直线平面垂直的判定与性质.docx

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直线平面垂直的判定与性质

直线、平面垂直的判定与性质

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♥知识梳理♥

一、直线与平面垂直

1．直线和平面垂直的定义．

直线l与平面α内的直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．

2．直线和平面所成的角

（1）定义：

平面的一条斜线和所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．

规定：

当直线与平面垂直和平行（含直线在平面内）时，则直线和平面所成的角分别为.

（2）线面角的范围为．

3．直线与平面垂直的判定定理及推论.

文字语言

图形语言

符号语言

判定

定理

一条直线与平面的

垂直，则该直线与此平面垂直

推论

如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也这个平面

4．直线与平面垂直的性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

性质定理

垂直于同一个平面的两条直线

推论

二、平面与平面垂直

1．二面角

（1）二面角：

从一条直线所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做．两个半平面叫做二面角的面．如图，记作：

αlβ或αABβ或PABQ.

（2）二面角的平面角如图，二面角αlβ，若有①O∈l，②OA⊂α，OB⊂β，③OA⊥l，OB⊥l，

则∠AOB就叫做二面角αlβ的平面角．

2．平面与平面垂直的判定定理.

文字语言

图形语言

符号语言

性质定理

两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于的直线垂直于另一个平面

♥究疑点♥

1．垂直于同一平面的两个平面是否平行？

2．若两平面垂直，一直线垂直于其中一个平面，它与另一个平面有何位置关系？

♥考点突破♥

考点一：

垂直关系的基本问题

1．直线l不垂直于平面α，则α内与l垂直的直线有（　　）

A．0条　　　　　　　B．1条

C．无数条D．α内所有直线

2．已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个．

4．

（1）（2010·长沙期末）下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．

①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m⊥α，β⊥α则m∥β；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ.正确的命题是（　　）

A．①③　　　　　　　B．②③

C．①④D．②④

（2）（2011·龙岩模拟）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下面三个命题：

 ①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β.则真命题的个数为（　　）

A．0B．1

C．2D．3

[归纳领悟]

解答此类问题时一要注意依据定理条件才能得出结论，二是否定时只需举一个反例，三要会寻找恰当的特殊模型进行筛选.

考点二：

直线与平面垂直的判定与性质

1．设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

2．三棱锥P－ABC的顶点P在底面的射影为O，若PA＝PB＝PC，则点O为△ABC的________心，若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的________心．

3.如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB，PC的中点，若∠PDA＝45°，求证：

MN⊥平面PCD.

[归纳领悟]

证明直线和平面垂直的常用方法有

1．利用判定定理．

2．利用判定定理的推论（a∥b，a⊥α⇒b⊥α）．

3．利用面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）．

4．利用面面垂直的性质．

当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线常用来证明线线垂直．

考点三：

平面与平面的垂直与判定

1．（2011·北京西城模拟）若l为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：

①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β.

其中正确的命题有（　　）

A．0个　　　　　　　B．1个

C．2个D．3个

2.（2011.广东卷18）．如图5，在锥体中，是边长为1的菱形，且，，，分别是的中点．

（1）证明：

平面；

（2）求二面角的余弦值．

3.如图，在多面体中，四边形是正方形，∥，，，，，为的中点。

（1）求证：

∥平面；

（2）求证：

平面；

（3）求二面角的大小。

[归纳领悟]

1．判定面面垂直的方法

（1）面面垂直的定义．

（2）面面垂直的判定定理（a⊥β，a⊂α⇒α⊥β）．

2．关于三种垂直关系的转化可结合下图记忆．

考点四：

直线与平面所成的角、二面角

1．（2011·长沙模拟）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C与对角面DD1B1B所成角的大小是（　　）

A．15°　　　　　B．30°

C．45°D．60°

2．（2011·西安模拟）在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是（　　）

A．30°B．45°

C．60°D．90°

3.如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，AB＝2，E、F分别是AB、PD的中点．

（1）求证：

AF∥平面PEC；

（2）求PC与平面ABCD所成的角的正切值；

（3）求二面角P－EC－D的正切值．

[归纳领悟]

1．线面角的问题

（1）线面角涉及斜线的射影，故找出平面的垂线是基本思路，要注意与线线垂直，线面垂直的相互关系．

（2）求直线与平面所成角的一般过程为：

①通过射影转化法，作出直线与平面所成的角；

②在三角形中求角的大小．

2．二面角的问题

求二面角的平面角时，同样归结到三角形中去，但在求解时要注意二面角的平面角的取值范围．

♥感悟真题♥

1．（2010·湖北高考）用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：

①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；

③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.

其中真命题的序号是（　　）

A．①②　　　　　　B．②③

C．①④D．③④

2。

（2010·安徽高考）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF

⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．

（1）求证：

FH∥平面EDB；

（2）求证：

AC⊥平面EDB；

（3）求四面体B－DEF的体积．

3.（2011湖北）如图，已知正三棱柱的各棱长都是4，是的中点，动点在侧棱上，且不与点重合．

（1当=1时，求证：

⊥；

（2设二面角的大小为，求的最小值．

♥限时训练♥（时间60分钟，满分80分）

一、选择题（共6个小题，每小题5分，满分30分）

1．已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是（　　）

A．l∥m，l⊥α　　　　　　　　B．l⊥m，l⊥α

C．l⊥m，l∥αD．l∥m，l∥α

2．已知直线a⊂平面α，直线AO⊥α，垂足为O，AP∩α＝P，若条件p：

直线OP不垂直于直线a，条件q：

直线AP不垂直于直线a，则条件p是条件q的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3.如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论不成立的是（　　）

A．BC∥平面PDF

B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面PAE

D．平面PDE⊥平面ABC

4．（2011·济南模拟）设a，b，c表示三条直线，α、β表示两个平面，下列命题中不正确的是（　　）

A.⇒a⊥βB.⇒a⊥b

C.⇒c∥αD.⇒b⊥α

5．（2011·宝鸡模拟）设a，b，c是空间不重合的三条直线，α，β是空间两个不同的平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（　　）

A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥β

B．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β

C．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥b

D．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c

6.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是（　　）

A．PB⊥AD

B．平面PAB⊥平面PBC

C．直线BC∥平面PAE

D．直线PD与平面ABC所成的角为45°

二、填空题（共3个小题，每小题5分，满分15分）

7.如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有__________（填序号）

①平面ABC⊥平面ABD

②平面ABD⊥平面BCD

③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE

④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE

8．（2011·扬州模拟）已知二面角M－l－N的平面角是60°，直线a⊥M，则直线a与平面N所成角的大小为________．

9．（2010·合肥第一次质检）设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：

①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；

②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；

③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直；

④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β.

上面命题中，真命题的序号为________（写出所有真命题的序号）．

三、解答题（共3个小题，满分35分）

10．（2010·山东临沂）在直平行六面体AC1中，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，AC∩BD＝O，AB＝AA1.

（1）求证：

C1O∥平面AB1D1；

（2）求证：

平面AB1D1⊥平面

ACC1A1.

11．（2010·北京海淀）如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝AD＝2.点E为AB中点．

（1）求三棱锥A1－ADE的体积；

（2）求证：

A1D⊥平面ABC1D1；

（3）求证：

BD1∥平面A1DE.

12．（2010·茂名模拟）如图所示，在直角梯形ABCD中，∠B＝90°，DC∥AB，CD＝AB，G为线段AB的中点，将△ADG沿GD折起，使平面ADG⊥平面BCDG，得到几何体A－BCDG.

（1）若E，F分别为线段AC，AD的中点，求证：

EF∥平面ABG；

（2）求证：

AG⊥平面BCDG.