集合论.docx
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集合论
第一章集合
习题1.1
1.
a）{0,1,2,3,4}
b）{11,13,17,19}
c）{12,24,36,48,64}
2.
a）{x|xN且x100}
b）Ev={x|xN且2整除x}Od={x|xN且2不能整除x}
c）{y|存在xI使得y=10x}或{x|x/10I}
3.极小化步骤省略
a）
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A；
若,A，则A。
或
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A；
若A且a{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，则aA。
或
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A；
若A且a{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，则aA。
b）
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A；
若,A且0，则A。
c）
若a{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，则a.A；
若A且a{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，则aA；
若A且a{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，则aA。
或
{0.,1.,2.,3.,4.,5.,6.,7.,8.,9.}A；
若A且a{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，则aA；
若A且a{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，则aA。
d）
{0,10}A；
若A，则1A；
若,A且0，则A。
e）Ev定义如下：
{0}Ev或0Ev；
若Ev，则+2Ev。
Od定义如下：
{1}Od或1Od；
若Od，则+2Od。
f）
{0}A或0A；
若A，则
A。
4.A=G；C=F；B=E。
5.题号是否正确
a）
b）（空集不含任何元素）
c）
d）
e）
f）
g）
h）
6.题号是否正确
a）（反例：
A={a}；B=；C={{a}}）
b）（反例：
A=；B={}；C={}）
c）（反例：
A=；B={a}；C={}）
d）（反例：
A=；B={}；C={{}}）
7.能。
例如：
B=A{A}。
8.
a）；{1}；{2}；{3}；{1,2}；{1,3}；{2,3}；{1,2,3}；
b）；{1}；{{2,3}}；{1,{2,3}}；
c）；{{1,{2,3}}}；
d）；{}；
e）；{}；{{}}；{,{}}；
f）；{{1,2}}；
g）；{{,2}}；{{2}}；{{,2},{2}}；
9.
a）{，{a}，{{b}}，{a,{b}}}；
b）{，{1}，{}，{1,}}；
c）{，{x}，{y}，{z}，{x,y}，{x,z}，{y,z}，{x,y,z}}；
d）{，{}，{a}，{{a}}，{,a}，{,{a}}，{a,{a}}，{,a,{a}}}。
习题1.2
1.
a）A~B={4}；
b）（AB）~C={1,3,5}；
c）~（AB）={2,3,4,5}；
d）~A~B={2,3,4,5}；
e）（A–B）–C=；
f）A–（B–C）={4}；
g）（AB）C={5}；
h）（AB）（BC）={1,2}。
2.
a）BC或B–E；
b）AD；
c）（A–B）C；
d）C–B或C–A；
e）（AC）（E–B）或（A–E）（E–B）；
3.
a）证明：
对于任意xAC，
因为xAC，所以xA或xC。
若xA，则由于AB，因此xB；
若xC，则由于CD，因此xD。
所以，xB或xD，即xBD。
所以，ACBD。
类似可证ACBD。
d）A–（BC）=A~（BC）=A（~B~C）=（AA）（~B~C）
=（A~B）（A~C）=（A–B）（A–C）
f）A–（A–B）=A~（A–B）=A~（A~B）=A（~AB）
=（A~A）（AB）=（AB）=AB
4.
a））若A=B，则AB=A且AB=A。
因此，AB=（AB）–（AB）=A–A=。
）若AB=，则AB=AB。
又因为ABAAB且ABBAB，所以
AB=A=B=AB。
所以A=B。
5.证明略。
a）
b）
c）（反例：
A={a,b}，B={a}，C={b}）
d）（反例：
A={a}，B={a,b}，C={a,c}）
e）
f）（反例：
A={a,b}，B={a}，C={b}）
g）（反例：
A={a}，B={a,b}，C={a,c}）
6.
a）BC~A；
b）ABC；
c）A~（BC），即BC~A；
d）ABC；
e）（A–B）（A–C）=（A~B）（A~C）=
（（A~B）（A~C））–（（A~B）（A~C））=
（（A~B）（A~C））~（（A~B）（A~C））=
（（A~B）（A~C））（~（A~B）~（A~C））=
（（A~B）（A~C））（（~AB）（~AC））=
（A（~B~C））（~A（BC））=
（A（~B~C））（BC）=
A（（BC）~（BC））=
A（BC）
因此，若（A–B）（A–C）=A，则A（BC）=A。
所以，A（BC）。
f）由上题，（A–B）（A–C）=A（BC）
因此，若（A–B）（A–C）=，则A（BC）=。
g）A=B；
h）A=B=；
i）A=B；
j）B=；
k）BA或AB。
7.
a）对于任意x（A）（B），则x（A）或x（B）。
若x（A），则xA。
因为AAB，所以，xAB。
因此，x（AB）。
若x（B），则xB。
因为BAB，所以，xAB。
因此，x（AB）。
所以，总有x（AB）。
因此，（A）（B）（AB）。
b）对于任意x（A）（B），则x（A）且x（B）。
x（A），因此xA。
x（B），因此xB。
所以，xAB。
因此，x（AB）。
所以，（A）（B）（AB）。
8.
a）{{}}={}，{{}}={}；
b）{,{}}={}，{,{}}=；
c）{{a},{b},{a,b}}={a,b}，{{a},{b},{a,b}}=。
9.证明：
i）若xR0，则xR且x1。
所以对于任意iI+均有x<1+1/i。
即对于任意iI+均有xRi。
所以，x
。
ii）若x
，则对于任意iI+均有xRi。
所以对于任意iI+均有x<1+1/i。
所以，x1，故x
。
10.因为An+1An，所以
，
。
11.
，
。
12.
a）
；
b）
。
习题1.3
1.
a）证明：
用第一归纳法
i）当n=1时，左边=1/2=右边；
ii）对任意的k1，假设当n=k时命题为真，即
因为
即当n=k+1时命题也为真。
由i）ii）可知，对于任意n1均有
。
b）证明：
用第一归纳法
i）当n=1时，左边=2=右边；
ii）对任意的k1，假设当n=k时命题为真，即
2+22+23++2k=2k+1-2
因为
2+22+23++2k+2k+1=2k+1-2+2k+1=2k+2-2
即当n=k+1时命题也为真。
由i）ii）可知，对于任意n1均有
2+22+23++2n=2n+1-2。
c）证明：
用第一归纳法
i）当n=0时，左边=10=右边；
当n=1时，左边=22=右边；
ii）对任意的k1，假设当n=k时命题为真，即
2k2k
因为
2k+1=22k22k2k+2=2（k+1）（因为k1）
即当n=k+1时命题也为真。
由i）ii）可知，对于任意n1均有
2n=2n。
d）证明：
用第一归纳法
i）当n=1时，左边=3，右边=3，3|3，所以n=1时命题为真；
ii）对任意的k1，假设当n=k时命题为真，即
3|k3+2k
因为
（k+1）3+2（k+1）=k3+3k2+3k+1+2k+2=（k3+2k）+3（k2+k+1）
由于3|k3+2k且3|3（k2+k+1），因此，3|（k+1）3+2（k+1）
即当n=k+1时命题也为真。
由i）ii）可知，对于任意n1均有
3|n3+2n。
e）证明：
用第一归纳法
i）当n=1时，左边=6=右边=3，所以n=1时命题为真；
ii）对任意的k1，假设当n=k时命题为真，即
123+234++k（k+1）（k+2）=k（k+1）（k+2）（k+3）/4
因为
123+234++k（k+1）（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）=
k（k+1）（k+2）（k+3）/4+（k+1）（k+2）（k+3）=
（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）/4
即当n=k+1时命题也为真。
由i）ii）可知，对于任意n1均有
123+234++n（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）（n+3）/4。
f）证明：
证明分三部分
三个相邻整数中最小者0；
三个相邻整数中最小者=-1；
三个相邻整数中最小者-2。
对
用第一归纳法，即证9|n3+（n+1）3+（n+2）3
i）当n=0时，9|9，所以n=0时命题为真；
ii）对任意的k0，假设当n=k时命题为真，即
9|k3+（k+1）3+（k+2）3
因为
（k+1）3+（k+2）3+（k+3）3=
k3+3k2+3k+1+（k+1）3+3（k+1）2+3（k+1）+1+（k+2）3+3（k+2）2+3（k+2）+1=
k3+（k+1）3+（k+2）3+3k2+3k+1+3（k+1）2+3（k+1）+1+3（k+2）2+3（k+2）+1=
k3+（k+1）3+（k+2）3+9k2+27k+27=
k3+（k+1）3+（k+2）3+9（k2+3k+3）
由于9|k3+（k+1）3+（k+2）3且9|9（k2+3k+3）
所以，9|（k+1）3+（k+2）3+（k+3）3，即当n=k+1时命题也为真。
由i）ii）可知，对于任意n0均有
9|n3+（n+1）3+（n+2）3
对
由于9|n3+（n+1）3+（n+2）3，所以，9|（-n）3+（-（n+1））3+（-（n+2））3。
对
因为9|0，所以此时命题也为真。
根据以上证明可知，任意三个相邻整数的立方和能被9整除。
g）证明：
用第一归纳法
i）当n=0时，112+121=133，133|133，所以n=0时命题为真；
ii）对任意的k0，假设当n=k时命题为真，即
133|11k+2+122k+1
因为
11k+3+122（k+1）+1=1111k+2+122122k+1=11（11k+2+122k+1）+133122k+1
由于133|11k+2+122k+1且133|133122k+1
因此，133|11（11k+2+122k+1）+133122k+1。
即当n=k+1时命题也为真。
由i）ii）可知，对于任意n1均有
133|11n+2+122n+1
3.证明：
用第二归纳法
i）当n=1时，
，所以n=1时命题为真；
当n=2时，
，所以n=2时命题为真；
ii）对任意的k2，假设当2nk时命题均为真，
则由对于任意nI+，Fn+1=Fn+Fn-1可知
Fk+1=Fk+Fk-1
Fk+1=Fk+Fk-1
即当n=k+1时命题也为真。
由i）ii）可知，对于任意n1均有
。
4.分析：
（证明略）
设n=（m+1）q+r，mr>0。
首先，甲扳倒r根，然后每当乙扳倒x（1xm）根，因为1（m+1）–xm，所以此时甲可扳倒（m+1）–x根，故甲总能获胜。
证明：
对q（即n除以m+1的商）用第一归纳法。
i）当q=0时，因为n=r且mr1，所以甲可一次将r根全部扳倒，则甲获胜。
ii）对任意的k0，假设当q=k时命题为真，
则当q=k+1时，即存在r使得n=（m+1）（q+1）+r，mr>0，由于
此时甲可扳倒r根，然后乙只能扳倒x（1xm）根，此时剩下n=（m+1）q+（m+1）-q根，因为1（m+1）–xm，则根据归纳假设可知甲总能获胜。
即当q=k+1时命题也为真。
由i）ii）可知，对于任意q0均有甲总能获胜。
5.证明：
用第一归纳法
对于每个ii0，用Q（i）表示下列命题：
对于任意jj0，P（i,j）皆真。
下面验证：
Q（i）满足第一归纳法的条件。
i）Q（i0）为真，因为（对j用第一归纳法）：
a）P（i0,j0）为真；
b）若P（i0,j）为真，则P（i0,j+1）为真；
由归纳法可知，Q（i0）为真。
ii）若Q（i）为真（ii0），即对于任意ii0，jj0，P（i,j）为真。
则对于任意jj0，P（i+1,j）为真，即Q（i+1）为真。
由i）和ii）可知，对于任意ii0，Q（i）皆真。
所以，对于任意ii0，jj0，P（i,j）为真。
6.证明：
假设有nN使nn，即{n}n，故n+={n}nn，同时nn+，所以n=n+。
矛盾！
（与皮亚诺公理矛盾）
10.证明：
假设有mN使n因为nm且nm，所以n{n}m，即n+m。
而mn+m与mn+矛盾，所以假设不成立，即不可能有mN使n习题1.4
1.
a）A{1}B={<0,1,1>,<0,1,2>,<1,1,1>,<1,1,2>}
b）A2B={<0,0,1>,<0,0,2>,<0,1,1>,<0,1,2>,<1,0,1>,<1,0,2>,<1,1,1>,<1,1,2>}
c）（BA）2={<1,0,1,0>,<1,0,1,1>,<1,0,2,0>,<1,0,2,1>,
<1,1,1,0>,<1,1,1,1>,<1,1,2,0>,<1,1,2,1>,
<2,0,1,0>,<2,0,1,1>,<2,0,2,0>,<2,0,2,1>,
<2,1,1,0>,<2,1,1,1>,<2,1,2,0>,<2,1,2,1>}
2.题号是否正确
a）（反例：
A=D={a}，B=C=，则左边={}，而右边=）
b）
c）（反例：
A=C=D=N，B=，则左边=，而右边=NN）
d）（反例：
A=C={1,2}，B={1}，D={2}，则左边={<2,1>}，
而右边={<1,1>,<2,1>,<2,2>}）
7.证明：
题目等价于证明：
若=，则a=c且b=d。
设=，则{{a,A},{b,B}}={{c,A},{d,B}}
{a,A}={c,A}且{b,B}={d,B}
所以，a=c且b=d。
{a,A}={d,B}且{b,B}={c,A}
则因为AB，所以a=B,d=A,b=A且c=B。
所以，a=c且b=d。
故总有：
a=c且b=d。
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