小学数学图形计算例题大汇总.docx
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小学数学图形计算例题大汇总
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小学数学图形计算例题大汇总
第一讲不规则图形面积的计算
（一）
我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：
实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。
那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？
我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。
例1如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。
解：
阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。
又因为S甲+S乙=12×12+10×10=244，
所以阴影部分面积=244-（50+132+12）=50（平方厘米）。
例2如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.
解：
因为△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，所以四边形AECF的面积与△ABE、△ADF的面积都等于正方形ABCD
在△ABE中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，
∴△ECF的面积为2×2÷2=2。
所以S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10（平方厘米）。
例3两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。
如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。
解：
在等腰直角三角形ABC中
∵AB=10
∵EF=BF=AB-AF=10-6=4，
∴阴影部分面积=S△ABG-S△BEF=25-8=17（平方厘米）。
例4如右图，A为△CDE的DE边上中点，BC=CD，若△ABC（阴影部分）面积为5平方厘米.求△ABD及△ACE的面积.
解：
取BD中点F，连结AF.因为△ADF、△ABF和△ABC等底、等高，所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.
所以△ACD的面积等于15平方厘米，△ABD的面积等于10平方厘米。
又由于△ACE与△ACD等底、等高，所以△ACE的面积是15平方厘米。
例5如下页右上图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积是8平方厘
解：
过E作BC的垂线交AD于F。
在矩形ABEF中AE是对角线，所以S△ABE=S△AEF=8.在矩形CDFE中DE是对角线，所以S△ECD=S△EDF。
例6如右图，已知：
S△ABC=1，
解：
连结DF。
∵AE=ED，
∴S△AEF=S△DEF；S△ABE=S△BED，
例7如下页右上图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的长DG为5厘米，求它的宽DE等于多少厘米？
解：
连结AG，自A作AH垂直于DG于H，在△ADG中，AD=4，DC=4（AD上的高）.
∴S△AGD=4×4÷2=8，又DG=5，
∴S△AGD=AH×DG÷2，
∴AH=8×2÷5=（厘米），
∴DE=（厘米）。
例8如右图，梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，△AED的面积是5平方米，BC=10米，求阴影部分面积.
解：
∵梯形面积=（上底+下底）×高÷2
即45=（AD+BC）×6÷2，
45=（AD+10）×6÷2，
∴AD=45×2÷6-10=5米。
∴△ADE的高是2米。
△EBC的高等于梯形的高减去△ADE的高，即6-2=4米，
例9如右图，四边形ABCD和DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等.
证明：
连结CE，
ABCD的面积等于△CDE面积的2倍，而
DEFG的面积也是△CDE面积的2倍。
∴
ABCD的面积与
DEFG的面积相等。
习题一
一、填空题（求下列各图中阴影部分的面积）：
二、解答题：
1.如右图，ABCD为长方形，AB=10厘米，BC=6厘米，E、F分别为AB、AD中点，且FG=2GE.求阴影部分面积。
2.如右图，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为12厘米和6厘米.求四边形CMGN（阴影部分）的面积.
3.如右图，正方形ABCD的边长为5厘米，△CEF的面积比△ADF的面积大5平方厘米.求CE的长。
4.如右图，已知CF=2DF，DE=EA，三角形BCF的面积为2，四边形BEDF的面积为4.求三角形ABE的面积.
5.如右图，直角梯形ABCD的上底BC=10厘米，下底AD=14厘米，高CD＝5厘米.又三角形ABF、三角形BCE和四边形BEDF的面积相等。
求三角形DEF的面积.
6.如右图，四个一样大的长方形和一个小的正方形拼成一个大正方形，其中大、小正方形的面积分别是64平方米和9平方米.求长方形的长、宽各是多少？
7.如右图，有一三角形纸片沿虚线折叠得到右下图，它的面积与原三角形面积之比为2：
3，已知阴影部分的面积为5平方厘米.求原三角形面积.
8.如右图，
ABCD的边长BC=10，直角三角形BCE的直角边EC长8，已知阴影部分的面积比△EFG的面积大10.求CF的长.
习题一解答
一、填空题：
二、解答题：
3．CE=7厘米．
可求出BE=12．所以CE=BE-5=7厘米．
4．3．提示：
加辅助线BD
∴CE=4，DE=CD-CE=5-4=1。
同理AF=8，DF=AD-AF=14-8=6，
6．如右图，大正方形边长等于长方形的长与宽的和.中间小正方形的边长等于长方形的长与宽的差.而大、小正方形的边长分别是8米和3米，所以长方形的宽为（8-3）÷2=（米），长方形的长为=（米）.
7．15平方厘米．解：
如右图，设折叠后重合部分的面积为x平方厘米，
x=5．所以原三角形的面积为2×5+5=15平方厘米．
∴阴影部分面积是：
10x-40＋S△GEF
由题意：
S△GEF＋10=阴影部分面积，
∴10x-40=10，x＝5（厘米）.
第五讲同余的概念和性质
你会解答下面的问题吗？
问题1：
今天是星期日，再过15天就是“六·一”儿童节了，问“六·一”儿童节是星期几？
这个问题并不难答.因为，一个星期有7天，而15÷7=2…1，即15＝7×2+1，所以“六·一”儿童节是星期一。
问题2：
1993年的元旦是星期五，1994年的元旦是星期几？
这个问题也难不倒我们.因为，1993年有365天，而365=7×52+1，所以1994年的元旦应该是星期六。
问题1、2的实质是求用7去除某一总的天数后所得的余数.在日常生活中，时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除，所得的余数问题.这样就产生了“同余”的概念.如问题1、2中的15与365除以7后，余数都是1，那么我们就说15与365对于模7同余。
同余定义：
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：
a≡b（modm）.（*）
上式可读作：
a同余于b，模m。
同余式（*）意味着（我们假设a≥b）：
a-b=mk，k是整数，即m｜（a-b）.
例如：
①15≡365（mod7），因为365-15=350=7×50。
②56≡20（mod9），因为56-20=36＝9×4。
③90≡0（mod10），因为90-0＝90=10×9。
由例③我们得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为：
a≡0（modm）。
例如，表示a是一个偶数，可以写
a≡0（mod2）
表示b是一个奇数，可以写
b≡1（mod2）
补充定义：
若m
（a-b），就说a、b对模m不同余，用式子表示是：
a
b（modm）
我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质（其中a、b、c、d是整数，而m是自然数）。
性质1：
a≡a（modm），（反身性）
这个性质很显然.因为a-a=0=m·0。
性质2：
若a≡b（modm），那么b≡a（modm），（对称性）。
性质3：
若a≡b（modm），b≡c（modm），那么a≡c（modm），（传递性）。
性质4：
若a≡b（modm），c≡d（modm），那么a±c≡b±d（modm），（可加减性）。
性质5：
若a≡b（modm），c≡d（modm），那么ac≡bd（modm）（可乘性）。
性质6：
若a≡b（modm），那么an≡bn（modm），（其中n为自然数）。
性质7：
若ac≡bc（modm），（c，m）=1，那么a≡b（modm），（记号（c，m）表示c与m的最大公约数）。
注意同余式性质7的条件（c，m）＝1，否则像普通等式一样，两边约去，就是错的。
例如6≡10（mod4），而3
5（mod4），因为（2，4）≠1。
请你自己举些例子验证上面的性质。
同余是研究自然数的性质的基本概念，是可除性的符号语言。
例1判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？
解：
∵288-214=74=37×2。
∴288≡214（mod37）。
∵74-20=54，而37
54，
∴74
20（mod37）。
例2求乘积418×814×1616除以13所得的余数。
分析若先求乘积，再求余数，计算量太大.利用同余的性质可以使“大数化小”，减少计算量。
解：
∵418≡2（mod13），
814≡8（mod13），1616≡4（mod13），
∴根据同余的性质5可得：
418×814×1616≡2×8×4≡64≡12（mod13）。
答：
乘积418×814×1616除以13余数是12。
例3求14389除以7的余数。
分析同余的性质能使“大数化小”，凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小.这道题先把底数在同余意义下变小，然后从低次幂入手，重复平方，找找有什么规律。
解法1：
∵143≡3（mod7）
∴14389≡389（mod7）
∵89＝64+16+8+1
而32≡2（mod7），
34≡4（mod7），
38≡16≡2（mod7），
316≡4（mod7），
332≡16≡2（mod7），
364≡4（mod7）。
∵389≡364·316·38·3≡4×4×2×3≡5（mod7），
∴14389≡5（mod7）。
答：
14389除以7的余数是5。
解法2：
证得14389≡389（mod7）后，
36≡32×34≡2×4≡1（mod7），
∴384≡（36）14≡1（mod7）。
∴389≡384·34·3≡1×4×3≡5（mod7）。
∴14389≡5（mod7）。
例4四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，…，这样一直进行下去.请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列？
分析与解答经观察试验我们可以发现，每经过4次互换，四盏灯的颜色排列重复一次，而1小时=60分钟=120×30秒，所以这道题实质是求120除以4的余数，因为120≡0（mod4），所以开灯1小时四盏灯的颜色排列刚好同一开始一样。
十位，…上的数码，再设M=a0＋a1＋…＋an，求证：
N≡M（mod9）。
分析首先把整数N改写成关于10的幂的形式，然后利用10≡1（mod9）。
又∵1≡1（mod9），
10≡1（mod9），
102≡1（mod9），
…
10n≡1（mod9），
上面这些同余式两边分别同乘以a0、a1、a2、…、an，再相加得：
a0＋a1×10+a2×102+…+an×10n
≡a0＋a1＋a2＋…＋an（mod9），
即N≡M（mod9）.
这道例题证明了十进制数的一个特有的性质：
任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。
以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。
例如，求1827496被9除的余数，只要先求（1+8＋2＋7＋4＋9＋6），再求和被9除的余数。
再观察一下上面求和式.我们可以发现，和不一定要求出.因为和式中1＋8，2+7，9被9除都余0，求余数时可不予考虑.这样只需求4＋6被9除的余数.因此，1827496被9除余数是1。
有人时常利用十进制数的这个特性检验几个数相加、相减、相乘的结果对不对，这种检查方法叫：
弃九法。
弃九法最经常地是用于乘法.我们来看一个例子。
因为5483≡5＋4＋8＋3≡11≡2（mod9），
9117≡9＋1＋1＋7≡0（mod9），
所以5483×9117≡2×0≡0（mod9）。
≡8（mod9），
要注意的是弃九法只能知道原题错误或有可能正确，但不能保证一定正确。
例如，9875≡9＋8+7+5≡2（mod9），
4873≡4＋8＋7＋3≡4（mod9），
≡8（mod9），
弃九法也可以用来检验除法和乘方的结果。
例6用弃九法检验下面的计算是否正确：
解：
把除式转化为：
∵3544≡3＋5＋4＋4≡7（mod9），
7312≡7＋3＋1＋2≡4（mod9），
∴3544×7312≡7×4≡1（mod9），
而1
7（mod9）
例7求自然数2100＋3101＋4102的个位数字。
分析求自然数的个位数字即是求这个自然数除以10的余数问题。
解：
∵2100≡24×25≡625≡6（mod10），
3101≡34×25·31≡125·31≡3（mod10），
4102≡（22）100·42≡6·6≡6（mod10），
∴2100＋3101＋4102≡6＋3＋6≡5（mod10），
即自然数2100＋3101＋4102的个位数字是5.
习题五
1.验证对于任意整数a、b，式子a≡b（mod1）成立，并说出它的含义。
2.已知自然数a、b、c，其中c≥3，a除以c余1，b除以c余2，则ab除以c余多少？
年的六月一日是星期二，这一年的十月一日是星期几？
4.求＋被7除的余数。
5.所有自然数如下图排列.问300位于哪个字母下面？
6.
数，被13除余多少（
提示：
先试除，可知13|111111，而1993≡1（mod6））。
7.用弃九法检验下面运算是否正确：
①845×372=315340；
8.求1993100的个位数字.
习题五解答
1.例：
∵1|a-b，2≡3（mod1），7≡15（mod1），式子a≡b（mod1）的含义是：
任意整数a、b对模1同余.整数是模1的同余类。
2.解：
∵a≡1（modc），b≡2（modc），
∴ab＝2（modc）
即ab除以c余2。
年的十月一日是星期五。
4.解：
∵3333≡1（mod7），
∴≡1（mod7）。
又∵5555≡4（mod7），
∴＝43333（mod7）。
而43≡1（mod7），
∵43333≡（43）1111≡1（mod7），
∴+≡1+1≡2（mod7），
即＋被7除余2。
5.解：
∵300≡6（mod7）。
∴300与6在同一列，在D下面。
6.答：
余1。
7.①不正确；
②不正确；
③不正确。
.
第四讲最大公约数和最小公倍数
本讲重点解决与最大公约数和最小公倍数有关的另一类问题——有关两个自然数.它们的最大公约数、最小公倍数之间的相互关系的问题。
定理1两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质.即如果（a，b）=d，那么（a÷d，b÷d）＝1。
证明：
设a÷d=a1，b÷d=b1，那么a＝a1d，b=b1d。
假设（a1，b1）≠1，可设（a1，b1）＝m（m＞1），于是有a1=a2m，b1＝b2m.（a2，b2是整数）
所以a=a1d＝a2md，b＝b1d＝b2md。
那么md是a、b的公约数。
又∵m＞1，∵md＞d。
这就与d是a、b的最大公约数相矛盾.因此，（a1，b1）≠1的假设是不正确的.所以只能是（a1，b1）=1，也就是（a÷d，b÷d）＝1。
定理2两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积.（证明略）
定理3两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数.（证明略）
下面我们就应用这些知识来解决一些具体的问题。
例1甲数是36，甲、乙两数的最大公约数是4，最小公倍数是288，求乙数.
解法1：
由甲数×乙数=甲、乙两数的最大公约数×两数的最小公倍数，可得
36×乙数=4×288，
乙数=4×288÷36，
解出乙数=32。
答：
乙数是32。
解法2：
因为甲、乙两数的最大公约数为4，则甲数=4×9，设乙数=4×b1，且（b1，9）=1。
因为甲、乙两数的最小公倍数是288，
则288＝4×9×b1，
b1＝288÷36，
解出b1＝8。
所以，乙数=4×8=32。
答：
乙数是32。
例2已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？
解：
要求这两个数的和，我们可先求出这两个数各是多少.设这两个数为a、b，a＜b。
因为这两个数的最大公约数是21，故设a=21a1，b＝21b1，且（a1，b1）＝1。
因为这两个数的最小公倍数是126，
所以126=21×a1×b1，
于是a1×b1=6，
因此，这两个数的和为21＋126=147，或42＋63=105。
答：
这两个数的和为147或105。
例3已知两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，求这两个自然数。
解：
设这两个自然数分别为a与b，a＜b.因为这两个自然数的最大公约数是5，故设a=5a1，b=5b1，且（a1，b1）=1，a1＜b1。
因为a＋b=50，所以有5a1+5b1=50，
a1+b1=10。
满足（a1，b1）=1，a1＜b1的解有：
答：
这两个数为5与45或15与35。
例4已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。
解：
设这两个数为a与b，a＜b，且设（a，b）＝d，a＝da1，b＝db1，其中（a1，b1）＝1。
因为两个自然数的积=两数的最大公约数×两数的最小公倍数，
所以240=d×60，
解出d＝4，
所以a=4a1，b=4b1.
因为a与b的最小公倍数为60，
所以4×a1×b1＝60，
于是有a1×b1＝15。
答：
这两个数为4与60或12与20。
例5已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公约数的差为114，求这两个自然数。
解：
设这两个自然数分别为a与b，a＜b，（a，b）＝d，a＝da1，b＝db1，其中（a1，b1）＝1。
因为a+b＝54，所以da1+db1=54。
于是有d×（a1＋b1）＝54，因此，d是54的约数。
又因为这两个数的最小公倍数与最大公约数的差为114，
所以da1b1-d=114，
于是有d×（a1b1-1）=114，
因此，d是114的约数。
故d为54与114的公约数。
由于（54，114）＝6，6的约数有：
1、2、3、6，根据定理3，d可能取1、2、3、6这四个值。
如果d＝1，由d×（a1+b1）＝54，有a1＋b1=54；又由d×（a1b1-1）＝114，有a1b1=115。
115=1×115=5×23，但是1＋115=116≠54，5＋23=28≠54，所以d≠1.
如果d＝2，由d×（a1＋b1）＝54，有a1+b1=27；又由d×（a1b1-1）=114，有a1b1=58。
58＝1×58＝2×29，但是1＋58＝59≠27，2+29＝31≠27，所以d≠2。
如果d=3，由d×（a1＋b1）=54，有a1+b1＝18；又由d×（a1b1-1）=114，有a1b1=39。
39＝1×39＝3×13，但是1＋39＝40≠18，3＋13＝16≠18，所以d≠3。
如果d=6，由d×（a1＋b1）=54，有a1＋b1=9；又由d×（a1b1-1）=114，有a1b1=20。
20表示成两个互质数的乘积有两种形式：
20=1×20＝4×5，虽然1＋20=21≠9，但是有4＋5＝9，所以取d＝6是合适的，并有a1=4，b1＝5。
a＝6×4＝24，b＝6×5＝30。
答：
这两个数为24和30。
例6已知两个自然数的差为4，它们的最大公约数与最小公倍数的积为252，求这两个自然数。
解：
设这两个自然数分别为a与b，且a＞b，a＝da1，b=db1，（a1，b1）＝1。
因为a-b=4，所以da1-db1=4，于是有d×（a1-b1）=4，因此d为4的约数。
因为这两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积为252，所以d×da1b1＝252，于是有d2×a1b1=（2×3）2×7，因此d为2×3的约数。
故d为4与2×3的公约数。
由于（4，2×3）＝2，2的约数有1和2两个，所以d可能取1、2这两个值。
如果d=1，由d×（a1-b1）=4，有a1-b1=4；又由d2×a1b1=252，有a1b1=252。
252表示成两个互质数的乘积有4种形式：
252=1×252=4×63=7×36＝9×28，但是252-1＝251≠4，63-4＝59≠4，36-7=29≠4，28-9＝19≠4，所以d≠1。
如果d=2，由d×（a1-b1）=4，有a1-b1=2；又由d2×a1b1＝252，有a1b1=63。
63表示为两个互质数的乘积有两种形式：
63＝1×63=7×9，但63-1＝62≠2，而9-7＝2，且（9，7）=1，所以d=2，并且a1＝9，b1＝7。
因此a=2×9＝18，b＝2×7＝14。
答：
这两个数为18和14。
在例2～例5的解答中之所以可以在假设中排除a=b这种情形（在各例中都只假设了a＜b），分别是由于：
例2和例5，若a＝b，则（a，b）＝[a，b]＝a，与条件（a，b）≠[a，b]矛盾；例3，若a=b，则a＝b=（a，b）=5，因此a＋b＝10≠50，与条件矛盾；例4，a×b=240不是平方数。
从例题的解答中可以看出，在处理涉及两数的最大公约数或者最小公倍数的很多问题中，经
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