【涉及知识点】一元一次不等式组
【点评】本题综合考查了含有参数的一元一次不等式组问题，需要考生灵活求解不等式组，根据不等式组的整数解确定出参数的取值范围，难度较大，区分度高．
12．（2010山东泰安，12，3分）如图，矩形ABCD的两对角线AC、BD交于点O，∠AOB=60°，设AB=xcm，矩形ABCD的面积为Scm2，则变量y与x的函数关系式为（）
A．
B．
C．
D．
【分析】因为矩形ABCD的两对角线相等，所以BO=CO，
因此∠ACB=30°，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，AB=xcm，
tan∠ACB=
，所以
，矩形ABCD的面积
．【答案】A
【涉及知识点】矩形解直角三角形
【点评】本题以矩形为背景考查了解特殊的直角三角形，考查知识到位，综合能力强，难度较大，区分度高．
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
二、填空题（本大题共7小题，满分21分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分，请将答案填写在答题纸的相应位置）
13．（2010山东泰安，13，3分）分解因式2x3﹣8x2y+8xy2=．
【分析】2x3﹣8x2y+8xy2=
．【答案】
【涉及知识点】分解因式提公因式法公式法
【点评】分解因式常用的方法是提公因式法和公式法，本题综合考查了这两种方法，考生常出错的地方是提公因式以后，没有观察分解是否彻底，而本题综合两种方法考查，使得本题的区分度较高．
14．（2010山东泰安，14，3分）将y=2x2﹣12x﹣12变为y=a（x﹣m）2+n的形式，则m·n=．
【分析】y=2x2﹣12x﹣12=2（x2﹣6x﹣6）
=
，因此m=3，n=﹣30，所以m·n=﹣90．
【答案】﹣90【涉及知识点】配方法
【点评】配方法是中考的热点考查问题，多以选择填空题中出现，本题以二次函数为背景，在配方时要严格按照配方法的配方步骤，要注意不要出现漏项．
15．（2010山东泰安，15，3分）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点
重合，若BC=8，CD=6，则CF=．
【分析】设CF=x，则DF=6﹣x，△DEF≌△
EF，
所以DF=
F=6﹣x，C
=
=4，在Rt△C
F中，
根据勾股定理，
，则
，
解得，x=
．【答案】
【涉及知识点】矩形勾股定理折叠
【点评】本题以矩形纸片为模型，通过折叠，采用数形结合的数学思想，利用勾股定理构建方程求解出未知量，情景新颖，难度适中．
16．（2010山东泰安，16，3分）如图，一次函数y=ax（a是常数）与反比例函数y=
（k是常数）的图象相交于A、B两点，若A点的坐标为（﹣2，3），则B点的坐标为．
【分析】因为反比例函数y=
与正比例函数y=ax两个交点的坐标
关于原点成中心对称，因此B的坐标为（2，﹣3）．
【答案】（2，﹣3）
【涉及知识点】反比例函数一次函数中心对称
【点评】本题需要考生熟知反比例函数与正比函数图象相交的两个
交点关于原点成中心对称这一性质，本题考查知识点到位，难度中等．
17．（2010山东泰安，17，3分）1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数的个数有个．
【分析】在这100个自然数的算术平方根和立方根中共有200个数，这200个数除去有理数就是无理数，因此不妨找出这200个数中有多少个有理数，从1到10这10个数的平方全部小于等于100，因此在从1到100这100个自然数的算术平方根中有10个有理数；从1到4这4个数的三次方全部小于100，因此在从1到100这100个自然数的立方根中有4个有理数，因此还剩余无理数186个．【答案】186
【涉及知识点】实数数的运算规律
【点评】本题以100个自然数为问题背景，考查了数的运算规律，问题设计巧妙．
18．（2010山东泰安，18，3分）如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，点D、E、F是⊙O上三个点，EF∥AB，若EF=
，则∠EDC的度数为．
【分析】如图，连接OE，OC，直线AB与⊙O相切于点C，因此CO⊥AB，
有因为EF∥AB，所以EF⊥OC，由垂径定理知，EG=
EF=
，
在Rt△OEG中，sin∠EOG=
，所以∠EOG=60°，故∠EDC=30°．
【答案】30°【涉及知识点】圆的有关性质解直角三角形
【点评】圆是中考重点考查内容之一，正确合理地做出辅助线能帮助我们快速地解决圆中的有关问题，中考主要从以下几个方面考查辅助线：
①作半径或直径；②作弦心距；③作切线等等．
19．（2010山东泰安，18，3分）如图，△ABC经过一定的变换得到△
，若△ABC上一点M的坐标为（m，n）,那么M点的对应点
的坐标为．
【分析】通过观察图形，△
是由△ABC向右平移4个单位，
再向上平移2个单位得到的，点M在△ABC上，因此
的坐标
为（m+4，n+2）．【答案】（m+4，n+2）
【涉及知识点】平移点的坐标
【点评】此类题诗图形变换的题目，需要一定的空间想象能力，
认真观察图形、注意平移的方向和平移距离，若是旋转，看清
旋转中心、旋转方向，旋转角度．
三、解答题（本大题共7小题，满分63分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤，请将题目的解答过程写在答题纸的相应位置）
20．（2010山东泰安，20，11分）
（1）先化简，再求值．
（2）解方程：
．其中
【分析】
（1）分式的混合运算，先通分然后化简，最后代入未知数的值进行运算；
（2）将其化为一元二次方程的一般形式，采用公式法求解．
【答案】解：
（1）原式=
=
=
=
当
时，
原式=
（2）原方程可化为
∴
即
∴
．
【涉及知识点】分式一元二次方程
【点评】计算成功的前提是正确的运算顺序，分式的混合运算顺序与分数的加、减、乘、除混合运算顺序一样，灵活运算律，可使计算更简便．
21．（2010山东泰安，21，8分）某中学为了了解本校初三学生体育成绩，从本校初三1200名学生中随机抽取了部分学生进行测试，并把测试成绩（满分100分，成绩均取整数）进行统计，绘制成如下图表（部分）：
组别
成绩
频数
频率
1
90.5—100.5
8
0．08
2
80.5—90.5
m
0．24
3
70.5—80.5
40
n
4
60.5—70.5
25
0．25
5
50.5—60.5
3
0．03
合计
／
／
／
请根据上面的图表，解答下列各题：
（1）m=______________，n=___________；
（2）补全频数分布直方图；
（3）指出这组数据的“中位数”；落在哪一组（不要求写出理由）；
（4）若成绩在80分以上的学生为优秀．请估计该校初三学生体育成绩优秀的人数．
【分析】
（1）从第一组的成绩看出，频数为8，频率为0.08，可知抽测的人数为
人，因此m=24，根据频率之和为1，可得n=0.4；
（2）由
（1）知，第2小组的频数为24；（3）将这组数据按照由小到大的顺序排列，中间的两个数位于第3组；（4）80分以上的频率之和为0.08+0.24=0.32．
【答案】解：
（1）240.4；
（2）如图所示；
（3）第3组；
（4）1200×（0.08＋0.24）=384人．
【涉及知识点】统计频数频率中位数
【点评】以初三学生的体育成绩为背景对统计图、频数、频率、中位数等基本的统计知识考查，难度一般．
22．（2010山东泰安，22，8分）某电视机厂要印制产品宣传材料，甲印刷厂提出：
每份材料收1元印刷费，另收1000元制版费；乙厂提出：
每份材料收2元印制费，不收制版费.
（1）分别写出两厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的函数关系式；
（2）电视机厂拟拿出3000元用于印制宣传材料，找哪家印刷厂印制的宣传材料能多一些？
（3）印刷数量在什么范围时，在甲厂的印制合算？
【分析】
（1）根据题意分情况列出两厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的函数关系；
（2）分别另y=3000，求出印制数量x，进行比较；观察式子可以看出，第n个式子等于
；
（2）将
通分化简即可；（3）列不等式比较．
【答案】解：
（1）甲厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的函数关系式为
y=x+1000
乙厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的函数关系式为
y=2x
（2）根据题意：
若找甲厂印制，可以印制的份数x满足
3000=x+1000
得x=2000
若找乙厂印制，可以印制的份数x满足
3000=2x
得x=1500
又2000>1500
∴找甲厂印制的宣传材料多一些．
（3）根据题意可得
x+1000<2x
解得x>1000
当印制数量大于1000份时，在甲厂印刷合算．
【涉及知识点】函数不等式方案设计
【点评】以实际生活中的问题为背景，让学生体会到数学来源于实际生活，用数学解决实际问题，提高数学应用意识．
23．（2010山东泰安，23，8分）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点．且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C．
（1）求证：
∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；
（2）求证：
AB2＝AE•AC．
【分析】
（1）在△ADE和△ACD中，要证明∠AED=∠ADC，只需证明∠ADE＝∠C，∠ADE＝∠C，是已知条件，从而能证明，∠AED+∠DEC=180°，∠ADB+∠ADC=180°，可知∠DEC=∠ADB，从而证明∠DEC=∠B；
（2）只需证明△ADE∽△ACD即可．
【答案】证明：
（1）在△ADE和△ACD中
∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠DAE
∴∠AED=180°－∠DAE－∠ADE
∠ADC＝180°－∠DAE－∠C
∴∠AED=∠ADC
∵∠AED+∠DEC=180°
∠ADB+∠ADC=180°
∴∠DEC=∠ADB
又∵AB=AD
∴∠ADB=∠B
∴∠DEC=∠B
（2）在△ADE和△ACD中
由
（1）知∠ADE＝∠C，∠DAE=∠DAE
∴△ADE∽△ACD
∴
即AD2=AE•AC
又∵AB=AD
∴AB2＝AE•AC．
【涉及知识点】相似三角形三角形的内角和等腰三角形
【点评】关键是找出各个角之间的关系，要证明等积式成立，只需证明比例式成立，从而找到相似三角形．
24．（2010山东泰安，24，8分）某商店经销一种泰山旅游纪念品，4月的营业额为2000元，为扩大销售量，5月份该商店对这种纪念品打9折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元．
（1）求该种纪念品4月份的销售价格；
（2）若4月份销售这种纪念品获利800元，5月份销售这种纪念品获利多少元？
【分析】设该种纪念品4月份的销售价为x元，则4月份的销售量为
，5月份的售价为0.9x元，营业额为（2000+700）元，5月份的销售量为
，5月份的销售量比4月份的销售量增加20件，可列出分式方程．
【答案】解：
（1）设该种纪念品4月份的销售价为x元，根据题意得
解之得x=50
经检验x=50是所得方程的解
∴该种纪念品4月份的销售价格是50元．
（2）由
（1）知4月份销售件数为
=40件，∴四月份每件盈利
=20元
5月份销售件数为40+20=60件，且每件售价为50×0.9=45，每件比4月份少盈利5元，为15元，所以5月份销售这种纪念品获利60×15=900元．
【涉及知识点】分式方程的应用
【点评】列分式方程解应用题的基本思路和列整式方程解应用题的基本思路是相同的，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，同时，解出分式方程后注意检验求出的值是不是方程的解，是否符合实际意义．
25．（2010山东泰安，25，10分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90ｏ，点P、Q分别是AB、AC上的动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点．
（1）求证：
△PDQ是等腰直角三角形；
（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，说明理由．
【分析】
（1）连结AD，要证明PD=QD，只需证明△BPD≌△AQD，
∠BDP+∠ADP=90°，∠ADQ+∠ADP=∠PDQ=90°，从而命题成立；
（2）当P点运动到AB的中点时，DP⊥AB，可先证明四边形APDQ为矩形，由
（1）知DP=AP=AB，所以四边形APDQ是正方形．
【答案】解：
（1）证明：
连结AD
∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B
又∵BP=AQ
∴△BPD≌△AQD
∴PD=QD，∠ADQ=∠BDP
∵∠BDP+∠ADP=90°
∴∠ADQ+∠ADP=∠PDQ=90°
∴△PDQ为等腰直角三角形．
（2）当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形．
由
（1）知△ABD为等腰直角三角形．
当P点运动到AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD=90°
又∵∠A=90°，∠PDQ=90°
∴四边形APDQ为矩形
又∵DP=AP=AB
∴四边形APDQ是正方形．
【涉及知识点】等腰三角形正方形动点问题
【点评】本题以等腰直角三角形为模型综合考查了，等腰直角三角形的性质、三角形的全等、正方形等知识，通过动点问题，设计巧妙，难度较高，区分度大．
26．（2010山东泰安，26，10分）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
求证：
（1）DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，BE＝1，求cosA的值．
【分析】
（1）要证明DE是⊙O的切线，只需要证明OD⊥DE，
DE⊥AB，只需证明OD∥AB，若CD=BD，则命题成立；
（2）cosA＝
，
，
求出CF和AF的长度即可．
【答案】解：
（1）证明：
连结AD、OD．
∵AC是直径，∴AD⊥BC．
∵AB＝AC，∴D是BC的中点．
又∵O是AC的中点，∴OD∥AB．
∵DE⊥AB，∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
（2）由
（1）知OD∥AE．
∴
．
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