MATLAB软件在汽车悬架系统的模拟与中的应用资料.docx
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MATLAB软件在汽车悬架系统的模拟与中的应用资料
摘要
汽车悬架系统是整个汽车中非常重要的一个环节，它性能的好坏直接影响到汽车的平顺性和安全性，而主动悬架系统能使汽车的乘坐舒适性以及操纵稳定性和安全性得到很大程度的提高，因此，主动悬架系统是现代汽车的一个发展方向。
本文分别对汽车的被动悬架系统和主动悬架系统建立了双轴四自由度的模型，列出了这两种模型的状态方程，并结合现代控制理论中的线性调节器理论对主动悬架的控制原理进行了分析。
本人在分析悬架系统工作特性的基础上使用了c语言对MATLAB软件进行了二次开发，开发出的这套软件它能对不同型号的被动悬架系统和主动悬架系统汽车进行模拟仿真，并进行分析，因此命名为SAS软件（以下简称SAS）。
利用SAS软
件对被、主动悬架进行了模拟分析，根据模拟的结果对被动悬架和主动悬架汽车的性能进行了对比分析，并对其平顺性进行了评价。
关键词:
悬架、主动、被动、MATLAB模拟
ABSTACT
Suspensionsystemisoneofthemostimportantpartinthewholeautomobiles.Itsperformanceinfluencesdirectlyonridecomfortandsafetyofauto.Active-suspensionisabletoimprovegreatlytheperformancesofautosuchasridecomfort,securityandstability.Hencedevelopinganddesigningtheactive-suspensionistheimportantdirectioninthefuture.
Inthepaper,Isetuptwofour-freedommodelsaboutpassivesuspensionandactive-suspensionofvehicles,andlisttheirstatespaceequations.Moreover,Ianalyzethecontrollingprincipleofactive-suspensionbyusingthemoderncontrollingtheory.
IdevelopasetofsoftwarebasedontheMATLABsoftwarebyusingClanguageaccordingtosuspensionperformance.Itsmainfunctionsaretosimulatethepassive-suspensionandactivesuspensionaboutvehicleswhoseconstructionparametersarevariableandthenanalyzethesuspension.SoIcallthissoftwareSASsoftware（shortforSAS）.UsingSASsoftware,Isimulatethepassive-suspensionandactive-suspension.Accordingtotheresultaftersimulating,Ianalyzeandcompareperformancesoftwokindsofsuspensions,andfurthermoreevaluatetheridecomfortonvehicles.
Keywords:
suspensionactivepassiveMATLABsimulation
第二章建立汽车悬架系统的状态方程
2.2汽车被动悬架系统状态方程的建立
根据上一节的分析，我们可以把汽车被动悬架系统简化为一个如图2所示的1/2车辆模型。
在此模型中汽车系统有四个自由度，分别为汽车车身的垂直振动、车身的俯仰、汽车前后两个轮胎的垂直振动。
图2汽车被动悬架系统1/2车辆模型
图2中:
M,m分别代表簧载质量（主要是车身质量）和非簧载质量（主要是车轮质量）;
Ib代表车身的转动惯量
K。
代表轮胎刚度;
a,b分别代表质心离前轴的距离和质心离后轴的距离:
kf,k，分别代表前悬架和后悬架的刚度:
cf,c，分别代表前悬架和后悬架的阻尼系数:
Zp,Zi,22,Z3,Zq,Z，分别代表路面的位移、前轴的位移、车身在前轴的位移、后轴的位移、车身在后轴的位移和车身在质心处的位移。
列出此系统的运动方程:
mZ1=k0（Z0一Z1）一Tf
mz3=k0（z0一Z3）一Tr
Mz5=Tf+Tr（3）
Trb-Tfa=Ib0（4）
上式中:
Tf=kf（z1-z2）+cf（z1-Z2）
Tr=kr（z3一z4）+cr（z3一Z,'）
当θ较小时（θ为车身俯仰角）
z2=2z5一aθ
z4=z5+bθ
分别对以上两式求两次导，可得:
再合并化简得:
把（3）（5）式代入（4）得:
把（3）（6）式代入（4）得:
此系统的状态变量可选为:
X1=z1-z2x2=z0-z1x1=z3-z4x4=z0-z3
X5=z1x6=z2x7=z3x8=z4
X9=0
令W=z0，则
x1=z1一z2=x5-x6
x2=W-X5
x3=x7-x8
x4=W-x7
x5=k0x2/m一kfx1/m-Cfx5/m+Cfx6/m
x6=C1kfxl+ClCfX5一ClcfX6+C3kX3+C3C5X7一C3CrX8
x7=k0x4/m一krx3/m-Crx7/m+Crx8/m
x8=C3kfxl+C3CfX5一C3CfX6+C2krX3+C2CrX7一C2CrX8
x9=x8/（a+b）-x6/（a+b）
此系统的状态方程可写为:
X=AX+BW
（1）
式中X为9*1状态变量矩阵，的系统矩阵，B为9*1的输入矩阵
其中:
B=[0;1;0;1;0;0;0;0;0]
A=[00001-1000;
0000-10000；
0000-10000；
0000-10000；
-kf/mk0/m00-cf/mcf/m000；
crkf0c3kr0c1cf-c1cfc3cr-c3cr0；
00-kr/mk0/m00-cr/mcr/m0；
c3kf0c2kr0c3cf_c2cfC2cr-c2cr0；
00000-1/（a+b）01/（a+b）0]
我们评价汽车悬架的性能时主要是考虑它对汽车平顺性和操作稳定性的影响，而评价汽车这些性能时常常涉及一些主要参数为车身垂直振动加速度、悬架的变形、车身的俯仰角和轮胎的变形等，因此我们可以把这些参数指标作为汽车悬架系统的输出变量，即车身垂直振动加速度
、前悬架的变形Z1-Z2、前轮胎的变形z0-z1、后悬架的变形z3-z4、后轮胎的变形z0-z3和车身的俯仰角θ。
因此输出方程为:
Y=CX
（2）
式中C表示输出矩阵
C=[kf/M0kr/M0cf/M-cf/Mcr/M-cr/M0；
100000000；
010000000；
001000000；
000100000；
000000001]
2.3汽车主动悬架系统状态方程的建立
由于主动悬架和被动悬架的区别在于前者除了具有弹性元件和减振器以外，它还在车身和车轴之间安装了一个由中央处理器控制的力发生器，它能按照中央处理器下达的指令上下运动分别对汽车的簧载质量和非簧载质量产生力的作用。
主动悬架在其它结构方面和被动悬架大致相同，因而主动悬架可以参照被动悬架建立状态方程。
汽车主动悬架系统的1/2车辆模型如图3所示，它的理论依据和前提条件可参照前面的论述。
在这里就不一一赘述。
图中uf和ur，分别表示在前轴处和在后轴处力发生器产生的控制力的大小，而图中M、m、Ib、Ko、a、b、kf、kr、cf、cr、z0、z1、z2、z3、z4、z5这些符号所表示的意义和上一节中对被动悬架所论述的是一致的。
列出此系统的运动方程:
Tr=ur+kr（z3-z4）+Cr（z3-z4）
图3汽车主动悬架系统1/2车辆模型
Y=CX+DU（8）
式中C是6*9的输出矩阵，D是6*2的传递矩阵。
C=[kr/M0kr/M0cf/M-cf/Mcr/M-cr/M0；
100000000；
010000000；
001000000；
000100000；
0000000011；
D=[l/M1/M；00；00；00；00；00]
2.4本章小结
本章主要是建立一个与汽车实际情况相类似而又不失其简单性的四自由度1/2车辆模型，并针对被动悬架和主动悬架。
选取适合的状态变量，建立了主、被动悬架的状态方程。
此状态方程的状态变量较好地描述了系统的运动特性，而输出变量也能充分反映汽车的平顺性和安全性。
第三章现代控制理论在汽车主动悬架系统中的应用
本章所讨论和研究的内容是基于上一章节中所建立的汽车主动悬架系统1/2车辆模型上进行的。
控制理论的发展阶段可以分为以频率特性方法为代表的古典控制理论和状态空间方法为代表的现代控制理论。
古典控制理论在处理输入和多输出的复杂系统时就显露出很大的局限性，如传递函数复杂庞大，不利于计算机进行数学处理，而现代控制理论利用状态方程较为方便的处理了这样的问题，并且还能在时域范围内反映系统的内部状态和外部状态的变化。
我们根据现代控制理论对系统进行分析时，主要是用计算机来对状态方程进行求解，由于求出的解是在时域范围。
因此对系统进行分析和评估时不需要转换，比较直观。
在现代控制理论中，我们需要对控制对象和最优控制进行研究，这包括最优控制规律、系统稳定性、可观测性和可控制性等方面。
下面我们就对这些内容进行研究讨论。
3.1汽车主动悬架最优控制规律的研究
最优控制问题是寻求一个满足约束条件的控制矢量，使控制系统从状态X。
转移到某一终止状态xf，且使性能指标为极小，这样的控制称为最优控制。
下面我们就对性能指标函数作一下研究和分析。
3.1.1性能指标函致的分析研究
为了衡量系统工作的好坏，应根据系统的实际需要提出一个度量标准，这个标准就是性能指标或目标函数。
性能指标在最优控制问题中是非常重要的，它不仅决定了最优控制的形式和复杂程度，而且直接影响到实际系统中实现的可能性。
对于汽车主动悬架系统来说，它是一个根据汽车的输出状态来使用反馈控制力对系统进行调节，使它的输出为一个理想状态的闭环反馈系统。
因此对于主动悬架而言，就是使影响汽车平顺性和安全性的参数值尽可能的接近理想值，而为了不消耗太多的能量，控制反馈力也不能太大。
我们评价汽车平顺性和安全性时常常涉及的参数主要为车身垂直振动加速度
5、前悬架的变形X,、前轮胎的变形XZ、后悬架的变形X3、后轮胎的变形X;和车身的俯仰角Xg，即系统的
输出向量
因此它的性能指标函数可以写成:
式中:
r1,r2,q0,q1,q2,q3,q4,q5是加权系数；
控制力u的平方具有能量的意义，使性能指标最小，意味着所需的控制能量为最小。
用加权矩阵Q,R对这两部分变量进行加权，以便使这两部分在性能指标中所占的比重不同。
如果我们对其中某一项比较看重，那么就可以把它所对应的加权系数调大，反之亦然。
性能指标函数的确定以及加权系数的大小可以根据系统的具体情况由设计者加以确定。
根据上一章中对汽车主动悬架的研究可知:
把它代入上式，性能指标函数又可以写为:
对于线性系统，具有式（13）这种形式的性能指标称为二次型性能指标，它的最优化问题称为线性系统二次型性能指标的最优控制问题，简称为线性二次型问题，也成为线性调节器问题。
二次型性能指标的最优控制问题实质上是要求用较小的控制能量来获得较小误差的最优控制。
这种具有式（13）形式的线性调节器问题在数学处理上较为简便，应用最优控制理论，可以得到满足这种性能指标的最优控制的解析表达式，并且能用定常线性状态反馈来实现最优控制。
下面我们就对线性调节器问题的求解作一下分析和研究。
3.1.2线性调节器分析研究
设可控系统的状态方程为:
系统的性能指标为如下形式的二次型函数
试确定系统的最优控制Uop,（t）使性能指标J具有最小值，此类问题就称为线性调节器问题。
式中的Q和R为两个正实对称矩阵，X为n维状态矢量,U为r维控制矢R,A,B,Q,R均为时变的。
将公式（14）,（15）中的f（X,U,t）和F（X,U,T）带入哈密顿函数:
根据最优控制的必要条件得:
因此可求得系统的最优控制为：
利用最优控制的另一个必要条件可求得变量V：
将（16）式代入（14）式得：
将以上两式联立写成矩阵形式为：
此万程叫看成
为新状态变里的弄次状态万程，其中v为新引入的状态变量，称为协状态变量利用状态转移矩阵和边界条件求解此方程时可知状态变量X和协状态变量v之间存在着某种线性关系，因此可以令
V（t）=P（t）X（t）（19）
式中P为n*n阶矩阵，它可以是时变的.将上式微分代入（17）得:
再将（18）式代入上式得
为了使上式对一切X均成立，只有使X的系数矩阵为零，由此便可得到矩阵P应当满足方程式:
这是一个非线性偏微分方程，一般称为黎卡提方程。
将上式代入〔19）式和（16）式，便可求得线性调节器的最优控制规律:
由此式可以看出最优控制Uoo，与初始状态无关，即无论初始状态如何，由上式所确定的反馈控制均能使性能指标J达到最小。
也就是说在线性调节器问题中，对于所有的初始状态，按：
构成的反抗控制始终能使系统保持最优
矩阵:
给出了反馈控制的时变反馈系数，也称为最优反馈增益矩阵。
由此可知，对于线性调节器问题，最优控制是根据全部状态变X（t）的最优线性负反馈。
这是线性二次型问题的一个重要结论。
图4线性二次型间题最优控制结构图
3.2系统稳定性、可侧性和可控性的分析
对于一个反馈控制系统而言，它必须是稳定的。
也就是说，当系统的输入端遭受突然作用或者是反馈回路内部受到各种干扰或者是构成反馈回路的元件参数发生变化时，反馈控制系统不发生振荡。
可控性和可测性在现代控制理论中占有重要的地位，它是许多最优控制问题和最优估计问题解的存在条件。
那么，什么是最优控制问题呢?
就是由任意给出的初始状态量X（t0）求出可控向量U（t），使该状态转移到向量空间所希望的领域中去，并使性能指标达到最优。
因此初始状态量X（t0）是否受控于可控向量U（t），即可控性问题;状态量是否能测出，即可测性问题:
这两个问题是需要我们预先作出判断的。
3.2.1系统稳定性和稳定条件
当系统的输入端或者是反馈回路内部受到干扰时，反馈控制系统必须不发生振荡，即具有稳定性口那么如何判断一个反馈控制系统是否稳定呢?
对于一个线性系统而言，如果它的所有极点都位于左半s一平面内，则该系统是稳定的。
3.2.2.可控性和可控条件
可控性:
如果系统在有限的时间间隔内，可以用一个控制向量U（t）使系统的初始状态量X（t0）转移到任一状态，包括预定的最佳状态，那么该系统就是可控的。
如果有一个状态变量不受控于U（t）的话，那么该系统就是不可控的。
也就是说，如果系统中每一个状态的变化，都能被输入信号所影响，那么这个系统便是可控的;若系统中一个或者几个状态的变化不受输入信号的影响，那么这个系统便是不可控的。
可控条件:
设系统的状态方程为:
X=AX十BU
式中A为：
n*n阶状态矩阵，B为Or阶输入矩阵，U为r维控制列向量。
如果矩阵R=[BABA'B......A"'B]行列式不为零（即为非奇异矩阵），那么系统就是可控的，否则就是不可控的。
3.2.3可观侧性和可观侧条件
可观测性:
如果系统在有限的时间间隔内，根据系统的输出向量Y（t）和给定的输入向量U（t），能够确定系统的初始状态X（t）的每一个分量，那么该系统就是完全可观测的，只要有一个状态变量不能确定，则系统是不可观测的。
也就是说。
如果系统中每一个状态的变化都能影响到输出信号，那么这个系统便是可测的;如果我们不能从输出信号的测量中来确定关于系统状态的信息，那么这个系统便是不可测的。
可观测条件:
设系统的状态方程为：
输出方程为：
Y=CX
式中A为n*n阶状态矩阵，B为n*r阶输入矩阵，C为n*n阶输出矩阵，U为r维控制列向量。
如果矩阵
行列式不为零（即为非奇异矩阵），那么系统就是可观测的，否则就是不可观测的。
3.3.反馈控制力U的求解
根据前面章节所论述的“二次型性能指标的线性系统的最优控制”的有关理论知识可知，在线性调节器问题中，最优控制按U=-KX构成反馈控制，那么系统始终能保持最优。
故令U=-KX
我们在前面章节中建立了汽车主动悬架系统1l2车辆模型，
分析可知:
故反馈系数
K=[k1k2k3k4k5k6k7k8k9；
K10k11k12k13k14k15k16k17k18]
K称为最优反馈增益矩阵，
X为状态变量。
由线性调节器的相关理论知识（前面己详细论述过）可知：
而式中P可山黎卡提方程求出，而R为权系数矩阵，B为状态方程中的输入向量的系数矩阵。
黎卡提方程为:
当计算出K之后，最优控制力可由系统的状态变量来表示:
U=-KX
3.4本章小节
本章主要是把现代控制理论中的最优控制规律运用于汽车
主动悬架系统中，并对性能指标函数的确定、系统稳定性的判
断以及反馈控制力的求解等方面进行了分析和讨论，为后面章
节中对汽车悬架的模拟和分析奠定了基础。
第四章汽车悬架的模拟在Matlab上程序的实现
前面对建立汽车悬架系统模型和把现代控制理论和汽车主动悬架系统相结合进行了分析和讨论，本章主要讨论如何把此数学模型移植到计算机上进行模拟分析，也就是说在程序上是如何实现的。
为了在计算机上更加直观方便的对悬架系统进行模拟分析，本人在分析汽车悬架系统工作特性基础上使用c语言对MATLAB软件进行了二次开发。
4.1、有关MATLAB的筒介
MATLAB软件最初是用于矩阵的运算，由于后来不断对其进行改进，使它的应用范围越来越广泛，尤其在控制领域有着其独特的优势。
目前的MATLAB己经成为世界上最为流行的软件之一，它除了传统的交互式编程之外，它还提供了丰富可靠的矩阵运算、图形绘制、数据处理以及方便的Windows编程等便利工具。
出现了各种以MATLAB为基础的实用工具箱，广泛地应用于自动控制、图象信息处理、生物医学工程、语言处理、雷达工程、信号分析、振动理论、时序分析与建模、化学统计学、优化设计等领域，并表现出一般高级语言难以比拟的优势，较为常见的MATLAB工具箱主要包括有:
控制系统工具箱、系统辨识工具箱、神经网络工具箱、最优化工具箱、信号处理工具箱、模糊推理系统工具箱等。
为了使结构复杂的控制系统能够准确而简捷的输入计算机，以便对其进行分析与仿真，MATHWORKS软件公司于1990年MATLAB的基础上推出了新的控制系统模型输入与仿真工具—SIMULINK,顾名思义即SIMU（仿真）与LINK连接），这也是该软件的两个显著功能。
SIMULINK是一个用来对动态系统进行建模、仿真和分析的软件包，它支持连续、离散及两者混合的线性和非线性系统，也支持具有多种采样速率的多速率系统。
它为用户提供了用方框图进行建模的图形接口，采用这种结构画模型非常容易。
与传统的仿真软件（用微分方程和差分方程建模）相比，具有更直观·方便、灵活的优点。
SIMULINK包含有SINKS（输出方式）、SOURSE（输入源）、LINEAR（线性环节）、NONLINEAR（非线性环节）、CONNECTIONS（连接与接口）和EXTRA（其它环节）子模型库，而且每个子模型库中包含有相应的功能模块，用户也可以定制和创建用户自己的模块。
用SIMULINK创建的模型可以具有递阶结构，因此用户可以采用从最高级开始观看模型，然后用鼠标双击其中的子系统模块，来查看其下一级的内容，以此类推，从而可以看出整个模型的细节，帮助用户理解模型的结构和各模块之间的相互关系。
在定义完一个模型以后，用户可以通过SIMULINK的菜单或者MATLAB的命令窗口键入命令来对它进行仿真。
菜单方式对于交互工作非常
方便，而命令行方式对于运行一大类仿真非常有用。
采用SCOPE模块和其它的画图模块，在仿真进行的同时，就可以观看到仿真的结果。
除此之外用户还可以在改变参数后迅速观看系统中发生的情况。
山于SIMULINK和MATLAB是集成在一起的，因此用户可以在这两种环境下对自己的模型进行仿真、分析和修改。
此外MATLAB还提供了与其它高级程序设计语言（如C.FORTRAN等）的接口，使得其功能日益强大，成为控制系统研究人员不可缺少的用力工具。
4.2模拟仿真方框图的实现
我们对在前面章节中建立的汽车被动悬架和主动悬架1/2车辆模型在计算机上进行模拟仿真时，可以利用MATLAB软件中的SIMULINK方框图来实现对计算机的输入。
用图5和图6可以分别来表示对汽车被动悬架和主动悬架进行模拟时在计算机上实现的方式和过程。
图5被动悬架模拟仿真方框图
在图5中六个输出变量分别为车身垂直振动加速度、前后悬架的变形、车身的俯仰角和前后轮胎的变形，它们反映了汽车的平顺性和安全性，而白噪声是用来模拟路面输入的。
图中的六个示波器和“display1-6”是分别用图形和数值来实时反映对应变量变化的。
图6主动悬架模拟仿真方框图
图6与图5相比较，图6多一个反馈控制环节，此反馈是根据输出响应量的变化来调节反馈控制力的大小。
下面分别对图中的几个部分进行分析和解释
4.2.1路面输入描述
汽车在路面上行驶时，路面必然是起伏不平的，对于车辆振动输入的路面不平度，主要采用路面功率谱密度来描述它的统计特性。
根据国际标准协会在文件ISO/TC108/SC2N67中提出的“路面不平度表示方法草案”和长春汽车研究所起草制定的“车辆振动输入一路面平度表示方法”标准这两个文件中均建议用下列表达式来描述路面功率谱密度:
式中：
n表示空间频率，它是波长的倒数，表示每米中包含几个波长，单位为m-1
n0表示参考空间频率，n0=0.1
Gq（n0）表示参考空间频率n0下的路面谱值，称为路面不平度系数，单位为M2/M-1
W表示频率指数，它决定路面谱的频率结构。
上述路面功率谱指的是垂直位移功率谱，还可以用速度功率谱来描述路面不平度的统计特性:
Gq（n
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