF+∠1+∠ADF+∠2=180°，
所以∠A+∠ACF+∠ADF+∠B+∠E=180°
下一步：
根据的解答方法独立完成和的探索。
小结：
在解决新问题时，往往将其转化为比较熟悉的问题，再加以解决.本例中出现的“对顶三角形”，有如下结论：
∠1+∠2＝∠3+∠4.
举一反三
如图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠B=23°，∠A的度数是
A、61°B、60°
C、37°D、39°
解析：
连接AD并延长，可证明∠BDC=∠A+∠B+∠C,所以∠A=98°-38°-23°=98°-61°=37°.故选C.
三角形的外角和
例如图3-7，△ABC中，∠A、∠B、∠C的外角分别记为∠?
，∠?
，∠?
，若∠?
：
∠?
：
∠?
=3：
4：
5，则∠A：
∠B：
∠C=
A、3：
2：
1B、1：
2：
3
C、3：
4：
5D、5：
4：
3
解析：
设∠α=3x,∠β=4x,∠γ=5x,根据三角形的外角和等于360°列方程，再求∠A、∠B、∠C.
答案：
解：
设∠?
=3x，∠?
=4x，∠?
=5x，则
第十一章全等三角形综合复习
切记：
”有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。
例1.如图，A,F,E,B四点共线，AC?
CE，BD?
DF，AE?
BF，AC?
BD。
求证：
?
ACF?
?
BDE。
例2.如图，在?
ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD?
BE，垂足为D。
求证：
?
2?
?
1?
?
C。
例3.如图，在?
ABC中，AB?
BC，?
ABC?
90。
F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE?
BF，连接AE,EF和CF。
求证：
AE?
CF。
?
例4.如图，AB//CD，AD//BC，求证：
AB?
CD。
例5.如图，AP,CP分别是?
ABC外角?
MAC和?
NCA的平分线，它们交于点P。
求证：
BP为?
MBN的平分线。
例6.如图，D是?
ABC的边BC上的点，且CD?
AB，?
ADB?
?
BAD，AE是?
ABD的中线。
求证：
AC?
2AE。
例7.如图，在?
ABC中，AB?
AC，?
1?
?
2，P为AD上任意一点。
求证：
AB?
AC?
PB?
PC。
同步练习
一、选择题：
1.能使两个直角三角形全等的条件是
A.两直角边对应相等C.两锐角对应相等
B.一锐角对应相等D.斜边相等
?
B.AB?
4，BC?
3，?
A?
30?
D.?
C?
90，AB?
6
2.根据下列条件，能画出唯一?
ABC的是A.AB?
3，BC?
4，CA?
8
?
?
C.?
C?
60，?
B?
45，AB?
4
3.如图，已知?
1?
?
2，AC?
AD，增加下列条件：
①AB?
AE；②BC?
ED；③
?
C?
?
D；④?
B?
?
E。
其中能使?
ABC?
?
AED的条件有
A.个
B.个
C.个
D.1个
4.如图，?
1?
?
2，?
C?
?
D，AC,BD交于E点，下列不正确的是
A.?
DAE?
?
CBE
B.CE?
DE
D.?
EAB是等腰三角形
C.?
DEA不全等于?
CBE
5.如图，已知AB?
CD，BC?
AD，?
B?
23，则?
D等于
A.7
?
?
C.3
?
B.6
?
D.无法确定
二、填空题：
?
6.如图，在?
ABC中，?
C?
90，?
ABC的平分线BD交AC于点D，且
CD:
AD?
2:
3，AC?
10cm，则点D到AB的距离等于__________cm；
7.如图，已知AB?
DC，AD?
BC，E,F是BD上的两点，且BE?
DF，若
?
AEB?
100?
，?
ADB?
30?
，则?
BCF?
____________；
8.将一张正方形纸片按如图的方式折叠，BC,BD为折痕，则?
CBD的大小为_________；
9.如图，在等腰Rt?
ABC中，?
C?
90，AC?
BC，AD平分?
BAC交BC于D，
?
DE?
AB于E，若AB?
10，则?
BDE的周长等于____________；
10.如图，点D,E,F,B在同一条直线上，AB//CD，AE//CF，且AE?
CF，若
BD?
10，BF?
2，则EF?
___________；
三、解答题：
?
ABC为等边三角形，11.如图，点M,N分别在BC,AC上，且BM?
CN，AM与BN交于Q点。
求?
AQN的度数。
?
12.如图，?
ACB?
90，AC?
BC，D为AB上一点，AE?
CD，BF?
CD，交CD
延长线于F点。
求证：
BF?
CE。
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