九年级数学下册一轮复习 第27课时 相似图形.docx
《九年级数学下册一轮复习 第27课时 相似图形.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级数学下册一轮复习 第27课时 相似图形.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
九年级数学下册一轮复习第27课时相似图形
2019-2020年九年级数学下册一轮复习第27课时相似图形
内容标准：
（1）了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。
（2）通过具体实例认识图形的相似。
了解相似多边形和相似比。
（3）掌握基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
（4）了解相似三角形的判定定理：
两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。
*了解相似三角形判定定理的证明。
（5）了解相似三角形的性质定理：
相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。
（6）了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。
（7）会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。
（8）在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点、有一条边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的。
数学思想、方法
在研究相似图形性质、判定的过程中，进一步发展空间观念；经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。
体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力。
十大核心概念在本节课中突出培养的是几何直观、空间观念、符号意识、推理能力、模型思想、应用意识。
一、基础知识梳理（课前完成）
1．比例线段
对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即___________，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
2.比例的性质
⑴基本性质：
如果a:
b=c:
d（）,那么___________；如果ad=bc（a、b、c、d都不等于0），那么___________．
⑵合比性质：
如果,那么___________．
⑶等比性质：
如果（b+d+···+n≠0），那么___________．
3．黄金分割
在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC），如果__________，那么线段AB被点C黄金分割。
点C叫做线段的黄金分割点，AC与BC的比叫做黄金比，即___________≈___________．
4.相似多边形
⑴定义：
各角对应__________、各边对应__________的两个多边形叫做相似多边形（定义也是判别）．相似多边形__________叫做相似比．
⑵性质：
①对应角__________，对应边__________；
②周长比等于__________；面积比等于__________．
5.相似三角形
⑴性质：
①对应角__________，对应边__________；
②相似三角形___________的比、对应角平分线的比和___________的比都等于___________的比；周长比等于___________；面积比等于___________．
⑵判别：
①两角对应__________的两个三角形相似；
②两边对应__________且夹角__________的两个三角形相似；
③三边对应__________的两个三角形相似．
注意：
（1）全等是特殊的相似，即相似比为1：
1
（2）相似三角形分类：
①A型斜A型
（DE∥BC）（DE不平行于BC）
②X型斜X型
（AB∥CD）（AB不平行于CD）
（3）当条件中出现“某三角形与某三角形相似”往往要进行分类讨论；当出现“某三角形～某三角形”时是唯一确定的．
6.位似图形
⑴定义：
如果两个图形不仅是__________，而且每组对应点所在的直线都经过__________，那么这样的两个图形叫做位似图形．这个点叫做__________，这时的相似比又称为__________．
⑵性质：
①位似图形上任意一对对应点到__________的距离之比等于__________．
②对应线段的比等于__________；
③周长比等于__________；面积比等于__________．
注意：
⑴相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
⑵位似图形的放大或缩小要考虑两种情况：
同方向和反方向各做一个．
7.相似三角形的应用
相似三角形的知识在实际生产和生活中有着广泛的应用，这一应用建立在数学建模和数形结合的思想的基础上，把实际问题转化为__________问题，通过求解数学问题达到解决__________问题的目的．
注意：
⑴黄金分割的应用：
如舞台主持人的位置、妈妈穿高跟鞋的高度等问题；
⑵利用相似测量物体的高度：
如旗杆的高度、物体的影长等问题．
二、基础诊断题
1．（xx•牡丹江）若x：
y=1：
3，2y=3z，则的值是（ ）
A．
﹣5
B．
﹣
C．
D．
5
2．（xx年山东省滨州市）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分
面积相等，则= ．
3．（xx•宜昌）如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
A．
（6，0）
B．
（6，3）
C．
（6，5）
D．
（4，2）
4.如图，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件：
，
使△ABC∽△ADE．
5.（xx•天津）如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD
于点F，则EF：
FC等于（ ）
A．
3：
2
B．
3：
1
C．
1：
1
D．
1：
2
【精典例题】
例1.（xx•贵阳）如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（ ）
A．P1B．P2C．P3D．P4
本题考查了相似三角形的判定：
两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
例2.（xx•随州）如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，
则S△DOE：
S△COB=（ ）
A．
1：
4
B．
2：
3
C．
1：
3
D．
1：
2
考点：
相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
例3（xx•菏泽）如图，Rt△ABO中，∠AOB=90°，点A在第一象限、点B在第四象限，且AO：
BO=1：
，若点A（x0，y0）的坐标x0，y0满足y0=，则点B（x，y）的坐标x，y所满足的关系式为 y=．
变式：
如图△ABC是等边三角形,P为BC上一点,D为AC上一点,若
∠APD=60°.
（1）求证:
△APB∽△PCD
（2）若BP=1，CD=，求△ABC的边长
例4（xx•武汉）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；
【自测训练】
A组—基础训练
一、选择题（每小题有四个选项，只有一个选项是正确的.）
1．如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为（ ）
A．5B．6C．7D．12
2．在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=BC．图中相似三角形共有（ ）A．1对B．2对C．3对D．4对
3．（xx年江苏南京）若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：
2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（ ）
A．1：
2B．2：
1C．1：
4D．4：
1
4．（xx山东省聊城）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，下列结论不正确的是（）
A.BC=2DEB.△ADE∽△ABC
C.D.
5．（xx沈阳）如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD=2AD，
DE∥BC交AC于点E，若线段DE=5，则线段BC的长为（）
A.7.5B.10C.15D.20
二、填空题
1．（xx•本溪）如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于_______。
2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若AD=1，BC=3，△AOD的面积为3，则△BOC的面积为___________．
3.（xx安顺）在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：
EC=1：
2，
则BF：
BE=．
4.在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是_____
5.（xx湖北随州）如图，点D,E分别在AB、AC上，且
∠ABC=∠AED。
若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为______________。
三、解答题
1．（xx•南宁）如图10，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，分别延长FD和CB交于点G.
（1）求证：
△ADE≌△CFE；
（2）若GB=2，BC=4，BD=1，求AB的长.
2.（xx•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）
（1）若△CEF与△ABC相似．
①当AC=BC=2时，AD的长为 ；
②当AC=3，BC=4时，AD的长为 ；
（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？
请说明理由．
3、（xx•乐山）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．
（1）求BD的长；
（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABCM的面积．
4.（xx年山东省滨州市）如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，OP交AC于点Q．
（1）求证：
△APQ∽△CDQ；
（2）P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．
①当t为何值时，DP⊥AC？
②设S△APQ+S△DCQ=y，写出y与t之间的函数解析式，并探究P点运动到第几秒到第几秒
B组—提升训练
一、选择题（每小题有四个选项，只有一个选项是正确的.）
1.（xx•莱芜，第10题3分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：
S△CDE=1：
4，则S△BDE：
S△ACD=（ ）
A．
1：
16
B．
1：
18
C．
1：
20
D．
1：
24
2.（xx年江苏南京，第6题，2分）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（ ）
（第2题图）
A．（，3）、（﹣，4）B．（，3）、（﹣，4）
C．（，）、（﹣，4）D．（，）、（﹣，4）
3.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）
4.在菱形ABCD中，E是BC边上的点，
连接AE交BD于点F,若EC=2BE,则的值是（）
A.B.C.D.
5.（xx•湖北黄冈,第8题3分）已知：
在△ABC中，BC=10，BC边上的高h=5，点E在边AB上，过点E作EF∥BC，交AC边于点F．点D为BC上一点，连接DE、DF．设点E到BC的距离为x，则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
1.（xx•泰州，第15题，3分）如图，A、B、C、D依次为一直线上4个点，BC=2，△BCE为等边三角形，⊙O过A、D、E3点，且∠AOD=120°．设AB=x，CD=y，则y与x的函数关系式为 y=（x＞0） ．
2.如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE.若△DEF的面积为a，则□ABCD中的面积为.（用a的代数式表示）
3.（xx•遵义17．（4分））“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：
出南门几何步而见木？
”这段话摘自《九章算术》，意思是说：
如图，矩形ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FE⊥AD，EG=15里，HG经过A点，则FH= 1.05 里．
4.（xx年湖北咸宁16．（3分））如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且cosα=．下列结论：
①△ADE∽△ACD；
②当BD=6时，△ABD与△DCE全等；
③△DCE为直角三角形时，BD为8或；
④0＜CE≤6.4．
其中正确的结论是 ①②③④ ．（把你认为正确结论的序号都填上）
5（xx•黔东南州）将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是 ．
三、解答题
1、（（xx年山东泰安，第28题）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．
（1）求证：
=；
（2）若AB⊥AC，AE：
EC=1：
2，F是BC中点，求证：
四边形ABFD是菱形．
2、（xx•四川自贡，第23题12分）阅读理解：
如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：
（1）如图①，∠A=∠B=∠DEC=45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；
（3）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．
3、（xx•包头）如图，已知∠MON=90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E，F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=1秒时，△EOF与△ABO是否相似？
请说明理由；
（2）在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA．为什么？
（3）连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得S△AEF=S四边形ABOF？
若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
课后反馈
1.（本小题满分9分）已知：
△ABC是任意三角形．
⑴如图1所示，点M、P、N分别是边AB、BC、CA的中点．求证：
∠MPN=∠A．
⑵如图2所示，点M、N分别在边AB、AC上，且，，点P1、P2是边BC的三等分点，你认为∠MP1N+∠MP2N=∠A是否正确？
请说明你的理由．
⑶如图3所示，点M、N分别在边AB、AC上，且，，点P1、P2、……、Pxx是边BC的xx等分点，则∠MP1N+∠MP2N+……+∠MPxxN=____________．（请直接将该小问的答案写在横线上．）
2.（2011）28．（9分）如图，点C为线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角，且∠ACD＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP．
（1）求证：
△ACE≌△DCB；
（2）请你判断△ACM与△DPM的形状有何关系并说明理由；
（3）求证：
∠APC＝∠BPC．
3.（本小题满分9分）如图,已知双曲线y＝经过点D（6,1）,点C是双曲线第三象限分支上的动点,过C作CA⊥x轴,过D作DB⊥y轴,垂足分别为A,B,连结AB,BC．
（1）求k的值；
（2）若△BCD的面积为12,求直线CD的解析式；
（3）判断AB与CD的位置关系,并说明理由.
4.（本小题满分9分）如图1,抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴相交于点A（－3,0）,B（－1,0）,与y轴相交于点C．⊙O1为△ABC的外接圆,交抛物线于另一点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求cos∠CAB的值和⊙O1的半径；
（3）如图2,抛物线的顶点为P,连结BP,CP,BD,M为弦BD的中点.若点N在坐标平面内,满足△BMN∽△BPC,请直接写出所有符合条件的点N的坐标.
5、已知直线，相邻的两条平行直线间的距离均为，矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB=4，BC=6，则的值等于
（A）（B）（C）（D）
6、如图1，抛物线平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．
（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积；
（2）如图2，直线AB与轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，为直角，边MN与AP相交于点N，设，试探求：
①为何值时为等腰三角形；
②为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．
升级会员 