第四章 四边形的性质探索.docx

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第四章四边形的性质探索

第四章　四边形的性质探索

4.1　平行四边形的性质

（1）

教学目标：

2005年　月　日

教学知识点：

1、掌握平行四边形有关概念和性质；2、探索并掌握平行四边形的对边相等，对角相等的性质。

能力训练要求：

1、动手操作实践的过程中，探索发现平行四边形的性质；2、知道解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题来解决，渗透转化思想；3、通过探索平行四边形的性质，培养学生简单的推理能力和逻辑思维能力。

情感与价值观要求：

1、探索平行四边形性质的过程中，感受几何图形中呈现的数学美；2、在进行探索的活动过程中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。

教学重点：

探索平行四边形的性质。

教学难点：

平行四边形性质的理解。

教学过程：

一、观赏生活中的图片，引入课题（电脑演示）

下面的图片中，有你熟悉的哪些图形？

（设计这个活动，一方面可让学生认识到平行四边形在生活、生产中的应用，另一方面让学生在复杂的图形中认识平行四边形。

）

二、开启智慧

1、操作活动：

让学生进行如下操作后，思考以下问题：

（幻灯片展示）

将一张纸对折，剪下两张叠放的三角形纸片，设法找到某一边的中点，记作点O，将上层的三角形纸片绕点O旋转180度，下层的三角形纸片保持不动，得到一个图形。

（用几何画板平台展示整个过程）

2、观察、讨论：

（1）两张纸片拼成了怎样的图形？

它是四边形吗？

（2）这个图形中有哪些相等的角？

有没有互相平行的线段？

你是怎样得到的？

（3）用简洁的语言刻画这个图形的特征，并与同伴交流。

3、平行四边形的定义

4、介绍平行四边形的书写方式及对角线的定义。

5、请学生举出自己身边存在的平行四边形的例子。

6、学生动手画一个平行四边形，并表示出来。

三、知识源于悟：

1、做一做（让学生实际动手操作）（出示幻灯片）

用一张半透明的纸复制你刚才画的平行四边形，并将复制后的四边形绕一个顶点旋转180度，你能平移该纸片，使它与你画的平行四边形ABCD重合吗？

（教师用几何画板平台展示整个旋转变化过程）

2、讨论：

（小组交流）

（1）通过以上活动，你能得到哪些结论？

（2）平行四边形ABCD对边、对角分别有什么关系？

能用别的方法验证你的结论吗？

3、结论：

平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等。

四、能力的源泉：

1、如果已知平行四边形一个内角的度数，能确定其它三个内角的度数吗？

说说你的理由。

（用几何画板演示）

2、变换角的度数，试一试。

3、你得到了什么结论？

五、随堂练习

六、试一试：

用平行四边形设计美丽的图案。

七、新课小结：

通过本节课的学习，你有什么收获？

（同桌互讲，小组交流，师生共同小结）

八、作业设计：

必做题：

P85习题4.1第1、2题。

提高题：

（解决问题）农民李某想发展副业致富，经考察地形后，在耕地旁边的荒地上开垦一平行四边形形状的鱼塘。

能测得∠BAD＝1200，量得AB＝50米，AD＝80米。

请你帮助李某一下鱼塘的对边AD、BC之间的距离及这个鱼塘的面积。

课后反思

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4.1　平行四边形的性质

（2）

教学目标：

2005年　月　日

教学知识点：

1、掌握平行四边形的性质及平行线间的距离的概念；2、理解平行线间的距离处处相等的结论，并了解其简单应用。

能力训练要求：

1、通过尝试从不同角度寻求解决问题的方法，经历探索平行四边形性质的过程；2、通过探索平行四边形的性质，进一步发展学生的逻辑推理能力及条理的表达能力。

情感与价值观要求：

1、探索平行四边形性质的过程中，感受几何图形中呈现的数学美；2、让学生学会在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，享受运用知识解决问题的成功体验，增强学好数学的自信心。

教学重点：

理解并正确运用平行四边形的性质。

教学难点：

平行四边形性质的探索。

教学过程：

一、复习引入课题

问题：

上节课我们学习了平行四边形的哪些性质？

怎样发现这些性质的？

（通过回忆并再现旧知识的产生过程，让学生积累学习知识的方法，为新课做准备。

）

二、讲授新课

1、做一做：

（电脑显示P85“做一做”的内容）

鼓励学生应用多种方式探索平行四边形的性质：

如图4－3，□ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，

（1）图中有哪些三角形是全等的？

有哪些线段是相等的？

（2）能设法验证你的猜想吗？

2、观察、讨论：

（小组交流）

通过以上活动，你能得到哪些结论？

并由各小组派学生表述看法。

3、结论：

平行四边形的性质：

平行四边形的对角线互相平分。

三、例题讲解：

电脑显示P86例1，引导学生寻求解题思路。

（让学生发表自己的见解，既培养了学生的语言表达能力及推理能力，又提高了学生的逻辑思维能力）

电脑显示P87关于铁轨的图片

提出问题：

“想一想”

引出平行线间距离的概念，并引导学生对比点到直线的距离，两点间距离等概念。

（让学生进一步感知生活中处处有数学）

电脑显示P87“议一议”。

四、巩固练习

指导学生完成“随堂练习”及电脑出示的题目。

五、回顾与反思：

通过本节课的学习，你有什么收获？

（同桌互讲，小组交流，师生共同小结）

六、布置作业：

必做题：

P88习题4.2　第1、2、3题。

选做题：

试一试

在□ABCD中，点O是对角线AC的中点，连接OB，OD，求∠DOB的度数。

课后反思：

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4.2　平行四边形的判别

（一）

教学目标：

2005年　月　日

认知目标：

（1）平行四边形的判别方法1；

（2）平行四边形的判别方法2。

能力目标：

（1）经历平行四边形判别条件的探索过程，使学生逐步掌握说理的基本方法；并在与他人交流的过程中，能合理清晰地表达自己的思维过程；

（2）探索并掌握平行四边形的判别条件：

对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（3）在拼摆平行四边形的过程中，培养学生的动手实践能力及丰富的想象力，积累数学活动经验，增强学生的创新意识。

情感目标：

（1）让学生主动参与探索的活动，在做“数学实验”的过程中，发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯，激发学生学习数学的热情和兴趣；

（2）通过探索式证明学习，开拓学生的思路，发展学生的思维能力；（3）在与他人的合作过程中，培养学生敢于面对挑战和勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，培养学生的合作意识和团队精神。

教学重点：

平行四边形的判别条件。

教学难点：

平行四边形的判别条件的应用。

教学过程设计：

一、情境：

1．上节课我们探讨了平行四边形的定义和性质，现在来复习一下。

2．结合学生回答，显示平行四边形的性质。

学生回顾旧知，然后与同伴交流，请一生回答。

二、动手操作：

1．现在大家拿出一长一短的两根小木棒，来拼一个平行四边形。

2．用量角器等工具检测所拼四边形是否是平行四边形。

3．提问：

若这两根小木棒不作为对角线，能确定平行四边形吗？

若不行，能拼出一个特殊的四边形吗？

那怎样改变一个条件，就能确定平行四边形？

4．用两根一样长的小木棒，来拼一个平行四边形。

用刀截去长的木棒，使两根木棒一样长，再动手拼。

三、探究：

同学们能用文字叙述刚才得出的结论吗？

通过观察图形（图略），得出：

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

）

四、实际生活：

将两根细木条AC、BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD是平行四边形．

通过练习进一步熟悉掌握平行四边形的判别方法，达到运用刚学习的知识解决实际问题的目的。

五、例题精析：

例1　如图（图略），AC∥ED，点B在AC上且AB＝ED＝BC，找出图中的平行四边形。

例2　如图所示（图略），在□ABCD中，AC、BD相交于点O，点E、F在对角线AC上，且OE＝OF．

（1）OA与OC、OB与OD相等吗？

（2）四边形BFDE是平行四边形吗？

（3）若点E、F在OA、OC的中点上，你能解决

（1）

（2）两问吗？

六、随堂练习：

1．下列两个图形，可以组成平行四边形的是（　　）

A．两个等腰三角形B．两个直角三角形

C．两个锐角三角形D．两个全等三角形

2．能确定四边形是平行四边形的条件是（　　）

A．一组对边平行，另一组对边相等B．组对边平行，一组对角相等

C．一组对边平行，一组邻角相等D．一组对边平行，两条对角线相等

3．已知：

四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，需添加一个条件是：

______________（只需填一个你认为正确的条件即可）。

学生首先独立思考一会儿，然后与同伴交流或讨论，最后举手发表自己的见解。

．

．　　．

．　　．　　．

七、探索与思考：

如图，你能找出几个平行四边形？

学生先阅读资料，然后与同伴交流自己的想法。

八、小结：

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

）

学生回顾探究的整个过程，体会学习的成果，感受成功的喜悦，产生后继学习的激情。

九、作业：

P90页习题1，2；

课后反思

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4.2　平行四边形的判别

（2）

教学目标：

2005年　月　日

1、经历并了解平行四边形的判别方法探索过程，使学生逐步掌握说理的基本方法。

2、探索并了解平行四边形的判别方法：

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

能根据判别方法进行有关的应用。

3、在探索过程中发展学生的合理推理意识、主动探究的习惯。

4、体验数学活动来源于生活又服务于生活，提高学生的学习兴趣。

教学重点：

平行四边形的判别方法。

教学难点：

根据判别方法进行有关的应用

教学过程：

一、快速反应

1、如图，四边形ABCD（图略），AC、BD相交于点O，若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是__________，根据是_____________________。

2、如图（图略），四边形ABCD中，AB//CD，且AB＝CD，则四边形ABCD是___________，理由是__________________________。

3、小明拼成的四边形如图所示（图略，其中AB＝CD＝30，AD＝BC＝40），图中的四边形ABCD是平行四边形吗？

结论：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

4、在图中，AC＝BD＝16，AB＝CD＝EF＝15，CE＝DF＝9。

图中有哪些互相平行的线段？

二、议一议

1、一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形吗？

不一定。

如等腰梯形。

三、平行四边形的判别方法：

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

四、练一练：

1、有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形吗？

不一定，如

2、比一比：

如图，四个全等三角形拼成一个大的三角形，找出图中所有的平行四边形，并说明理由。

作业：

1、课本P91习题4.4，1、2题。

2、目标P65，3解答题

（2），（3），完成目标其他题目。

课后反思

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4.3　菱形

教学目标：

2005年　月　日

教学知识点：

（1）菱形的定义；

（2）菱形的性质；（3）菱形的判定．

能力训练要求：

（1）经历探索菱形的性质和判别条件的过程，在操作活动和观察、分析过程中发展学生的主动探究习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会说理的基本方法；

（2）了解菱形的现实应用和常用判别条件．

情感与价值观要求：

（1）在操作活动过程中，加深师生的情感；培养学生的观察能力，并提高学生的学习兴趣；

（2）在学习过程中，来体会菱形的图形美和内在美．

教学重点：

菱形的性质及判定方法．

教学难点：

菱形性质和直角三角形的知识的综合应用．

教学过程：

一、巧设情景问题，引入课题

前面我们探讨了平行四边形的性质和判别条件，下面我们来共同回忆一下．大家来看一个衣帽架（出示衣帽架，并按课本P93的图片进行变换），这个衣帽架中有你熟悉的图形吗？

（邻边相等的平行四边形．）我们把这样的平行四边形叫做菱形．这节课我们就来探讨一下菱形．

二、新课

你能给菱形下定义吗？

（一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．）菱形是一种特殊的平行四边形，特殊之处在于它是有一组邻边相等．所以菱形是具备：

“①平行四边形，②一组邻边相等”．这两个条件的四边形．下面大家画一个菱形，然后回答下列问题：

在菱形ABCD中，AB＝AD，对角线AC、BD相交于点O．

（1）图中有哪些线段是相等的？

哪些角是相等的？

（2）图中有哪些等腰三角形、直角三角形？

（3）两条对角线AC、BD有什么特定的位置关系？

（同学们讨论分析回答）

能否从中归纳出菱形的性质呢？

菱形是轴对称图形吗？

如果是，那么它有几条对称轴？

对称轴之间有什么位置关系？

如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？

大家拿出准备好的白纸，小剪刀来动手做一做．

方法一：

将一张长方形的纸横对折，再竖对折（如P92的图），然后沿图中的虚线剪下，打开即是菱形纸片．

方法二：

如图（P94的图），两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD就是菱形．

方法三：

将一张长方形纸对折，再在折痕上取任意长为底边，剪一个等腰三角形，然后打开即是菱形．

能说一说按这三种方法做的理由吗？

刚才通过折纸、剪切，得到了菱形，你能因此归纳一下菱形的判别方法吗？

分组讨论，然后总结：

菱形的判别方法：

1．一组邻边相等的平行四边形是菱形；

2．对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

3．四条边都相等的四边形是菱形。

（要注意的是：

菱形的判别方法的题设条件是平行四边形还是任意四边形．）

完成P94的议一议）．

三．应用

例1　（书上95页例1）

从图中知道：

AC与BD是相交，从已知条件：

AB＝

，OA＝2，OB＝1．结合图形知道：

这三条线段正好构成三角形．又由于AB2＝OA2＋OB2，所以可以知道：

△AOB是直角三角形，因此可以得出：

AC与BD互相垂直．

由于四边形ABCD是平行四边形，它的对角线互相垂直，所以由此可知：

平行四边形ABCD是菱形．

例2　如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90º，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD于F，交AC于E，若EG⊥BC于G，连结FG．求证：

四边形AFGE是菱形．

分析：

要判别四边形AFGE是菱形，要先证它是平行四边形，然后再寻找邻边相等的条件，而要证明它是平行四边形，要找出平行四边形的判定条件．

四、小结

本节课我们探讨了菱形的定义、性质和判别方法，我们来共同总结一下。

五、课后作业：

教学反思：

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4.4　矩形、正方形

（1）

教学目标：

2005年　月　日

知识与技能目标：

（1）掌握矩形的概念、性质和判别条件；

（2）提高对矩形的性质和判别在实际生活中的应用能力．

过程与方法目标：

（1）经历探索矩形的有关性质和判别条件的过程，在直观操作活动和简单的说理过程中发展学生的合情推理能力，主观探索习惯，逐步掌握说理的基本方法；

（2）知道解决矩形问题的基本思想是化为三角形问题来解决，渗透转化归思想．

情感与态度目标：

（1）在操作活动过程中，加深对矩形的的认识，并以此激发学生的探索精神；

（2）通过对矩形的探索学习，体会它的内在美和应用美．

教学重点：

矩形的性质和常用判别方法的理解和掌握．

教学难点：

矩形的性质和常用判别方法的综合应用．

教学过程设计：

一、情境导入：

演示平行四边形活动框架，引入课题．

二、讲授新课：

1．归纳矩形的定义：

问题：

从上面的演示过程可以发现：

平行四边形具备什么条件时，就成了矩形？

（学生思考、回答．）

结论：

有一个内角是直角的平行四边形是矩形．

2．探究矩形的性质：

（1）问题：

像框除了“有一个内角是直角”外，还具有哪些一般平行四边形不具备的性质？

（学生思考、回答）

结论：

矩形的四个角都是直角．

（2）探索矩形对角线的性质：

让学生进行如下操作后，思考以下问题：

（幻灯片展示）

在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．

随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？

当∠α是锐角时，两条对角线的长度有什么关系？

当∠α是钝角时呢？

当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时两条对角线的长度有什么关系？

（学生操作，思考、交流、归纳．）

结论：

矩形的两条对角线相等．

（3）议一议：

（展示问题，引导学生讨论解决．）

①矩形是轴对称图形吗？

如果是，它有几条对称轴？

如果不是，简述你的理由．

②直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，你能用矩形的有关性质解释这结论吗？

（4）归纳矩形的性质：

（引导学生归纳，并体会矩形的“对称美”）

矩形的对边平行且相等；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分；矩形是轴对称图形．

例解：

（性质的运用，渗透矩形对角线的“化归”功能．）

如图（图略），在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，AB＝OA＝4厘米．求BD与AD的长．

（引导学生分析、解答）

探索矩形的判别条件：

（由修理桌子引出）

（1）想一想：

（学生讨论、交流、共同学习）

对角线相等的平行四边形是怎样的四边形？

为什么？

结论：

对角线相等的平行四边形是矩形．

（理由可由师生共同分析，然后用幻灯片展示完整过程．）

（2）归纳矩形的判别方法：

（引导学生归纳）

有一个内角是直角的平行四边形是矩形．

对角线相等的平行四边形是矩形．

三．课堂练习：

（出示P98随堂练习题，学生思考、解答）

四．新课小结：

通过本节课的学习，你有什么收获？

（师生共同从知识与思想方法两方面小结．）

五．作业设计：

P99习题4.6　第1、2、3题．

课后反思：

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4.4　矩形、正方形

教学目标：

2005年　月　日

1．掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。

2．掌握正方形的性质定理1和性质定理2。

3．正确运用正方形的性质解题。

4．通过四边形的从属关系渗透集合思想。

5．通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。

教学重点：

正方形的性质。

教学难点：

正方形性质的应用。

教学疑点：

平行四边形，矩形，菱形，正方形之间的共性，特性及从属关系（可以通过画图，简单的集合关系图，举反例等来说明）。

教学过程：

一、复习提问

1．让学生叙述平行四边形、矩形、菱形的定义和它们的特殊性质。

2．说明平行四边形，矩形，菱形的内在联系。

二、引入新课

矩形和菱形都是特殊的平行四边形，那么更加特殊的平行四边形是什么图形？

它又有什么特殊性质呢？

这一堂课就来学习这种特殊的图形——正方形（写出课题）。

三、讲解新课

1．正方形的定义

因为学生对正方形很熟悉，所以可以直接介绍正方形的定义。

有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

正方形是在什么前提下定义的？

学生答：

平行四边形。

教师再问：

包括哪两层意思？

学生答：

（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）。

（2）并且有一个角是直角的平行四边形（矩形）。

画图表示正方形与矩形，正方形与菱形的从属关系。

2．正方形的性质

因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，

所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生和老师一起总结）。

正方形性质定理1：

正方形的四个角都是直角，四条边相等。

正方形性质定理2：

正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

说明：

定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。

例1　，求证：

正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形（按教科书讲）。

补充例题：

如图，已知正方形ABCD，延长AB到E，作AG⊥EC于G，AG交BC于F，求证：

AF＝CE。

小结：

（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如图。

（2）正方形的性质：

①正方形对边平行。

②正方形四边相等。

③正方形四个角都是直角。

④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

四、作业

教材P.158中12。

教学反思：

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4.5　梯形

（一）

教学目标：

2005年　月　日

1、经历探索梯形的有关概念、性质的过程，在简单的操作活动中发展学生的说理意识、主动探究的习惯，初步体会平移、轴对称的有关知识在研究等腰梯形性质中的运用；

2、探索并掌握梯形的有关概