其中表示yt的平均数，表示yt的标准差。
由公式知，若分布是以对称的，则偏度为零。
所以若yt服从正态分布，则偏度为零；若分布是右偏倚的，则偏度S0；若分布是左偏倚的，则偏度S0。
峭度K定义为
正态分布的峭度为3。
如果一个分布的两侧尾部比正态分布的两侧尾部“胖”，则该分布的峭度K3，反之则K3。
JB（Jarque-Bera）统计量定义如下，
JB=2
（2）
其中T表示观测值个数。
对于直接得到的观测时间序列，取n=0。
对于残差序列，取n等于原回归模型中解释变量个数。
S表示偏度。
K表示峭度。
计算结果
若JB2
（2），该分布为正态分布，
若JB2
（2），该分布不是正态分布。
当用样本计算偏度和峭度时，T应换为T-1，2用yt的样本方差s2代替。
例：
（file:
simu2,x）EViews操作如下。
因为JB=3.81<20.05
（2）=5.99，所以上述分布为正态分布。
（file:
simu2,trend）
因为JB=59.98>20.05
（2）=5.99，所以上述分布不是正态分布。
英K.Pearson提出的分布律检验适用性更广。
（5）似然比（LR）检验
下面介绍三种常用的检验方法，即似然比（LR）检验，沃尔德（W）检验和拉格朗日（lagrange）乘数（LM）检验。
这三种检验所用统计量都是利用极大似然估计法计算的。
LR检验由内曼—皮尔逊（Neyman-Pearson1928）提出，只适用于对线性约束的检验。
W检验和LM检验既适用于对线性约束条件的检验，也适用于对非线性约束条件的检验。
首先介绍LR检验。
LR检验的基本思路是如果约束条件成立则相应约束模型与非约束模型的极大似然函数值应该是近似相等的。
用
logL（,）=-log2-（3）
表示非约束模型的极大似然函数。
其中和分别是对（参数集合），的极大似然估计。
用
logL（,）=-log2-（4）
表示约束模型的极大似然函数。
其中和分别是对和2的极大似然估计。
定义似然比（LR）统计量为
LR=-2[logL（,）-logL（,）]（5）
中括号内是两个似然函数之比（似然比检验由此而得名）。
在零假设约束条件成立条件下
LRm）（6）
其中m表示约束条件个数。
用样本计算LR统计量。
判别规则是，若LR<2（m）,则接受零假设，约束条件成立。
若LR>2（m）,则拒绝零假设，约束条件不成立。
例：
（file:
b5c1）日本人均消费动态分布滞后模型，（见教材209页）检验0=1=0。
非约束模型：
=0.3181+0.8756LnIt+0.6466LnCt-1-0.60781LnIt-1+0.0218LnPt-1.（5.91）
（2.75）（10.97）（4.72）（-4.86）（2.09）
R2=0.9989,SSE=0.0015,DW=1.95,LM2=2.8,ARCH=0.26,LnL=105.87,T=30
用LR统计量检验是否可以对上式施加约束LnIt和LnIt-1的系数0=1=0。
给出约束模型估计结果如下，
=0.1932+0.9600LnCt-1-0.0168LnPt-1.（5.92）
（0.88）（19.95）（-0.78）
R2=0.9935,SSE=0.0088,DW=2.27,LnL=79.47,T=30
（5.91）相当于非约束模型。
F统计量的值按下式计算，
LR=-2[logL（,）-logL（,）]=-2（79.47-105.87）=52.8
因为LR=52.82）=5.99，所以，约束条件0=1=0被拒绝。
LnIt和LnIt-1是重要的解释变量，不应从模型中删除。
在（5.91）式窗口中点击View，选CoefficientTests,RedundantVariables-LikelihoodRatio功能得
（file:
b5c1）
（6）W检验
W检验的优点是只需估计无约束模型。
当约束模型的估计很困难时，此方法尤其适用。
W检验由沃尔德（Wald1943）提出，适用于线性与非线性约束条件的检验。
W检验的原理是测量无约束估计量与约束估计量之间的距离。
先举一个简单例子。
比如对如下模型检验线性约束条件2=3是否成立。
yt=1x1t+2x2t+3x3t+vt（7）
W检验只需对无约束模型（7）进行估计，因为对约束估计量和来说，必然有-=0。
如果约束条件成立，则无约束估计量-应该近似为零。
如果约束条件不成立，则无约束估计量-应该显著地不为零。
关键是要找到一个准则，从而判断什么是显著地不为零。
首先需要知道（-）的抽样分布。
依据经典回归的假定条件，（-）服从均值为（2-3），方差为Var（-）的正态分布。
通常Var（-）是未知的，使用的是Var（-）的样本估计量，定义W统计量为，
W=N（0,1）
在约束条件成立条件下，W渐进服从N（0,1）分布。
下面讨论多个约束条件的情形。
假定若干约束条件是以联合检验的形式给出，
f（）=0,（8）
其中f（）表示由约束条件组成的列向量。
用表示施加约束条件后对参数集合{1,2,…,k}的估计。
若把代入上式，则上式一定成立。
当把无约束估计值代入上式时，通常上式不会成立。
W统计量定义如下，
W=f（）'[Var（f（））]-1f（）（9）
其中f（）是用代替后的f（）表达式，Var（f（））是f（）的估计的方差协方差矩阵。
计算公式如下：
Var（f（））=（）（Var（））（）'（10）
其中表示f（）用无约束估计量代替后的偏导数矩阵，其中第i行第j列位置上的元素表示第i个约束条对第j个无约束估计量的偏导数值。
Var（）是的估计的方差协方差矩阵。
在约束条件成立条件下，W=f（）'[Var（f（））]–1f（）渐近服从m）分布。
W=f（）'[Var（f（））]-1f（）m）.
其中m表示被检验的约束条件的个数，
举一个非线性约束的例子如下。
假定对模型
yt=1xt1+2xt2+3xt3+ut（11）
检验约束条件12=3是否成立。
用和分别表示，和的非约束估计量。
，和既可以是极大似然估计量，也可以是最小二乘估计量。
因为对于本例f（）只含有一个约束条件，所以改用f（）表示，有
f（）=-（12）
=（）=（-1）,（13）
Var（）=（14）
和Var（f（））=（-1）Var（,
根据（9）式，W统计量的具体表达式是，
W=
在零假设12=3成立条件下，W统计量近似服从
（1）分布。
例：
（file:
nonli12）对台湾制造业生产函数，检验1/2=0.5是否成立。
=-8.4+0.67Lnxt1+1.18Lnxt2（15）
（4.4）（3.9）R2=0.89,F=48.45,DW=1.3
检验2/3=0.5是否成立。
变换约束条件为
2-0.53=0
因为只有一个约束条件，则
f（）=f（）=2-0.53
=（）=（01-0.5）
在（15）式窗口中点击View，选CoefficientCovariance功能。
Var（）=
Var（f（））=（）（Var（））（）'
==0.0903
f（）=f（）=2-0.53=（0.6731-0.51.1816）=0.0823
W=f（）'[Var（f（））]-1f（）
=0.0823（）0.0823==0.0750
因为W=0.075<1）=3.8，所以，约束条件0=1=0被接受，成立。
在（15）式窗口中点击View，选CoefficientTests,Wald-CoefficientRestrictions功能得
概率大于0.05，说明统计量落在了零假设的接收域。
结论是接受原假设（约束条件成立）。
（7）LM乘数检验。
与W检验不同的是拉格朗日（Lagrange）乘数（LM）检验只需估计约束模型。
所以当施加约束条件后模型形式变得简单时，更适用于这种检验。
LM检验是由艾奇逊—西尔维（Aitchison-Silvey1960）提出的。
LM检验另一种表达式是由拉奥（Rao1948）提出的，称为得分检验。
首先给出非约束模型的对数似然函数
logL（,）（16）
对于非约束极大似然估计量j必然有
=0,j（17）
若约束条件成立，则施加约束条件下j的极大似然估计量应与不施加约束条件下j的极大似然估计量j非常接近。
也就是说logL/应近似为零。
LM检验的原理是如果logL/显著地不为零，则约束条件不成立。
LM统计量定义为
LM=（）'（I（（18）
其中（logL/）是以（logL/j）为元素组成的列向量，同时用替换了j。
I（）称为信息矩阵，其逆矩阵是的方差协方差矩阵。
在约束条件成立条件下，LM近似服从2（m）分布。
LM2（m）,
其中m表示约束条件个数。
假定有两个约束条件f1（）=0和f2（）=0。
为求这两个约束条件下的对数似然函数（16）的极大似然估计量，应按拉格朗日乘数法则建立如下函数，
logL*=logL+1f1（）+2f2（）,（19）
其中1，2为拉格朗日乘数，求解约束极值问题应对所有的j都满足logL*/j=0,即
=+1+2=0,j
由上式得
=-1-2,j（20）
当上式中的j用代替后，如果显著地不为零，则约束条件不成立。
根据上式，只有当1, 2不为零时，logL/j才显著地不为零。
所以判别规则是如果1，2显著地不为零，则拒绝约束条件。
因为（20）式是logL/的函数，所以称其为拉格朗日乘数统计量。
对于线性回归模型，通常并不是按（18）式，而是通过一个辅助回归式计算LM统计量的值。
LM统计量与辅助回归式的可决系数R2有直接联系，而辅助回归式的形式直接与被检验的约束条件有关。
LM检验的实际步骤如下：
（1）确定LM辅助回归式的因变量。
用OLS法估计约束模型，计算残差序列，并把作为LM辅助回归式的因变量。
（2）确定LM辅助回归式的解释变量。
例如非约束模型如下式,
yt=0+1x1t+2x2t+…+kxkt+ut.（21）
把上式改写成如下形式
ut=yt-0-1x1t-2x2t-…-kxkt.（22）
则LM辅助回归式中的解释变量按如下形式确定。
-,j=0,1,…,k.
对于非约束模型（5.70），LM辅助回归式中的解释变量是1,x1t,x2t,…,xkt。
第一个解释变量1表明常数项应包括在LM辅助回归式中。
（3）建立LM辅助回归式如下
=+1x1t+2x2t+…+kxkt+vt,（23）
其中由第一步得到。
（4）用OLS法估计上式并计算可决系数R2。
（5）用第四步得到的R2计算LM统计量的值。
LM=TR2
其中T表示样本容量。
由于上式计算的LM的值与（18）式定义的LM的值相等（证明略）。
在零假设成立前提下，TR2服从m个自由度的2（m）分布，
LM=TR22（m）
其中m表示约束条件个数。
例：
以如下非约束模型介绍用LM辅助回归方法检验约束条件2+3=1。
yt=1x1t+2x2t+3x3t+vt,（24）
检验约束2+3是否成立。
当施加约束+时，上式变为，
yt=1x1t+2x2t+（1-）x3t+vt,（25）
上式相对于（24）式为约束模型。
若对（24）和（25）式进行OLS估计，则会发现所得结果相同。
=x1t+x2t+x3t（26）
于是遇到参数不可识别问题。
除非2和3存在准确的关系2+3=1，否则无法知道是对3的估计还是对（1-2）的估计。
即便2+3=1真的成立，实际中也很难有+=1成立。
为避免参数的不可识别性，可利用约束最小二乘法（RLS）进行估计。
从（25）式两侧减去x3t得，
yt-x3t=x1t+x2t-2x3t+vt（27）
令yt*=yt-x3t，x2t*=x2t-x3t，上式变为，
yt*=1x1t+2x2t*+vt,（约束模型。
）（28）
第一步，用OLS法估计（28）式，并把得到的残差序列作为LM辅助回归的因变量。
变换（24）式得
vt=yt-1x1t-2x2t-3x3t.
根据第二步，LM辅助回归解释变量是x1t,x2t和x3t。
根据第三步，LM辅助回归式是
=x1t+x2t+x3t,
（原式中没有0，所以上式中没有常数项。
）计算可决系数R2。
则
LM=TR22
（1）.
例：
（file:
nonli12）对台湾制造业生产函数
=-8.4+0.67Lnxt1+1.18Lnxt2
（4.4）（3.9）R2=0.89,F=48.45,DW=1.3,T=15
用LM统计量检验Lnxt2的系数，3=0是否成立。
（1）用OLS法估计约束模型，计算残差序列，
Lnyt=2.16+1.24Lnxt1+
（4.9）（17.6）R2=0.96,F=312
并把作为LM辅助回归式的因变量。
（2）确定LM辅助回归式的解释变量。
例如非约束模型如下式,
Lnyt=1+2Lnx1t+3Lnx2t+ut（29）
把上式改写成如下形式
ut=Lnyt-1-2Lnx1t-3Lnx2t（30）
则LM辅助回归式中的解释变量按如下形式确定。
-,j=1,2,3
对于非约束模型（30），LM辅助回归式中的解释变量是1,Lnx1t,Lnx2t。
第一个解释变量1表明常数项应包括在LM辅助回归式中。
（3）建立LM辅助回归式如下
=+1Lnx1t+2Lnx2t+vt,（23）
其中由第一步得到。
（4）用OLS法估计上式并计算可决系数R2。
=-10.67-0.67Lnxt1+1.18Lnxt2（23）
（-3.9）（-3.7）（3.9）R2=0.89,F=48.45,DW=1.3
（5）用第四步得到的R2计算LM统计量的值。
LM=TR2=0.8915=13.35>2
（1）=3.8
原假设3=0不成立。
例：
自相关BG检验属于LM检验。
以2元线性回归模型，检验是否存在1阶自相关为例，约束模型和非约束模型分别是
yt=1+1x1t+2x2t
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