湘教版八年级数学下知识点.docx

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湘教版八年级数学下知识点

第一章直角三角形

一、直角三角形的性质和判定

1.直角三角形：

有一个内角是直角的三角形。

三角形内角和等于180°。

三角形中线：

连接三角形的一个顶点与它的对边中点的线段。

2.直角三角形的性质

A.直角三角形的两个锐角互余。

B.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

C.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

D.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

3.直角三角形的判定

A.有两个角互余的三角形是直角三角形。

B.如果三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

二、勾股定理

1.勾股定理：

直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边的c的平方，即a2＋b2=c2。

2.在直角三角形中，已知任意两条边长，可以根据勾股定理求出第三边的长。

3.如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：

a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

三、直角三角形全等的判定

1.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。

2.直角三角形全等的条件（A表示对应角相等、S表示对应边相等）

四、角平分线的性质

1.角平分线上的点到角的两边的距离相等。

2.角的内部到角的两边距离相等的点在叫的平分线上。

第二章四边形

一、多边形

1.多边形：

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。

A.组成多边形的各条线段叫做多边形的边。

B.每相邻两条边的公共端点叫做多边形的焦点。

C.连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

D.相邻两边组成的角叫作多边形的内角，简称多边形的角。

2.多边形的内角和

n边形的内角和等于（n－2）*180°。

3.多边形的外角和

A.多边形外角的定义：

多边形的内角的一边与另一边的方向延长线所组成的角。

B.多边形外角和的定义：

在多边形的每一个顶点处取一个外角，它们的和。

C.多边形外角和定理：

任意多边形的外角和等于360°。

D.多边形外角和定理的证明：

多边形的每个内角与跟它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于n*180°，外角和等于n*180°－（n－2）*180°=360°。

4.正多边形

A.在平面内，边相等、角也相等的多边形叫作正多边形。

正多边形必须满足：

各边相等、各内角相等。

缺一不可。

各内角相等，所以每个内角为

各外角相等，外角为

，每个内角为180°－

。

正多边形都是轴对称图形，正n边形有n条对称轴，当n为偶数时，正n边形既是轴对称图形也是中心对称图形。

二、平行四边形

1.平行四边形的定义：

两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。

用“

”表示。

2.平行四边形的对边平行且相等、对角相等。

3.平行四边形的判定：

A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

B.两组对边分别相等（或分别平行）的四边形是平行四边形。

C.两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

D.对角线互相平分的四边形是平行四边形。

三、中心对称和中心对称图形

1.在平面内，如果一个图形G绕点O旋转180°，得到的像与另一个图形G’重合，那么将这两个图形关于点O中心对称，点O叫做对称中心。

2.成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。

3.作一个图形关于某一点成中心对称的图形

图形找出关键点、

确定对称中心、

连接关键点与对称中心、

并延长相等的距离确定关键点的对应点、

按原图形依次连接对应点得到中心对称图形。

4.中心对称图形：

如果一个图形绕一个点旋转180°，所得到的像与原来的图形互相重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点O叫作它的对称中心。

四、三角形的中位线

1.三角形的中位线：

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2.三角形的中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

五、矩形

1.矩形：

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长方形。

2.矩形的性质：

矩形的四个角都是直角。

矩形的对角线相等且互相平分。

3.矩形的判定

有一个角是直角的平行四边形是矩形

对角线相等的平行四边形是矩形

有三个角是直角的四边形是矩形

对角线相等且互相平分的四边形是矩形

4.矩形的对称性

矩形是轴对称图形，对称轴是过对边中点的直线，且两条对称轴互相垂直。

矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

六、菱形

1.菱形：

一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。

2.菱形的性质：

A.

四条边都相等、

对角相等、

对角线互相平分

B.菱形的对角线互相垂直。

C.菱形是中心对称图形，对称中心是对角线交点。

D.菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴。

3.菱形的判定

A.四条边都相等的四边形是菱形。

B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

4.菱形的面积：

S=1/2ab。

（a、b分别表示菱形对角线长度）

七、正方形

1.正方形：

有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。

2.正方形的性质：

具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质。

A.四边相等，对边平行，邻边垂直。

B.四个角都是直角。

C.对角线互相垂直且平分且相等，每一条对角线平分一组对角。

D.既是轴对称图形，对称轴是两组对角线和对边中点所在直线；也是中心对称图形。

3.正方形的判定

A.先证它是矩形，再证有一组邻边相等。

B.

证是平行四边形、

证有一个角是直角、

证有一组邻边相等

C.先证它是菱形，再证有一个角是直角。

D.

证是平行四边形、

证有一组邻边相等、

证有一个角是直角。

4.正方形的面积：

边长的平方或对角线乘积的一半。

第三章图形与坐标

一、有序实数对

1.有序实数对：

有顺序的两个数a与b组成的数对，记作（a，b）。

2.平面直角坐标系：

在平面内，有公共原点的两条互相垂直的数轴组成平面直角坐标系。

水平位置的数轴叫横轴或x轴，取向右为正方向；数值的数轴叫纵轴或y轴，取向上为正方向，两条数轴的交点O称为平面直角坐标系的原点。

在平面直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成四个区域，分别称为第一，第二，第三，第四象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限。

3.点的坐标表示：

对于平面内的任何一点P，过点P分别向x轴，y轴作垂线，垂足在x轴，y轴上对应的实数a，b分别叫作点P的横坐标、纵坐标，用有序实数对（a，b）表示点P的坐标。

平面上的点和有序实数对是一一对应的关系。

4.坐标平面内点的坐标特征

A.点P（x，y）在第一象限

x>0，y>0；点P（x，y）在第二象限

x<0，y>0；

点P（x，y）在第三象限

x<0，y<0；点P（x，y）在第四象限

x>0，y<0；

B.点P（x，y）在x轴上

y=0，x为任意实数；点P（x，y）在y轴上

x=0，y为任意实数；

点P（x，y）在x轴上，又在y轴上

x，y同时为零，即点P的坐标为（0，0）；

C.两点在平行于x轴的直线上

两点的纵坐标相同，横坐标为不相等的两个实数；

两点在平行于y轴的直线上

两点的横坐标相同，纵坐标为不相等的两个实数；

D.第一、三象限角平分线上的点横纵坐标相等；

第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数；

5.坐标平面内的点到原点的距离

若点A为坐标平面内的任意一点，即点A的坐标为（x，y），则点A到原点的距离

。

6.平面内点的位置的确定

A.直角坐标定位法：

在平面内建立适当的平面直角坐标系，用一对有序实数表示点在平面内的坐标，即点的位置。

B.方位角和距离定位法：

用方向和距离来确定平面内物体的位置的方法。

需要：

方位角；

目标到中心的距离。

二、简单图形的坐标表示

1.根据点的坐标描点作图

由点的坐标描点与由点写坐标正好相反，先找到点的横坐标在x轴上的位置，过该点作x轴的垂线，同样根据点的纵坐标在y轴上的位置，过该点作y轴的垂线，两条直线的交点即为所描的点。

连线作图时要按要求去连，只能连各组内的点，两组之间的点不要依次连接。

2.建立适当的平面直角坐标系确定点的坐标

用坐标表示物体的位置，首先要建立适当的直角坐标系，选取的坐标原点的位置发生变化时，图形上的个点的坐标也会发生变化。

三、轴对称和平移的坐标表示

1.轴对称的点的坐标特点

在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。

A（a，b）

A’（a，－b）

A（a，b）

A’’（－a，b）

2.平移的坐标表示

一般的，在平面直角坐标系中，将点（a，b）向右（或向左）平移k个单位，其像的坐标为（a＋k，b）（或（a－k，b））；将点（a，b）向上（或向下）平移k个单位，其像的坐标为（a，b＋k）（或（a，b－k））；

第四章一次函数

一、函数和它的表示法

1.变量与常量的概念

在讨论的问题中，取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量。

2.函数的概念

一般地，如果变量y随着变量x而变化，并且对于x取的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数，记作y=f（x），这时把x叫做自变量，把y叫做因变量，对于自变量x取的每一个值a，因变量y的对应值称为函数值，记作f（x）。

3.确定函数值：

如果y是x的函数，对于自变量x取的每一个值a，因变量y的对应值称为函数值，记作f（a）。

4.函数的表示方法

图像法：

建立平面直角坐标系，以自变量取的每一个值为横坐标，以相应的函数值（即因变量的对应值）为纵坐标，描出每一个点，由所有这些点组成的图形称为这个函数的图像，这种表示函数关系的方法称为图像法。

用图像法表示函数关系的优点是：

可以直观地看出因变量如何随着自变量而变化。

列表法：

列一张表，第一行表示自变量取的每一个值，第二行表示相应的函数值（即因变量的对应值），这种表示函数关系的方法称为列表法。

用列表法表示函数关系的优点是：

可以很清楚地看出自变量的值与因变量的对应值。

公式法：

用式子表示函数关系的方法称为公式法，这样的式子称为函数的表达式，用公式法表示函数关系的优点是：

可以方便地计算函数值。

二、一次函数

1.如果函数的表达式是关于自变量的一次是，那么这样的函数称为一次函数，它的一般形式是：

y=kx＋b（k，b为常数，k≠0）。

2.特别地，当b=0时，一次函数y=kx（k为常数，k≠0）也叫作正比例函数，其中k叫做比例系数。

3.一次函数的实际应用

A.找出题目和题设中自变量x、因变量y以及固定量

B.分析各变量间的数量关系

C.确定它们的函数类型，并列出y=kx＋b或y=kx（k，b为常数，k≠0）

D.根据题中给出的数据，通过计算得出完整的函数表达式（注意：

一次函数需要两组数据、正比例函数需要一组非零数据，自变量x和应变量y的取值范围）

E.根据函数表达式求出新自变量x对应的因变量y的值。

三、一次函数的图像

1.函数图像的画法

描点法：

列表

建立坐标系

描点

连线

2.正比例函数的图像

一般地，正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图像是一条经过原点的直线。

画正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图像只需取一点（1，k），然后过原点和这一点画直线即可，常把这条直线叫做“直线y=kx”。

3.正比例函数的性质

A.当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限从左向右上升，y随x的增大而增大；

B.当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限从左向右下降，y随x的增大而减小。

4.一般地，一次函数y=kx＋b（k，b为常数，k≠0）的图像是一条直线，常把这条直线叫做“直线y=kx＋b”。

其中k决定直线的倾斜方向，b决定直线与y轴交点的位置。

为了方便，常取图像与两个坐标轴的交点（0，b）和（－b/k，0），过这两点做直线即可。

A.当k>0，b<0时

直线y=kx＋b经过第一、二、三象限；

当k>0，b<0时

直线y=kx＋b经过第一、三、四象限；

当k<0，b<0时

直线y=kx＋b经过第一、二、四象限；

当k<0，b<0时

直线y=kx＋b经过第二、三、四象限；

B.当b>0时，一次函数y=kx＋b的图像与y轴的正半轴相交；当b=0时，一次函数y=kx＋b的图像经过原点；当b<0时，一次函数y=kx＋b的图像与y轴的负半轴相交。

5.一次函数的性质

一般地，一次函数y=kx＋b（k，b为常数，k≠0）有以下性质：

当k>0时，函数值y随x的增大而增大；当k<0时，函数值y随x的增大而减小。

6.正比函数与一次函数之间的平移关系

一次函数y=kx＋b（k，b为常数，k≠0）的图像可以看作由直线y=kx（k为常数，k≠0）向上（或向下）平移b个单位长度得到。

四、用待定系数法确定函数关系式

1.确定正比例函数的表达式

正比例函数的表达式y=kx（k≠0），只要确定了k的值，正比例函数的表达式即可确定。

一般地，如果知道一个函数是正比例函数或已知y与x成正比例，都可以设该函数的表达式为y=kx（k≠0）。

2.确定待定系数法确定一次函数的表达式

通过先设定函数表达式，再根据条件确定表达式中的未知系数，从而求出函数的表达式的方法称为待定系数法。

（至少需要两组对应值或者两个点（x1，y1）、（x2，y2））

一般步骤：

设表达式y=kx＋b（k≠0）

带入已知的值，得到k，b的方程组

解方程组求出k，b的值

将k，b值带入表达式并写出函数表达式。

第五章数据的频数分布

一、频数与频率

1.频数的意义：

频数是指在不同小组中的数据个数。

2.频率的意义：

一般地，如果重复进行n次试验。

某个试验结果出现的次数m称为这个试验结果在这n次试验中出现的频率，而频率与试验总次数的比m/n称为这个试验结果在这n次试验中出现的频率。

3.频率是频数的关系及应用：

频率是频数与数据组中所含数据的总数的比。

频率反映了不同数据或在不同范围内出现的数据在整个数据组所占的比例，频数则具体反应了数据分布的情况。

二、频数的应用

1.数据的频数、频率分布表：

数据的频数、频率分布表反映了一组数据中的每个数据出现的频数和频率，从而反映了在数据组中各数据的分布情况。

2.列频数分布表

A.在列频数分布表时，如果不同的数据不多，可以直接算出每个数据在数据组中出现的频数，然后列表表示；如果不同的数据较多，分布比较零散，可以先适当分组，计算出数据在各组中出现的频数。

B.一般步骤：

分组：

确定最小值m和最大值M，确定组距和组数

列频数分布表：

统计每组中的数据个数，采用“画记”的方法，得到频数分布表。

3.绘制频数直方图

为了直观地反应一组数据的分布情况，可以以频数分布表为基础，绘制频数直方图。

在直角坐标系中，以组距为宽，频数为高作小矩形，就可以得到直方图。

A.直方图的结构。

横轴：

表示分组的情况、纵轴：

表示频数和条形图：

直方图的主体部分是条形图，每一条是立于横轴之上的一个矩形。

底边长是这个组的组距，高为这组的频数。

B.作直方图的步骤

作横轴和纵轴，表明各自代表的名称和单位

在横轴上划分一些相互衔接的线段，每条线段表示一组，在每条线段的左端点表明这组的下限，在最后一组的线段的又端点表明其上限。

在纵轴上划分刻度，并用数标记。

以横轴上的每条线段为底各做一个矩形立于横轴之上，使各矩形的高等于相应的频数。