苏科版八年级上册数学《轴对称图形》单元测试含答案.docx
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苏科版八年级上册数学《轴对称图形》单元测试含答案
八年级数学单元测试《轴对称图形》
01 基础题
知识点1 轴对称与轴对称图形
1.(赤峰中考)下列图标是由我们熟悉的一些基本数学图形组成的,其中是轴对称图形的是(填序号).
2.图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称?
整个图形是轴对称图形吗?
它共有几条对称轴?
(第2题)
(第3题)
知识点2 线段的垂直平分线
3.(遂宁中考)如图,在△ABC中,AC=4cm,线段AB的垂直平分线交AC于点N,△BCN的周长是7cm,则BC的长为()
A.1cm;B.2cm;C.3cm;D.4cm
知识点3 画轴对称图形
4.请作出图中四边形ABCD关于直线a的轴对称图形,要求:
不写作法,但必须保留作图痕迹.
知识点4 等腰三角形
5.(荆门中考改编)如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,已知BD=4,则BC的长为()A.5;B.6;C.8;D.10
(第5题)
(第6题)
(第7题)
6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的平分线,则图中的等腰三角形有()
A.5个;B.4个;C.3个;D.2个
知识点5 等边三角形
7.如图所示,△ABC是等边三角形,且BD=CE,∠1=15°,则∠2的度数为()
A.15°B.30°C.45°D.60°
8.(义乌中考)由于木质衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作.
小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.
如图1,衣架杆OA=OB=18cm,若衣架收拢时,∠AOB=60°,
如图2,则此时A,B两点之间的距离是cm.
知识点6 含30°角的直角三角形的性质
9.如图,△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,若AD=6,则CD=.
(第9题)
(第10题)
(第11题)
10.如图,△ABC是等边三角形,AD∥BC,CD⊥AD,若AD=2cm,则△ABC的周长为
cm.
知识点7 最短路径问题
11.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,BC=5,EF垂直平分BC,点P为直线EF上的任一点,则AP+BP的最小值是()A.3;B.4;C.5;D.6
02 中档题
12.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=75°,E为BC延长线上一点,∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D,则∠D的度数为()A.15°B.17.5°C.20°D.22.5°
(第12题)
(第13题)
13.(雅安中考)如图所示,顶角A为120°的等腰△ABC中,DE垂直平分AB于D,若DE=2,则EC=.
14.如图,在平面直角坐标系中,A(1,2),B(3,1),C(-2,-1).
(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)△A1B1C1的面积为.
15.如图所示,MP和NQ分别垂直平分AB和AC.
(1)若△APQ的周长为12,求BC的长;
(2)∠BAC=105°,求∠PAQ的度数.
03 综合题
16.如图,在等边△ABC中,点E为边AB上任意一点,点D在边CB的延长线上,且ED=EC.
(1)当点E为AB的中点时(如图1),则有AE=DB(填“>”“<”或“=”);
(2)猜想AE与DB的数量关系,并证明你的猜想.
参考答案:
1.①②③④;2.解:
1和3,是,两条.3.C;
4.解:
如图所示:
四边形A′B′C′D′即为所求.
5.C;6.A;7.D;8.18;9.3;10.12;
11.B;
12.A;
13.8;
14.
(1)解:
如图所示:
△A1B1C1即为所求.
(2)4.5;
15.解:
(1)∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC,∴AP=BP,AQ=CQ.
∴△APQ的周长为AP+PQ+AQ=BP+PQ+CQ=BC.
∵△APQ的周长为12,∴BC=12.
(2)∵AP=BP,AQ=CQ,∴∠B=∠BAP,∠C=∠CAQ.
∵∠BAC=105°,∴∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-105°=75°.
∴∠PAQ=∠BAC-(∠BAP+∠CAQ)=105°-75°=30°.
16.解:
当点E为AB上任意一点时,AE与DB的大小关系不会改变.理由如下:
过E作EF∥BC交AC于F,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC=BC.
∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,即∠AEF=∠AFE=∠A=60°.
∴△AEF是等边三角形.∴AE=EF=AF.
∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°,
∴∠DBE=∠EFC=120°,∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°.
∵DE=EC,∴∠D=∠ECD.∴∠BED=∠ECF.
在△DEB和△ECF中,
∴△DEB≌△ECF(AAS).
∴BD=EF=AE,即AE=BD.
(二)线段的垂直平分线的应用
类型1 线段的垂直平分线的性质在求线段长中的应用
1.如图,在△ABC中,AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,垂足分别为F,G,已知△ADE的周长为12cm,则BC=.
(第1题)
2.如图,AB比AC长3cm,BC的垂直平分线交AB于D,交BC于E,△ACD的周长是14cm,求AB和AC的长.
3.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE,BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.求证:
(1)FC=AD;
(2)AB=BC+AD.
类型2 线段垂直平分线的性质在实际问题中的应用
4.如图,某城市规划局为了方便居民的生活,计划在三个住宅小区A,B,C之间修建一个购物中心,试问:
该购物中心应建于何处,才能使得它到三个小区的距离相等?
类型3 线段的垂直平分线的性质在判定两线段位置关系中的应用
5.如图,OE,OF分别是△ABC中AB,AC边的中垂线(即垂直平分线),∠OBC,∠OCB的平分线相交于点I,试判定OI与BC的位置关系,并给出证明.
参考答案:
1.12_cm;
2.解:
∵△ACD的周长是14cm,∴AD+DC+AC=14cm.
又∵DE是BC的垂直平分线,∴BD=DC.∴AD+DC=AD+BD=AB.∴AB+AC=14cm.
∵AB比AC长3cm,∴AB-AC=3cm.∴AB=8.5cm,AC=5.5cm.
3.证明:
(1)∵AD∥BC,∴∠ADE=∠FCE.
∵E是CD的中点,∴DE=CE.
又∵∠AED=∠FEC,∴△ADE≌△FCE(ASA).∴FC=AD.
(2)∵△ADE≌△FCE,∴AE=EF,AD=CF.
又∵BE⊥AE,∴BE是线段AF的垂直平分线.∴AB=BF=BC+CF.
∵AD=CF,∴AB=BC+AD.
4.解:
连接AB,BC,分别作AB,BC的垂直平分线DE,GF,两直线交于点M,则点M就是所要确定的购物中心的位置,如图.
5.解:
OI⊥BC.
证明:
连接AO,延长OI交BC于点M.
∵OE,OF分别为AB,AC的中垂线,
∴OA=OB,OA=OC.∴OB=OC.
又∵BI,CI分别为∠OBC,∠OCB的平分线,
∴点I必在∠BOC的平分线上.∴∠BOI=∠COI.
在△BOM和△COM中,
∴△BOM≌△COM(SAS).∴∠BMO=∠CMO.
又∵∠BMO+∠CMO=180°.∴∠BMO=∠CMO=90°.∴OI⊥BC.
(三) 轴对称变换的应用
类型1 轴对称图形的展开与折叠
1.(绥化中考)把一张正方形纸片如图①,图②对折两次后,再如图③挖去一个三角形小孔,则展开后的图形是()
(第1题)
(第2题)
类型2 翻折式的轴对称变换
2.(娄底中考)将△ABC沿直线DE折叠,使点C与点A重合,已知AB=7,BC=6,则△BCD的周长为.
3.(潜江中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB边上,将△CBD沿CD折叠,使点B恰好落在AC边上的点E处.若∠A=26°,求∠CDE的度数.
4.(枣庄中考改编)如图,△ABC的面积为6,AC=3,现将△ABC沿AB所在直线翻折,使点C落在直线AD上的C′处,P为直线AD上的一点,求线段BP的最短长度.
类型3 轴对称变换与坐标
5.已知点M(2a-b,5+a),N(2b-1,-a+b).
(1)若点M,N关于x轴对称,求a、b的值;
(2)若点M,N关于y轴对称,求(4a+b)2017的值.
6.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,A(-1,5),B(-1,0),C(-4,3),直线m为横坐标都为2的点组成的一条直线.
(1)作出△ABC关于直线m对称的△A1B1C1;
(2)直接写出A1,B1,C1的坐标;
(3)求出△A1B1C1的面积.
参考答案:
1.C;
2.13;
3.解:
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=26°,∴∠B=64°.
∵将△CBD沿CD折叠,使点B恰好落在AC边上的点E处,且∠ACB=90°,
∴∠BCD=∠ECD=45°,∠CED=∠B=64°.∴∠CDE=180°-∠ECD-∠CED=71°.
4.解:
过点B作BM⊥AD于点M,由题意可知△ABC≌△ABC′,∴S△ABC=S△ABC′=6.
∵S△ABC′=
AC′·BM=6,AC′=AC=3,∴BM=4.
根据垂线段最短可知BM≤BP,∴BP≥4.∴BP的最短长度为4.
5.解:
(1)∵M,N关于x轴对称,
∴
解得
(2)∵M,N关于y轴对称,
∴
解得
∴(4a+b)2017=-1.
6.解:
(1)如图所示.
(2)A1(5,5),B1(5,0),C1(8,3).
(3)△A1B1C1的面积为7.5.
(四) 与等腰三角形的性质与判定相关的证明
类型1 证明线段或角的数量关系
1.如图,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,E,F分别是AB,AC上的点,且AE=AF,求证:
DE=DF.
2.已知,如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD和BE交于H,且BE=AE.求证:
AH=2BD.
3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为AC的中点,AE⊥BD于F,交BC于E,求证:
∠ADB=∠CDE.
4.如图,在△ABC中,∠ABC=2∠C,AD平分∠BAC,求证:
AB+BD=AC.
类型2 证明线段的位置关系
5.如图,点C是线段AB上任意一点(点C与点A,B不重合),分别以AC,BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE,AE与CD相交于点M,BD与CE相交于点N,连接MN.求证:
(1)△ACM≌△DCN;
(2)MN∥AB.
6.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在边BC,AB,AC上,且BD=CF,BE=CD,G是EF的中点,求证:
DG⊥EF.
类型3 判断三角形的形状
7.已知:
如图,OA平分∠BAC,∠1=∠2.求证:
△ABC是等腰三角形.
8.已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为BC的中点.
(1)如图1,E,F分别是AB,AC上的点,且BE=AF,试判断△DEF的形状,并说明理由;
(2)如图2,若E,F分别为AB,CA的延长线上的点,仍有BE=AF.请判断△DEF是否仍具有
(1)中的形状,并说明理由.
参考答案:
1.证明:
连接AD.∵AB=AC,D是BC的中点,∴∠EAD=∠FAD.
在△AED和△AFD中,
∴△AED≌△AFD(SAS).∴DE=DF.
2.证明:
∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠BEC=∠ADB=90°.∴∠EBC=∠EAH.
∵BE=AE,∴△AHE≌△BCE.∴AH=BC.
∵AB=AC,AD⊥BC,∴BC=2BD.∴AH=2BD.
3.证明:
过点C作CG⊥AC交AE的延长线于G,则CG∥AB,∴∠BAF=∠G.
又∵AF⊥BD,AC⊥CG,∴∠BAF+∠ABF=90°,∠CAG+∠G=90°.
∴∠ABF=∠CAG.。
在△ABD和△CAG中,
∴△ABD≌△CAG(ASA).∴AD=CG,∠ADB=∠G.
又∵D为AC中点,∴AD=CD.∴CD=CG.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.又∵AB∥CG,∴∠ABC=∠GCE.
∴∠ACB=∠GCE.∴△CDE≌△CGE(SAS).∴∠CDE=∠G.∴∠ADB=∠CDE.
4.证明:
延长CB至E,使BE=BA,则∠BAE=∠E.
又∵∠ABC=2∠C=2∠E,∴∠E=∠C.∴AE=AC.
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC.∵∠BAE=∠E,∠E=∠C,∴∠BAE=∠C.
又∵∠EAD=∠BAE+∠BAD,∠EDA=∠C+∠DAC,
∴∠EAD=∠EDA.∴AE=DE.∴AC=DE=BE+BD=AB+BD.
5.证明:
(1)∵△ACD和△BCE都是等边三角形,∴AC=DC,BC=EC,∠ACD=∠BCE=60°.
∵∠ACD+∠DCE+∠ECB=180°,∴∠DCE=60°.∴∠ACE=∠DCB=120°.
在△ACE和△DCB中,
∴△ACE≌△DCB(SAS).∴∠EAC=∠BDC.
在△ACM和△DCN中,
∴△ACM≌△DCN(ASA).
(2)由
(1)知△ACM≌△DCN,∴CM=CN.
又∵∠MCN=60°,∴△CNM为等边三角形,∠NMC=60°.∴∠NMC=∠ACM=60°.
∴MN∥AB.
6.证明:
连接ED,FD.∵AB=AC,∴∠B=∠C.
在△BDE和△CFD中,
∴△BDE≌△CFD(SAS).∴DE=DF.
又∵G是EF的中点,∴DG⊥EF.
7.证明:
过点O作OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,则△BOD和△COE都是直角三角形.
∵OA平分∠BAC,OD⊥AB,OE⊥AC,∴OD=OE.
∵∠1=∠2,∴OB=OC.∴Rt△BOD≌Rt△COE(HL).
∴∠ABO=∠ACO.∴∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.∴△ABC是等腰三角形.
8.解:
(1)△DEF为等腰直角三角形.
理由:
连接AD,易证△BDE≌△ADF,∴DE=DF,∠BDE=∠ADF.
又∵∠BAC=90°,AB=AC,D为BC的中点,∴AD⊥BC.∴∠ADB=90°.
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠ADB=90°.
∴△DEF为等腰直角三角形.
(2)是,理由略.
(五) 运用分类讨论求解等腰三角形相关的多解问题
类型1 针对腰长和底边长进行分类
方法归纳:
在解答已知等腰三角形边长的问题时,当题目中的条件没有指明已知的这条边是腰长还是底边长时,就要分类讨论,按腰和底边两种情况分类.若涉及边的长度,应运用三角形的三边关系进行辨别取舍.
1.(武汉中考)平面直角坐标系中,已知A(2,2)、B(4,0).若在坐标轴上取点C,使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是()
A.5B.6C.7D.8
(第1题)
(第2题)
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2BC,在直线BC或AC上取一点P,使得△PAB为等腰三角形,则符合条件的点P共有()
A.7个;B.6个;C.5个;D.4个
3.若实数x,y满足|x-5|+
=0,则以x,y的值为边长的等腰三角形的周长为.
类型2 针对顶角和底角进行分类
方法归纳:
对于等腰三角形,只要已知它的一个内角的度数,就能算出其他两个内角的度数,如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角,就要分两种情况来讨论.在分类时要注意:
三角形的内角和等于180°;等腰三角形中至少有两个角相等.
4.等腰三角形有一个角为52°,它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度?
5.如果等腰三角形中的一个角是另一个角度数的一半,求该等腰三角形各内角的度数.
类型3 针对锐角、直角和钝角三角形进行分类
方法归纳:
根据等腰三角形顶角的大小可以将其分为锐角、直角或钝角三角形.不同的三角形其高、中线、垂直平分线的交点位置均不同,比如锐角三角形腰上的高的交点在这个三角形的内部;直角三角形腰上的高的交点为两直角边的交点;钝角三角形腰上的高的交点在这个三角形的外部,因此在解答时需要分类讨论.
6.已知△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交成50°的角,求底角的度数.
7.一个等腰三角形一边上的高等于另一边的一半,则等腰三角形底角的度数是多少?
8.AC为等腰△ABD的腰BD上的高,且∠CAB=60°.求这个三角形各内角的度数.
参考答案;
1.A;
2.B;
3.25;
4.解:
①若已知的这个角为顶角,则底角的度数为(180°-52°)÷2=64°,故一腰上的高与底边的夹角为26°;
②若已知的这个角为底角,则一腰上的高与底边的夹角为38°.
故所求的一腰上的高与底边的夹角为26°或38°.
5.解:
设∠A,∠B,∠C是该等腰三角形的三个内角,且∠A=
∠B.
设∠A=x°,则∠B=2x°.
①若∠B是顶角,则∠A,∠C是底角,于是有∠C=∠A=x°.
∵∠A+∠B+∠C=180°,∴x+2x+x=180.
解得x=45,故∠A=∠C=45°,∠B=90°;
②若∠B是底角,∵∠A≠∠B,∴∠A是顶角,∠C=∠B=2x°.
∵∠A+∠B+∠C=180°,∴x+2x+2x=180.
解得x=36,故∠A=36°,∠B=∠C=72°.
综上所述,等腰三角形的各内角分别为45°、45°、90°或36°、72°、72°.
6.解:
由题意可判断该三角形不可能是直角三角形,可能是锐角三角形或钝角三角形,故分两种情况讨论:
①如图1,垂直平分线DE与腰AC相交,且∠AED=50°,则∠A=40°,所以∠B=∠C=70°;
②如图2,垂直平分线DE与腰AC的反向延长线相交,且∠AED=50°,则∠EAD=40°,∠BAC=140°,所以∠B=∠C=20°.
综上可知,等腰三角形的底角为70°或20°.
7.解:
设∠A为顶角,则∠ABC、∠ACB为底角.
(1)若∠A为锐角,如图1,作BD⊥AC于点D,
根据题意有BD=
AB,∠BDA=90°,∴∠A=30°,∠ABC=∠ACB=75°;
(2)若∠A为直角,根据题意“等腰三角形一边上的高等于另一边的一半”,这种情况无解;
(3)若∠A为钝角,有三种情况:
①如图2,作AD⊥BC于点D,
根据题意有AD=
AB,∠ADB=90°,∴∠ABC=∠ACB=30°;
②如图3,作BD⊥CA的延长线于点D,根据题意有BD=
BC,∠ADB=90°,
∴∠ABC=∠ACB=30°;
③如图4,作BD⊥CA的延长线于点D,根据题意有BD=
AB,∠ADB=90°,
∴∠BAD=30°,∠ABC=∠ACB=15°.综上所述,等腰三角形底角的度数是75°、30°或15°.
8.解:
①如图1,高AC在△ABD的内部,
因为∠CAB=60°,∠ACB=90°,所以∠B=30°.
因为BA=BD,所以∠BAD=∠D=75°;
②如图2,高AC在△ABD的外部,
因为∠CAB=60°,∠ACB=90°,所以∠ABC=30°.所以∠ABD=150°.
因为BA=BD,所以∠BAD=∠D=15°;
③如图3,高AC在△ABD的外部,
因为∠CAB=60°,∠ACB=90°,所以∠B=30°.
因为DA=DB,所以∠BAD=∠B=30°.所以∠ADB=120°.
综上所述,这个三角形各内角的度数分别为30°,75°,75°或150°,15°,15°或120°,30°,30°.