奇妙的数字.docx

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奇妙的数字

奇妙的数字

初中数学园地

E-mial:

zzxhh@

作者：

张振兴

单位：

河北省黄骅市羊二庄中学（061109）

从“屈指可数”到“结绳记事”

在很久很久以前，原始人类还没有“数”的概念，他们开始只知道“有”或者“没有”.大约在一万年前，我们的祖先进入新石器时代，人们过着群居、渔猎的生活.在生产生活的实践活动中，逐渐知道了“多”与“少”的区别.后来人们意识到只知道“多”与“少”的区别，还远远不能满足实际需要，于是想到了身体的一个重要劳动器官——手，人们以手指作为计数工具，方便实用，这大概就是“屈指可数”这个成语的来历.

随着人类活动的增加，为了计算他们猎取或饲养的动物，只用手指的个数表示已经远远不够了，我们聪明的祖先就用石子、贝壳等自然实物来协助计算.人们把这些自然实物与所要计数的事物建立了一一对应关系，以便比较准确的计算.这种一一对应的数学思想可能是最原始最朴素的数学思想了.可是由于原始人类过的主要是游猎生活，经常搬迁，不易携带这些笨重的东西.于是，人们想到了“结绳记事”的方法.

春秋时期成书《易经·系辞》里记载：

“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契.”表明人类早已采用“结绳记事”的方法表示数.比如，打了两只兔子，就在绳子上拴两个小结；打了三只鹿，就在绳子上拴三个大结，以此区分事物的多少和种类.在四千多年前的甲骨文，有一个“数”字，看他多像一双手在绳上结呀，在打了许多结的主绳下面还栓着几根细绳.这表示古人是用结绳的方法来计数的（如图1）.

图1

筹码计数

结绳计数还是有点太不方便，尤其不利于计算，怎么办呢？

在五千多年前古代黄河流域一带，气候比现在温暖湿润，竹子丛生.我们的祖先已会利用竹子建房、制箭、做筷子，自然会想到削竹片来作为计算的辅助工具.就这样，我们的祖先，把竹子削制成竹签，称为筹码.将这些筹码摆成不同的形状来表示数字.

古人将“算”字写成图2的样子，就好像两双手正在摆弄算筹.

图2

由于竹子容易腐烂，不易保存，因此我们看不到在殷墟出土有算筹的实物.

1954年，考古学家在湖南省长沙左家公山一座战国晚期的楚墓里，发掘出一个竹筒，装有天平、砝码、毛笔，以及四十根长短约12厘米的竹筹，这些距今二千一百多年的竹筹，是最早发现、也是最古老的算筹实物.

1978年在河南省登封出土的早期战国陶器上，也刻有算筹记数的陶文.

殷墟出土的二十多万片龟甲兽骨上所刻的甲骨文中，“一”、“二”、“三”、“四”、“五”、“六”和“十”写成“一”“=”“≡”“

”“

”“X”和“∧”、“|”等算筹摆成的形状.这种数字遗迹表明距今三千三百多年前的商代，人们已经开始使用算筹了.研究表明，我国早在四千年前，就会用十进制了.

在西安半坡遗址出土的六千年前的彩陶钵口沿上，有一些刻划的符号和后来在甲骨文、金文出现的“｜”、“‖”、“|||”、“||||”、“十”等数字符号相似.陶文中还有图3这样的符号，可能是表示较大的数字.

图3

在算筹的实际使用中，古人发现，如果用|、||、|||、||||、|||||来表1、2、3、4、5，那么就要用6根竹棒表示6了，很不方便，而采用“X”表示6，又看不出它于5的关系.到了在公元前六世纪到公元前三世纪，周人就用

或

表示6，用

、

表示7，用

、

表示8，用

或

表示9.

秦汉时期，用筹码表示数字的方法已经基本定型，分为横式及纵式两种，如图4所示：

图4

用筹码表示一个数时，如果把个位作为第一位，从个位向前依次为第二位（十位）、第三位（百位）、第四位（千位）……，那么所有的奇数位上的数字都摆成纵式，所有的偶数位上的数字都摆成横式.即固定个位、百位、万位等数位上使用纵式，而十位、千位、十万位等数位上使用横式.比如3769表示为“≡

”.

特殊数字特殊摆法

从西周直到宋元，在长达两千多年的时间，人们使用算筹作为计算工具.算筹也由最初的竹制、木制，逐渐产生了铁制、骨制、玉制等.

《汉书·律历志》中记载：

“其算法用竹，径一分，长六寸，二百七十一枚而成六觚，为一握.”这说明在西汉时算筹一般是圆形竹棍，把二百七十一枚筹捆成六棱柱.从汉朝到隋朝，算筹渐渐变短变小，而且把圆柱形改成棱柱形，主要原因是为了方便取用.

对于算筹而言，在历史发展的长河中，改进的不仅仅是制作工艺.数字研究范围的扩大，也促使算筹产生了一些摆特殊数字的特殊表示方法.

早在公元263年，魏晋时期大数学家刘徽在注《九章算术》里写道：

“正算赤，负算黑，否则以邪（通‘斜’字）正为异.”就是说，一般使用的表示正数的算筹是红色的，表示负数的算筹是黑色的.万一黑色的算筹不够，就用斜放的算筹表示负数，正放的算筹表示正数.以红黑两种颜色，或以正斜两种位置区别数的正负，是我国古代劳动人民的创造.

直至北宋，著名科学家沈括晚年巨著《梦溪笔谈·卷八》中写道：

“算法用赤筹、黑筹，以别正负之数.”可见这种以颜色区分正负的方法，在经过一千余年后的北宋时期还一直沿用.大概现在账册中用红色表示亏损（出现负数），也是受到古人的启发吧.

历史上还有其他用算筹表示正负数的方法.例如，在隋代，人们用三棱形的算筹表示正数，四棱形的算筹表示负数.捆扎的方法是把表示正数的算筹二百六十枚，捆成一个六棱柱，每边六筹，对径十二筹；表示负数的算筹一百四十四枚，捆成长方体，每边十二筹.

另外，刘徽在他注解的《九章算术》中还研究了小数.当时，他把“小数”称为“微数”.这比西方人对小数的认识早大约1000年.用算筹表示这种“微数”时，在整数部分的最后一个数字下面标注单位，比如，用“

寸

|||||”表示“6.35寸”.

到13世纪中叶，我国数学家把小数的小数部分放在比整数部分低一格的位置上，出现了世界上最早的小数表示法.例如，把小数4108.697表示为：

|□

算筹虽然为促进我国古代数学的研究作出了巨大贡献，但是它运算方法复杂，并且要占用很大的场地，给数学的进一步研究带来了诸多不便.我们现在可以想象，距今一千五百年前的南北朝时期的大数学家祖冲之，计算圆内接正24576边形的边，而得到圆周率π的近似值是在3.1415926与3.1415927之间，是多么不易！

暂且不说用针尖确定顶点作出这样的标准的正多边形多么困难，但看其计算量之大及摆弄算筹的场地面积之广，就可以知道祖冲之当时进行的研究，工作量是多么巨大.难怪算盘出现以后，很快取代了算筹的地位，成为长期占据“统治地位”的计算工具.但是，我们不难看出，算盘用上档中的一粒珠代表5，下档中的一粒珠代表1，在很大程度上是受到了算筹表示数字的启发和影响.

国外的数字发展

据说，一个埃及国王被一个恶鬼缠住了，恶鬼的条件是让国王数清他的全部手指有多少根，否则，不会放过他.国王费了好大力气才把自己的手指数完，避免了一场灾难.国王被称颂为天才.这是因为在当时，一般的人只知道“一个”与“多个”的区别，最聪明的人也只能数出一、二、三这三个数，相对而言，这位埃及国王可谓智力超常了.

又相传，在一次战争中，古波斯王命令士兵坚守一座桥梁，要守60天，为了准确的表示这么大的数，波斯王在一根长长的皮带上，系了60个扣结.他对士兵说：

“我走后，你们每天解开一个扣.什么时候把皮带上的扣子都解完了，什么时候你们的任务就完成了.”

1930年，美国的考古学家在伊拉克境内发现一个古代巴比伦时期的泥罐，泥罐上画着一种动物，上面封着口.打开口一看，罐内有48粒泥丸.这表明泥罐的主人曾经拥有48只罐上画的动物.

图5是藏于法国巴黎人类博物馆的古代秘鲁印第安人的遗物，证明当时人们曾采用结绳方法来计数.

图5

上面这些例子表明，在国外，先人们表示数时，也是利用了实物与要数的事物一一对应的关系.

古代埃及人最早使用的文字形成于公元前3000多年.史料显示，至公元前2000年时，埃及人已经会用数学解题，有过十进制记数法，还初步掌握了分数的运算.那时的数字是一种象形文字，书写在尼罗河三角洲地带出产的水草上，以后又产生了数字的简化符号，如图6所示.

图6

图7是用象形文字记载的方程式.

图7

图中所示内容，从右向左读为：

一堆（未知数）及其

、

与

的和（整堆）等于33.这就是一个方程，用x表示所求的未知数，则图7内容表示为：

在亚洲西部两河流域的“新月地带”，是古代巴比伦文化的发祥地.公元前3000多年时，苏美尔人用小尖棒在潮湿的泥板上划出字迹，笔道的形状很像楔子，故称“楔形文字”.当时的数字如图8所示.

图8

公元前1894年在两河流域建立的古巴比伦王国，继续发展了楔形文字.古代巴比伦人是天文学的创造者，他们把一个小时分成60分钟，把一分钟分成60秒钟，把一秒钟分成60秒分，把圆等分成3600.在天文学的强大影响下，古巴比伦人的记数方法采用六十进制，而不是十进制.俄国数学家曾发现了44块公元前2000年前后的泥板，上面记录的是古代巴比伦“数学考据表”，似乎是当时数学成就的集成汇编.图9公元前1500年左右的古巴比伦数字.

图9

除此之外，还有一些古代国家也有自己创造的数字符号.比如，公元300年的古代玛雅，就用·、··、···、····、—、

、

、

、

、

表示1~10这十个数字.

斯拉夫数字

俄罗斯民族的祖先也使用了一套独立的数字符号，用“斯拉夫字母”表示.图10就是用斯拉夫字母加一些特殊符号表示数字的.

图10

在很久以前，人们在生产生活中，只用到一些不太大的数字，俄罗斯人的祖先称这种数为“小数”.这种“小数”的最大值为10000.在俄罗斯最古老的数学文献中，10000被称为“黑暗”，意思是说这个数已经不能清楚的想象到它有多大，是一个很模糊的数字概念.以后，“小数”的界线放宽到108，就是“黑暗的黑暗”.

古代俄罗斯文献中认为：

“大过这个数（108），已经不是人的智慧所能了解到的了.但是，除了这些‘小数’之外，如果发生大数或者特大数的计算，就要使用其他的表示方法.这种方法表示的数被称为‘大的数’或者‘大的计算’，也就是‘大的斯拉夫数’.在这种‘大的斯拉夫数’中，使用较高的数位：

106、1012、1024、1048，有时候还要用到1049.”文献作者还觉得：

“没有比1049更大的数了.”

为了表示这些“大的数”，古代俄罗斯人创造性的使用了一种方法：

在一个斯拉夫基本数字符号的周围加上一定的边饰.对于一些特别大的数字，表示的方法如图11所示.

图11

古代俄罗斯数学家这种朴素的“大数”思想，与古希腊学者阿基米德有一定关系.据说，阿基米德是历史上第一个提出“大数”的人.他在一本书中写道：

“有人认为，在全世界所有有人烟和没有人迹的地方，沙子的数目是无穷的；也有人认为，沙子的数目不是无穷的，不过要想表示沙子的数目是办不到的.但是，我的计算表明，如果把所有的海洋和洞穴都填满沙子，这些沙子的总数不会超过1后面有100个0.”后来的数学家给这个大数起了个名字，叫做“古戈”.但是，在具体运算研究中，还经常会遇到更大的数，于是数学家又规定了一个新的名称“古戈布莱克斯”，一个古戈布莱克斯有多大呢？

我们数一下它在1的后面0有多少个，就会大吃一惊了：

这些0有一万亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿（12个“亿”字）！

影响深远的罗马数字

以上所讲的数字，在我们的日常生活中已经很那看到他们的踪影了.但是，在一些钟表的面盘上，或者某些序号编制中，还经常用到一种数字：

Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ、Ⅹ、Ⅺ、Ⅻ（分别表示1~12）等等，这种数字就是罗马数字.恐怕它是除了阿拉伯数字，人们至今还偶尔使用的唯一数字形式.

其实，公元前400年左右，罗马数字的写法并不是现在的样子，它是采用希腊字母表示的，比如把1~13分别表示为Α、Β、Γ、Δ、Ε、F、Ζ、Η、θ、Ι、ΙΑ、ΙΒ、ΙΓ.

今天我们见到的罗马数字，其实只有七个基本数字符号：

Ⅰ、Ⅴ、Ⅹ、L、C、D、M，分别表示1、5、10、50、100、500、1000.罗马数学家采用“重复加倍”、“右加左减”、“千倍加横”等多种办法，对这七个基本数字符号进行各种组合，用来表示不同的数值.

“重复加倍”就是把一个数字重复写几次，表示这个数的几倍.比如，把Ⅰ重复写两次为II,用它表示2；重复写三次为III,用它表示3.又比如，ⅩⅩ表示10的2倍，即为20；MMM表示1000的3倍，即为3000.

“右加左减”是指在一个比较大的数字右边附上一个比较小的数；表示加上这个比较小的数；在一个比较大的数的左边附上一个比较小的数，表示减去这个比较小的数.比如，DC表示D加上C，即500+100=600，所以DC表示的数值是600；IX表示X减去I，即10–1=9，所以用IX表示的数值是9；XCVIII表示（100–10）+（5+1×3）=90+8=98，所以用XCVIII表示的数值是98；CMLXXIV表示（1000–100）+（50+10×2）+（5–1）=900+70+4=974，所以用CMLXXIV表示的数值是974.但是，运用“右减”的原则时，不能“越等”，比如99不能表示为IC（100-1=99），而只能写成XCIX，即（100–10）+（10–1）=90+9=99.

“千倍加横”是说在一个数的上面加上一条横线，表示这个数的1000倍.比如，

表示500的1000倍，即500000，

表示[（100-10）+（5+1×2）]×1000=97×1000=97000.如果在一个数上画两横，则表示这个数的1000倍的1000倍，即表示原数的1000000倍，比如，

表示500的1000000倍，即为500000000.另外，在一个数的后面附上M，在不产生歧义的情况下，也能表示一个数的1000倍.比如，XVM与

所表示的数相同，都是15000（注意：

XVM不能表示1000–（10+5）=1000–15=985，因为这是“越等”的算法）.

到公元前200年左右，直至13世纪，罗马数字在欧洲各国的应用极为普遍.但是，作为常用的一个数字“0”，在罗马数字中的地位却经历了一段悲惨的经历.

起初，古代巴比伦人用空方格“□”表示0；后来，人们意识到印度计数法中的“0”使用更方便.大约1500年前，罗马帝国的一位学者在他的手册中记录了使用“0”的好处，并且向大家做了介绍.不久，这件事情被罗马教皇知道了.当时的欧洲，教会的势力可以说是至高无上的，罗马教皇的权力甚至凌驾于皇帝之上.教皇派人抓来了这位学者，对他大发雷霆：

“神圣的数，是上帝创造的.教会决不允许‘0’这个邪物进来，玷污了圣洁的宗教！

谁要把它引进来，就是亵渎上帝！

”盛怒之下，气急败坏的教皇下令对这位学者施以“拶（读作“zǎn”）刑”.用刑具拶子紧紧夹住这位学者的十指，使他双手残废，再也不能握笔写字了.就这样，“0”在罗马数字中被明令禁用了.

但是，正直的罗马数学家们仍然在秘密的使用着“0”，推进了罗马的数学研究，使罗马数学的发展不致受到太大影响.

由于罗马教皇的愚昧残忍，加之表示方法繁琐难记，致使罗马数字逐步缩小了适用范围，最终被淘汰数学的应用领域.

阿拉伯数字——起错的名字

我们现在通用的数字被称为“阿拉伯数字”，基本数字符号为：

0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个.由于它采用十进制计数法，并且便于运算和书写，成为世界各国都在使用的数字.

可能有些人认为，我们现在使用的阿拉伯数字阿拉伯人发明的.其实这是一个由于历史原因造成的误会.阿拉伯数字是一个被起错的名字.确切的说，应该是我们现在使用的数字起源于古代印度，阿拉伯人为它的传播与改进作出了重大贡献.

公元8世纪中期，伊斯兰教创立者穆罕默德的继承人（哈里发）建立起东起印度、西至西班牙，横跨亚、非、欧三大洲的阿拉伯帝国.一位叫堪克的印度数学家、天文学家，携带着数学书籍和天文图表，随着商人的驼队，来到了阿拉伯帝国的都城巴格达，他把带有印度数字的天文表晋献给巴格达王宫.此时，中国的造纸术也传入阿拉伯帝国，于是，一些阿拉伯学者把印度书籍翻译成阿拉伯文，并在此基础上加以改进，使之很快在阿拉伯半岛上流传开来，印度数字也随之传播到阿拉伯帝国的各地.

至13世纪，随着东西方商业的频繁往来，这种数字由阿拉伯传到欧洲.欧洲人觉得这种数字方便实用，大加赞赏.由于当时的欧洲人，以为这种数字就是阿拉伯人发明的，所以称之为“阿拉伯数字”.

其实，最初的“阿拉伯数字”也不是现在的样子.它的写法如图12所示.

图12

至11世纪时的印度数字，如图13所示.

图13

现在我们使用的阿拉伯数字，是经过1000多年的传抄改进.直到1522年，英国同斯托的书中阿拉伯数字的写法才与现在的样子基本一致，逐步固定下来.

百川归海，如今，我们都在使用“全球通用”的阿拉伯数字.它给我们的生产生活、工作学习都带来了很大的便利，为世界的发展做出了巨大的贡献.