简单的逻辑联结词.docx
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简单的逻辑联结词
§1.3 简单的逻辑联结词
1.3.1 且(and)
1.3.2 或(or)
学习目标
1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题,并判断其命题的真假.
知识点一 “且”
思考 观察三个命题:
①5是10的约数;②5是15的约数;③5是10的约数且是15的约数,它们之间有什么关系?
从集合的角度如何理解“且”的含义.
答案 命题③是将命题①,②用“且”联结得到的新命题.“且”与集合运算中交集的定义A∩B={x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同,表示“并且”,“同时”的意思.“且”作为逻辑联结词,与生活用语中“既…,又…”相同,表示两者都要满足的意思,在日常生活中经常用“和”“与”代替.
梳理
(1)定义:
一般地,用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作p∧q,读作“p且q”.
(2)当p,q都是真命题时,p∧q是真命题;当p,q两个命题中有一个命题是假命题时,p∧q是假命题.
我们将命题p和命题q以及p∧q的真假情况绘制为命题“p∧q”的真值表如下:
p
q
p∧q
真
真
真
真
假
假
假
真
假
假
假
假
命题“p∧q”的真值表可简单归纳为“同真则真”.
(3)“且”是具有“兼有性”的逻辑联结词,对“且”的理解,可联系集合中“交集”的概念,A∩B={x|x∈A且x∈B}中的“且”是指“x∈A”与“x∈B”这两个条件都要同时满足.
知识点二 “或”
思考 观察三个命题:
①3>2;②3=2;③3≥2,它们之间有什么关系?
从集合的角度谈谈对“或”的含义的理解.
答案 命题③是命题①,②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题.
“或”从集合的角度看,可设A={x│x满足命题p},B={x│x满足命题q},则“p∨q”对应于集合中的并集A∪B={x│x∈A或x∈B}.“或”作为逻辑联结词,与日常用语中的“或”意义有所不同,而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思.“p或q”有三层意思:
要么只是p,要么只是q,要么是p和q,即p或q两者中至少要有一个.
梳理
(1)定义:
一般地,用联结词“或”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作p∨q,读作“p或q”.
(2)当p,q两个命题有一个命题是真命题时,p∨q是真命题;当p,q两个命题都是假命题时,p∨q是假命题.
我们将命题p和命题q以及p∨q的真假情况绘制为命题“p∨q”的真值表如下:
p
q
p∨q
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
命题“p∨q”的真值表可简单归纳为“假假才假”.
(3)对“或”的理解,可联系集合中“并集”的概念A∪B={x|x∈A或x∈B}中的“或”,它是指“x∈A”,“x∈B”中至少有一个是成立的,即可以是x∈A且x∉B,也可以是x∉A且x∈B,也可以是x∈A且x∈B.
(1)逻辑联结词“且”“或”只能出现在命题的结论中.(×)
(2)“p∨q为假命题”是“p为假命题”的充要条件.(×)
类型一 含有“且”“或”命题的构成
命题角度1 简单命题与复合命题的区分
例1 指出下列命题的形式及构成它的命题.
(1)向量既有大小又有方向;
(2)矩形有外接圆或有内切圆.
考点 “且”“或”的概念
题点 把命题写成“p∧q”或“p∨q”的形式
解
(1)是p∧q形式命题.
其中p:
向量有大小,q:
向量有方向.
(2)是p∨q形式命题.
其中p:
矩形有外接圆,q:
矩形有内切圆.
反思与感悟 不含有逻辑联结词的命题是简单命题;由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构成的命题是复合命题.
判断一个命题是简单命题还是复合命题,不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词,而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题.如“四边相等且四角相等的四边形是正方形”不是“且”联结的复合命题,它是真命题,而用“且”联结的命题“四边相等的四边形是正方形且四角相等的四边形是正方形”是假命题.
跟踪训练1 命题“菱形对角线垂直且平分”为________形式复合命题.
考点 “且”的概念
题点 把命题写成“p∧q”的形式
答案 p∧q
命题角度2 用逻辑联结词构造新命题
例2 分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题.
(1)p:
梯形有一组对边平行,q:
梯形有一组对边相等;
(2)p:
-1是方程x2+4x+3=0的解,q:
-3是方程x2+4x+3=0的解.
考点 “且”“或”的概念
题点 把命题写成“p∧q”或“p∨q”的形式
解
(1)p或q:
梯形有一组对边平行或有一组对边相等.
p且q:
梯形有一组对边平行且有一组对边相等.
(2)p或q:
-1或-3是方程x2+4x+3=0的解.
p且q:
-1和-3是方程x2+4x+3=0的解.
反思与感悟 用逻辑联结词“或”“且”联结p,q构成新命题时,在不引起歧义的前提下,可以把p,q中的条件或结论合并.
跟踪训练2 指出下列命题的形式及构成它的简单命题.
(1)96是48与16的倍数;
(2)不等式x2-x-2>0的解集是{x|x<-1或x>2}.
考点 “且”“或”的概念
题点 把命题写成“p∧q”或“p∨q”的形式
解
(1)p∧q:
p:
96是48的倍数;q:
96是16的倍数.
(2)p∨q:
p:
不等式x2-x-2>0的解集是{x|x<-1},
q:
不等式x2-x-2>0的解集是{x|x>2}.
类型二 “p∧q”和“p∨q”形式命题的真假判断
例3 分别指出“p∨q”“p∧q”的真假.
(1)p:
函数y=sinx是奇函数;q:
函数y=sinx在R上单调递增;
(2)p:
直线x=1与圆x2+y2=1相切;q:
直线x=
与圆x2+y2=1相交.
考点 “p∧q”和“p∨q”形式命题真假性判断
题点 判断“p∧q”和“p∨q”形式命题的真假
解
(1)∵p真,q假,∴“p∨q”为真,“p∧q”为假.
(2)∵p真,q真,∴“p∨q”为真,“p∧q”为真.
反思与感悟 形如p∨q,p∧q命题的真假根据真值表判定.如:
p
q
p∧q
p∨q
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
假
真
假
假
假
假
跟踪训练3 分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题的真假.
(1)p:
是无理数,q:
π不是无理数;
(2)p:
集合A=A,q:
A∪A=A;
(3)p:
函数y=x2+3x+4的图象与x轴有公共点,q:
方程x2+3x-4=0没有实数根.
考点 “p∧q”和“p∨q”形式命题真假性判断
题点 判断“p∧q”和“p∨q”形式命题的真假
解
(1)∵p真,q假,∴“p或q”为真,“p且q”为假.
(2)∵p真,q真,∴“p或q”为真,“p且q”为真.
(3)∵p假,q假,∴“p或q”为假,“p且q”为假.
类型三 已知复合命题的真假求参数范围
例4 已知p:
方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根,q:
方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根,若p或q为真,p且q为假,求m的取值范围.
考点 “p∨q”“p∧q”形式命题真假性的判断
题点 由“p∨q”“p∧q”形式命题的真假求参数的取值范围
解 因为p:
方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根,
所以
所以m>2.
因为q:
方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根,
所以Δ<0,即16(m-2)2-16<0,
所以16(m2-4m+3)<0,所以1<m<3.
因为p∨q为真,p∧q为假,
所以p为真,q为假或者p为假,q为真.
即
或
解得m≥3或1<m≤2.
所以m的取值范围为{m|m≥3或1<m≤2}.
引申探究
本例中若将“p且q为假”改为“p且q为真”,求实数m的取值范围.
解 同例得当p为真命题时,m>2,当q为真命题时,1<m<3.
因为p∨q为真,p∧q为真,所以p,q均为真命题,
即
解得2<m<3,所以m的取值范围为(2,3).
反思与感悟 应用逻辑联结词求参数范围的四个步骤
(1)分别求出命题p,q为真时对应的参数集合A,B.
(2)讨论p,q的真假.
(3)由p,q的真假转化为相应的集合的运算.
(4)求解不等式或不等式组得到参数的取值范围.
跟踪训练4 已知p:
(x+2)(x-3)≤0,q:
|x+1|≥2,若“p∧q”为真,则实数x的取值范围是________.
考点 “p∧q”形式命题真假性的判断
题点 由“p∧q”形式命题的真假求参数的取值范围
答案 [1,3]
解析 由(x+2)(x-3)≤0,解得-2≤x≤3.
由|x+1|≥2,解得x≥1或x≤-3.
∵“p∧q”为真,∴
解得1≤x≤3,则实数x的取值范围是[1,3].
1.已知p:
2+3=5,q:
5<4,则下列判断正确的是( )
A.p为假命题B.q为真命题
C.p∨q为真命题D.p∧q为真命题
考点 “p∧q”“p∨q”形式命题真假性的判断
题点 判断“p∧q”“p∨q”形式命题的真假
答案 C
解析 由题意,知p为真命题,q为假命题.
2.由下列各组命题构成的新命题“p或q”“p且q”都为真命题的是( )
A.p:
4+4=9,q:
7>4
B.p:
a∈{a,b,c},q:
{a}⊆{a,b,c}
C.p:
15是质数,q:
8是12的约数
D.p:
2是偶数,q:
2不是质数
考点 “p∧q”“p∨q”形式命题真假性的判断
题点 判断“p∧q”“p∨q”形式命题的真假
答案 B
3.已知命题p,q,若p为真命题,则( )
A.p∧q必为真B.p∧q必为假
C.p∨q必为真D.p∨q必为假
考点 “p∧q”“p∨q”形式命题真假性的判断
题点 判断“p∧q”“p∨q”形式命题的真假
答案 C
解析 p∨q,一真则真,故必有p∨q为真.
4.已知p:
函数y=sinx的最小正周期为
,q:
函数y=sin2x的图象关于直线x=π对称,则p∧q是________命题.(填“真”或“假”)
考点 “p∧q”形式命题真假性的判断
题点 判断“p∧q”形式命题的真假
答案 假
解析 由题意,知命题p为假命题,命题q也是假命题,故p∧q是假命题.
5.已知命题p:
函数f(x)=(x+m)(x+4)为偶函数;命题q:
方程x2+(2m-1)x+4-2m=0的一个根大于2,一个根小于2,若p∧q为假,p∨q为真,求实数m的取值范围.
考点 “p∧q”“p∨q”形式命题真假性的判断
题点 由“p∧q”“p∨q”形式命题的真假求参数的取值范围
解 若命题p为真,则由f(x)=x2+(m+4)x+4m,得m+4=0,解得m=-4.
设g(x)=x2+(2m-1)x+4-2m,其图象开口向上,
若命题q为真,则g
(2)<0,即22+(2m-1)×2+4-2m<0,解得m<-3.
由p∧q为假,p∨q为真,得p假q真或p真q假.
若p假q真,则m<-3且m≠-4;
若p真q假,则m无解.
所以实数m的取值范围为(-∞,-4)∪(-4,-3).
1.判断不含有逻辑联结词的命题构成形式关键是:
弄清构成它的命题条件、结论.
2.对用逻辑联结词联结的复合命题的真假进行判断时,首先找出构成复合命题的简单命题,判断简单命题的真假,然后分析构成形式,根据构成形式判断复合命题的真假.
(1)“p∧q”形式的命题简记为:
同真则真,一假则假;
(2)“p∨q”形式的命题简记为:
同假则假,一真则真.
一、选择题
1.“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
考点 “p∨q”“p∧q”形式命题真假性的判断
题点 判断“p∨q”“p∧q”形式命题的真假
答案 A
解析 p∧q是真命题⇒p是真命题,且q是真命题⇒p∨q是真命题;p∨q是真命题⇏p∧q是真命题.
2.命题p:
函数y=loga(ax+2a)(a>0且a≠1)的图象必过定点(-1,1),命题q:
如果函数y=f(x)的图象关于(3,0)对称,那么函数y=f(x-3)的图象关于原点对称,则有( )
A.“p且q”为真B.“p或q”为假
C.p真q假D.p假q真
考点 “p∨q”“p∧q”形式命题真假性的判断
题点 判断“p∨q”“p∧q”形式命题的真假
答案 C
解析 由命题p知,ax+2a=a,解得x=-1,故过定点(-1,1),而命题q为假命题.
3.设命题p:
函数y=sin2x的最小正周期为
;命题q:
函数y=cosx的图象关于直线x=
对称,则下列判断正确的是( )
A.p为真B.q为真
C.p∧q为假D.p∨q为真
考点 “p∧q”形式命题真假性的判断
题点 判断“p∧q”形式命题的真假
答案 C
解析 函数y=sin2x的最小正周期为
=π,故p为假命题;x=
不是y=cosx的对称轴,命题q为假命题,故p∧q为假.故选C.
4.p:
方程x2+2x+a=0有实数根,q:
函数f(x)=(a2-a)x是增函数,若“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,则实数a的取值范围是( )
A.a>0B.a≥0C.a>1D.a≥1
考点 “p∧q”“p∨q”形式命题真假性的判断
题点 由“p∧q”“p∨q”形式命题的真假求参数的取值范围
答案 B
解析 ∵方程x2+2x+a=0有实数根,
∴Δ=4-4a≥0,解得a≤1.
∵函数f(x)=(a2-a)x是增函数,
∴a2-a>0,解得a<0或a>1.
∵p∧q为假命题,p∨q为真命题,∴p,q中一真一假.
①当p真q假时,得0≤a≤1;
②当p假q真时,得a>1.
由①②,得所求实数a的取值范围是a≥0.
5.命题p:
“x>0”是“x2>0”的必要不充分条件,命题q:
△ABC中,“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件,则( )
A.p真q假B.p∧q为真
C.p∨q为假D.p假q真
考点 “p∨q”“p∧q”形式命题真假性的判断
题点 判断“p∨q”“p∧q”形式命题的真假
答案 D
解析 命题p假,命题q真.
6.命题p:
点P在直线y=2x-3上;q:
点P在曲线y=-x2上,则使“p且q”为真命题的一个点P的坐标是( )
A.(0,-3)B.(1,2)
C.(1,-1)D.(-1,1)
考点 “p∧q”形式命题真假性的判断
题点 判断“p∧q”形式命题的真假
答案 C
解析 点P(x,y)满足
解得P(1,-1)或P(-3,-9),故选C.
7.已知p:
x2-2x-3<0;q:
<1,若p且q为真,则x的取值范围是( )
A.(-1,2)B.(-1,3)
C.(3,+∞)D.(-∞,2)
考点 “p∧q”形式命题真假性的判断
题点 由“p∧q”形式命题的真假求参数的值
答案 A
解析 由命题p,得-1<x<3,
当q为真命题时,得x<2或x>3,
因为p∧q为真命题,则
即-1<x<2.
二、填空题
8.设p:
2x+y=3,q:
x-y=6,若p∧q为真命题,则x=________,y=________.
考点 “p∧q”形式命题真假性的判断
题点 由“p∧q”形式命题的真假求参数的值
答案 3 -3
解析 若p∧q为真命题,则p,q均为真命题,
所以有
解得
9.若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题,则x的取值范围是________.
考点 “p∨q”形式命题真假性的判断
题点 由“p∨q”形式命题的真假求参数的取值范围
答案 [1,2)
解析 x∈[2,5]或x∈(-∞,1)∪(4,+∞),
即x∈(-∞,1)∪[2,+∞),
由于命题是假命题,所以1≤x<2,即x∈[1,2).
10.设p:
关于x的不等式ax>1(a>0且a≠1)的解集是{x|x<0},q:
函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R,如果p和q有且仅有一个为真,则a的取值范围为_____________.
考点 “p∨q”形式命题真假性的判断
题点 由“p∨q”形式命题的真假求参数的取值范围
答案
∪(1,+∞)
解析 若p真,则0若q真,有
即a>
.
若q假,则a≤
,又p和q有且仅有一个为真,
∴当p真q假时,0,
当p假q真时,a>1.综上所述,a∈
∪(1,+∞).
三、解答题
11.判断下列复合命题的真假.
(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边;
(2)不等式x2-2x+1>0的解集为R且不等式x2-2x+2≤1的解集为∅.
考点 “p∧q”形式命题真假性的判断
题点 判断“p∧q”形式命题的真假
解
(1)这个命题是“p且q”形式的复合命题,其中p:
等腰三角形顶角的平分线平分底边,q:
等腰三角形顶角的平分线垂直于底边,因为p真q真,则“p且q”为真,所以该命题是真命题.
(2)这个命题是“p且q”形式的复合命题,其中p:
不等式x2-2x+1>0的解集为R,q:
不等式x2-2x+2≤1的解集为∅.因为p假q假,所以“p且q”为假,故该命题为假命题.
12.已知p:
c2<c和q:
对任意x∈R,x2+4cx+1>0,若p∨q为真,p∧q为假,求实数c的取值范围.
考点 “p∧q”“p∨q”形式命题真假性的判断
题点 由“p∧q”“p∨q”形式命题的真假求参数的取值范围
解 由不等式c2<c,得0<c<1.
由对任意x∈R,x2+4cx+1>0,
得(4c)2-4<0,得-
<c<
.
由已知,得p和q必有一个为真、一个为假.
当p真q假时,
≤c<1;当q真p假时,-
<c≤0.
故实数c的取值范围是-
<c≤0或
≤c<1.
13.设p:
函数f(x)=lg(ax2-4x+a)的定义域为R;q:
设a=(2x2+x,-1),b=(1,ax+2),不等式a·b>0对任意x∈(-∞,-1)恒成立.如果p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数a的取值范围.
考点 “p∨q”“p∧q”形式命题真假性的判断
题点 由“p∨q”“p∧q”形式命题的真假求参数的取值范围
解 若p为真命题,则ax2-4x+a>0对x∈R都成立,当a=0时,f(x)=lg(-4x)的定义域不为R,不合题意;当a≠0时,
则(-4)2-4a2<0且a>0,即
解得a>2.
若q为真命题,则由a·b>0对任意x∈(-∞,-1)恒成立,知2x2+x-(ax+2)>0,即a>2x-
+1对任意x∈(-∞,-1)恒成立,则a>
max.
令f(x)=2x-
+1(x≤-1),可知f(x)在(-∞,-1]上是增函数,当x=-1时取得最大值,f(x)max=1.故a≥1.
又p∨q为真命题,p∧q为假命题,则等价于p,q中一个为真命题,另一个为假命题.
若p真q假,则
无解;
若p假q真,则
则1≤a≤2.
综上,实数a的取值范围为[1,2].
四、探究与拓展
14.对于函数①f(x)=|x+2|;②f(x)=(x-2)2;③f(x)=cos(x-2).有命题p:
f(x+2)是偶函数;命题q:
f(x)在(-∞,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数,能使p∧q为真命题的所有函数的序号是______.
考点 “p∧q”形式命题真假性的判断
题点 判断“p∧q”形式命题的真假
答案 ②
解析 对于①,f(x+2)=|x+4|不是偶函数,故p为假命题.对于②,f(x+2)=x2是偶函数,则p为真命题;f(x)=(x-2)2在(-∞,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数,则q为真命题,故p∧q为真命题.对于③,f(x)=cos(x-2)显然不是(2,+∞)上的增函数,故q为假命题.故填②.
15.已知p:
(x+1)(x-5)≤0,q:
1-m≤x≤1+m(m>0).
(1)若p是q的充分条件,求实数m的取值范围;
(2)若m=5,p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数x的取值范围.
考点 “p∧q”“p∨q”形式命题真假性的判断
题点 由“p∧q”“p∨q”形式命题的真假求参数的取值范围
解
(1)由(x+1)(x-5)≤0得-1≤x≤5,
∵p是q的充分条件,∴
解得m≥4.
(2)当m=5时,q:
-4≤x≤6,根据已知,p,q一真一假,当p真q假时,
无解;
当p假q真时,
解得-4≤x<-1或5<x≤6.
综上,实数x的取值范围是[-4,-1)∪(5,6].