苏科版八年级上册数学《轴对称图形》单元测试含答案.docx

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苏科版八年级上册数学《轴对称图形》单元测试含答案

八年级数学单元测试《轴对称图形》

01　　基础题

知识点1　轴对称与轴对称图形

1．（赤峰中考）下列图标是由我们熟悉的一些基本数学图形组成的，其中是轴对称图形的是（填序号）．

2．图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？

整个图形是轴对称图形吗？

它共有几条对称轴？

（第2题）

（第3题）

知识点2　线段的垂直平分线

3．（遂宁中考）如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（）

A．1cm；B．2cm；C．3cm；D．4cm

知识点3　画轴对称图形

4．请作出图中四边形ABCD关于直线a的轴对称图形，要求：

不写作法，但必须保留作图痕迹．

知识点4　等腰三角形

5．（荆门中考改编）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知BD＝4，则BC的长为（）A．5；B．6；C．8；D．10

（第5题）

（第6题）

（第7题）

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的平分线，则图中的等腰三角形有（）

A．5个；B．4个；C．3个；D．2个

知识点5　等边三角形

7．如图所示，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为（）

A．15°B．30°C．45°D．60°

8．（义乌中考）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．

小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．

如图1，衣架杆OA＝OB＝18cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，

如图2，则此时A，B两点之间的距离是cm.

知识点6　含30°角的直角三角形的性质

9．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，则CD＝．

（第9题）

（第10题）

（第11题）

10．如图，△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD，若AD＝2cm，则△ABC的周长为

cm.

知识点7　最短路径问题

11．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP＋BP的最小值是（）A．3；B．4；C．5；D．6

02　　中档题

12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝75°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°

（第12题）

（第13题）

13．（雅安中考）如图所示，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，若DE＝2，则EC＝．

14．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（3，1），C（－2，－1）．

（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；

（2）△A1B1C1的面积为．

15．如图所示，MP和NQ分别垂直平分AB和AC.

（1）若△APQ的周长为12，求BC的长；

（2）∠BAC＝105°，求∠PAQ的度数．

03　　综合题

16．如图，在等边△ABC中，点E为边AB上任意一点，点D在边CB的延长线上，且ED＝EC.

（1）当点E为AB的中点时（如图1），则有AE＝DB（填“＞”“＜”或“＝”）；

（2）猜想AE与DB的数量关系，并证明你的猜想．

参考答案：

1．①②③④；2．解：

1和3，是，两条．3．C；

4．解：

如图所示：

四边形A′B′C′D′即为所求．

5．C；6．A；7．D；8．18；9．3；10．12；

11．B；

12．A；

13．8；

14．

（1）解：

如图所示：

△A1B1C1即为所求．

（2）4.5；

15．解：

（1）∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴AP＝BP，AQ＝CQ.

∴△APQ的周长为AP＋PQ＋AQ＝BP＋PQ＋CQ＝BC.

∵△APQ的周长为12，∴BC＝12.

（2）∵AP＝BP，AQ＝CQ，∴∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ.

∵∠BAC＝105°，∴∠BAP＋∠CAQ＝∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝180°－105°＝75°.

∴∠PAQ＝∠BAC－（∠BAP＋∠CAQ）＝105°－75°＝30°.

16．解：

当点E为AB上任意一点时，AE与DB的大小关系不会改变．理由如下：

过E作EF∥BC交AC于F，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC.

∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°.

∴△AEF是等边三角形．∴AE＝EF＝AF.

∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°，

∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D＋∠BED＝∠FCE＋∠ECD＝60°.

∵DE＝EC，∴∠D＝∠ECD.∴∠BED＝∠ECF.

在△DEB和△ECF中，

∴△DEB≌△ECF（AAS）．

∴BD＝EF＝AE，即AE＝BD.

（二）线段的垂直平分线的应用

类型1　线段的垂直平分线的性质在求线段长中的应用

1．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为F，G，已知△ADE的周长为12cm，则BC＝．

（第1题）

2．如图，AB比AC长3cm，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，△ACD的周长是14cm，求AB和AC的长．

3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：

（1）FC＝AD；

（2）AB＝BC＋AD.

类型2　线段垂直平分线的性质在实际问题中的应用

4．如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C之间修建一个购物中心，试问：

该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？

类型3　线段的垂直平分线的性质在判定两线段位置关系中的应用

5．如图，OE，OF分别是△ABC中AB，AC边的中垂线（即垂直平分线），∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，试判定OI与BC的位置关系，并给出证明．

参考答案：

1．12_cm；

2．解：

∵△ACD的周长是14cm，∴AD＋DC＋AC＝14cm.

又∵DE是BC的垂直平分线，∴BD＝DC.∴AD＋DC＝AD＋BD＝AB.∴AB＋AC＝14cm.

∵AB比AC长3cm，∴AB－AC＝3cm.∴AB＝8.5cm，AC＝5.5cm.

3．证明：

（1）∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠FCE.

∵E是CD的中点，∴DE＝CE.

又∵∠AED＝∠FEC，∴△ADE≌△FCE（ASA）．∴FC＝AD.

（2）∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.

又∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线．∴AB＝BF＝BC＋CF.

∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.

4．解：

连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线DE，GF，两直线交于点M，则点M就是所要确定的购物中心的位置，如图．

5．解：

OI⊥BC.

证明：

连接AO，延长OI交BC于点M.

∵OE，OF分别为AB，AC的中垂线，

∴OA＝OB，OA＝OC.∴OB＝OC.

又∵BI，CI分别为∠OBC，∠OCB的平分线，

∴点I必在∠BOC的平分线上．∴∠BOI＝∠COI.

在△BOM和△COM中，

∴△BOM≌△COM（SAS）．∴∠BMO＝∠CMO.

又∵∠BMO＋∠CMO＝180°.∴∠BMO＝∠CMO＝90°.∴OI⊥BC.

（三）　轴对称变换的应用

类型1　轴对称图形的展开与折叠

1．（绥化中考）把一张正方形纸片如图①，图②对折两次后，再如图③挖去一个三角形小孔，则展开后的图形是（）

（第1题）

（第2题）

类型2　翻折式的轴对称变换

2．（娄底中考）将△ABC沿直线DE折叠，使点C与点A重合，已知AB＝7，BC＝6，则△BCD的周长为．

3．（潜江中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝26°，求∠CDE的度数．

4．（枣庄中考改编）如图，△ABC的面积为6，AC＝3，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，P为直线AD上的一点，求线段BP的最短长度．

类型3　轴对称变换与坐标

5．已知点M（2a－b，5＋a），N（2b－1，－a＋b）．

（1）若点M，N关于x轴对称，求a、b的值；

（2）若点M，N关于y轴对称，求（4a＋b）2017的值．

6．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A（－1，5），B（－1，0），C（－4，3），直线m为横坐标都为2的点组成的一条直线．

（1）作出△ABC关于直线m对称的△A1B1C1；

（2）直接写出A1，B1，C1的坐标；

（3）求出△A1B1C1的面积．

参考答案：

1．C；

2．13；

3．解：

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝26°，∴∠B＝64°.

∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，且∠ACB＝90°，

∴∠BCD＝∠ECD＝45°，∠CED＝∠B＝64°.∴∠CDE＝180°－∠ECD－∠CED＝71°.

4．解：

过点B作BM⊥AD于点M，由题意可知△ABC≌△ABC′，∴S△ABC＝S△ABC′＝6.

∵S△ABC′＝

AC′·BM＝6，AC′＝AC＝3，∴BM＝4.

根据垂线段最短可知BM≤BP，∴BP≥4.∴BP的最短长度为4.

5．解：

（1）∵M，N关于x轴对称，

∴

解得

（2）∵M，N关于y轴对称，

∴

解得

∴（4a＋b）2017＝－1.

6．解：

（1）如图所示．

（2）A1（5，5），B1（5，0），C1（8，3）．

（3）△A1B1C1的面积为7.5.

（四）　与等腰三角形的性质与判定相关的证明

类型1　证明线段或角的数量关系

1．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF，求证：

DE＝DF.

2．已知，如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD和BE交于H，且BE＝AE.求证：

AH＝2BD.

3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD于F，交BC于E，求证：

∠ADB＝∠CDE.

4．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC，求证：

AB＋BD＝AC.

类型2　证明线段的位置关系

5．如图，点C是线段AB上任意一点（点C与点A，B不重合），分别以AC，BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N，连接MN.求证：

（1）△ACM≌△DCN；

（2）MN∥AB.

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中点，求证：

DG⊥EF.

类型3　判断三角形的形状

7．已知：

如图，OA平分∠BAC，∠1＝∠2.求证：

△ABC是等腰三角形．

8．已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．

（1）如图1，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，试判断△DEF的形状，并说明理由；

（2）如图2，若E，F分别为AB，CA的延长线上的点，仍有BE＝AF.请判断△DEF是否仍具有

（1）中的形状，并说明理由．

参考答案：

1．证明：

连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠FAD.

在△AED和△AFD中，

∴△AED≌△AFD（SAS）．∴DE＝DF.

2．证明：

∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BEC＝∠ADB＝90°.∴∠EBC＝∠EAH.

∵BE＝AE，∴△AHE≌△BCE.∴AH＝BC.

∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD.∴AH＝2BD.

3．证明：

过点C作CG⊥AC交AE的延长线于G，则CG∥AB，∴∠BAF＝∠G.

又∵AF⊥BD，AC⊥CG，∴∠BAF＋∠ABF＝90°，∠CAG＋∠G＝90°.

∴∠ABF＝∠CAG.。

在△ABD和△CAG中，

∴△ABD≌△CAG（ASA）．∴AD＝CG，∠ADB＝∠G.

又∵D为AC中点，∴AD＝CD.∴CD＝CG.

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵AB∥CG，∴∠ABC＝∠GCE.

∴∠ACB＝∠GCE.∴△CDE≌△CGE（SAS）．∴∠CDE＝∠G.∴∠ADB＝∠CDE.

4．证明：

延长CB至E，使BE＝BA，则∠BAE＝∠E.

又∵∠ABC＝2∠C＝2∠E，∴∠E＝∠C.∴AE＝AC.

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.∵∠BAE＝∠E，∠E＝∠C，∴∠BAE＝∠C.

又∵∠EAD＝∠BAE＋∠BAD，∠EDA＝∠C＋∠DAC，

∴∠EAD＝∠EDA.∴AE＝DE.∴AC＝DE＝BE＋BD＝AB＋BD.

5．证明：

（1）∵△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE＝60°.

∵∠ACD＋∠DCE＋∠ECB＝180°，∴∠DCE＝60°.∴∠ACE＝∠DCB＝120°.

在△ACE和△DCB中，

∴△ACE≌△DCB（SAS）．∴∠EAC＝∠BDC.

在△ACM和△DCN中，

∴△ACM≌△DCN（ASA）．

（2）由

（1）知△ACM≌△DCN，∴CM＝CN.

又∵∠MCN＝60°，∴△CNM为等边三角形，∠NMC＝60°.∴∠NMC＝∠ACM＝60°.

∴MN∥AB.

6．证明：

连接ED，FD.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.

在△BDE和△CFD中，

∴△BDE≌△CFD（SAS）．∴DE＝DF.

又∵G是EF的中点，∴DG⊥EF.

7．证明：

过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则△BOD和△COE都是直角三角形．

∵OA平分∠BAC，OD⊥AB，OE⊥AC，∴OD＝OE.

∵∠1＝∠2，∴OB＝OC.∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL）．

∴∠ABO＝∠ACO.∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．

8．解：

（1）△DEF为等腰直角三角形．

理由：

连接AD，易证△BDE≌△ADF，∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF.

又∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.

∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠ADB＝90°.

∴△DEF为等腰直角三角形．

（2）是，理由略．

（五）　运用分类讨论求解等腰三角形相关的多解问题

类型1　针对腰长和底边长进行分类

方法归纳：

在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目中的条件没有指明已知的这条边是腰长还是底边长时，就要分类讨论，按腰和底边两种情况分类．若涉及边的长度，应运用三角形的三边关系进行辨别取舍．

1．（武汉中考）平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）

A．5B．6C．7D．8

（第1题）

（第2题）

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）

A．7个；B．6个；C．5个；D．4个

3．若实数x，y满足|x－5|＋

＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为．

类型2　针对顶角和底角进行分类

方法归纳：

对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论．在分类时要注意：

三角形的内角和等于180°；等腰三角形中至少有两个角相等．

4．等腰三角形有一个角为52°，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？

5．如果等腰三角形中的一个角是另一个角度数的一半，求该等腰三角形各内角的度数．

类型3　针对锐角、直角和钝角三角形进行分类

方法归纳：

根据等腰三角形顶角的大小可以将其分为锐角、直角或钝角三角形．不同的三角形其高、中线、垂直平分线的交点位置均不同，比如锐角三角形腰上的高的交点在这个三角形的内部；直角三角形腰上的高的交点为两直角边的交点；钝角三角形腰上的高的交点在这个三角形的外部，因此在解答时需要分类讨论．

6．已知△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交成50°的角，求底角的度数．

7．一个等腰三角形一边上的高等于另一边的一半，则等腰三角形底角的度数是多少？

8．AC为等腰△ABD的腰BD上的高，且∠CAB＝60°.求这个三角形各内角的度数．

参考答案；

1．A；

2．B；

3．25；

4．解：

①若已知的这个角为顶角，则底角的度数为（180°－52°）÷2＝64°，故一腰上的高与底边的夹角为26°；

②若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为38°.

故所求的一腰上的高与底边的夹角为26°或38°.

5．解：

设∠A，∠B，∠C是该等腰三角形的三个内角，且∠A＝

∠B.

设∠A＝x°，则∠B＝2x°.

①若∠B是顶角，则∠A，∠C是底角，于是有∠C＝∠A＝x°.

∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴x＋2x＋x＝180.

解得x＝45，故∠A＝∠C＝45°，∠B＝90°；

②若∠B是底角，∵∠A≠∠B，∴∠A是顶角，∠C＝∠B＝2x°.

∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴x＋2x＋2x＝180.

解得x＝36，故∠A＝36°，∠B＝∠C＝72°.

综上所述，等腰三角形的各内角分别为45°、45°、90°或36°、72°、72°.

6．解：

由题意可判断该三角形不可能是直角三角形，可能是锐角三角形或钝角三角形，故分两种情况讨论：

①如图1，垂直平分线DE与腰AC相交，且∠AED＝50°，则∠A＝40°，所以∠B＝∠C＝70°；

②如图2，垂直平分线DE与腰AC的反向延长线相交，且∠AED＝50°，则∠EAD＝40°，∠BAC＝140°，所以∠B＝∠C＝20°.

综上可知，等腰三角形的底角为70°或20°.

7．解：

设∠A为顶角，则∠ABC、∠ACB为底角．

（1）若∠A为锐角，如图1，作BD⊥AC于点D，

根据题意有BD＝

AB，∠BDA＝90°，∴∠A＝30°，∠ABC＝∠ACB＝75°；

（2）若∠A为直角，根据题意“等腰三角形一边上的高等于另一边的一半”，这种情况无解；

（3）若∠A为钝角，有三种情况：

①如图2，作AD⊥BC于点D，

根据题意有AD＝

AB，∠ADB＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°；

②如图3，作BD⊥CA的延长线于点D，根据题意有BD＝

BC，∠ADB＝90°，

∴∠ABC＝∠ACB＝30°；

③如图4，作BD⊥CA的延长线于点D，根据题意有BD＝

AB，∠ADB＝90°，

∴∠BAD＝30°，∠ABC＝∠ACB＝15°.综上所述，等腰三角形底角的度数是75°、30°或15°.

8．解：

①如图1，高AC在△ABD的内部，

因为∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，所以∠B＝30°.

因为BA＝BD，所以∠BAD＝∠D＝75°；

②如图2，高AC在△ABD的外部，

因为∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，所以∠ABC＝30°.所以∠ABD＝150°.

因为BA＝BD，所以∠BAD＝∠D＝15°；

③如图3，高AC在△ABD的外部，

因为∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，所以∠B＝30°.

因为DA＝DB，所以∠BAD＝∠B＝30°.所以∠ADB＝120°.

综上所述，这个三角形各内角的度数分别为30°，75°，75°或150°，15°，15°或120°，30°，30°.