1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a（0<2a<|F1F2|）的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>1）
与定点和直线的距离相等的点的轨迹.
轨迹条件
点集：
（{M｜=2a,｜F
｜MF1+｜MF2｜1F2｜<2a}.
点集：
{M｜=±2a,
｜
｜
M
F2F
F1｜-｜MF2｜.
2｜>2a}.
点集{M｜｜MF｜=点M到直线l的距离}.
图形
方程
标准方程
22
x2y21（ab>0）ab
22
x2y21（a>0,b>0）ab
y22px
参数方程
xacosybsin
（参数为离心角）
xasec
ybtan
（参数为离心角）
2
x2pt（t为参数）y2pt
范围
─axa，─byb
|x|a，yR
x0
中心
原点O（0，0）
原点O（0，0）
顶点
（a,0）,（─a,0）,
（0,b）,（0,─b）
（a,0）,（─a,0）
（0,0）
对称轴
x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2b
x轴，y轴;实轴长2a,虚轴长2b.
x轴
焦点
F1（c,0）,F2（─c,0）
F1（c,0）,F2（─c,0）
F（2p,0）
准线
2x=±ac
准线垂直于长轴，且在椭圆
外.
2
a
x=±
c
准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.
x=-p
2准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.
焦距
2c（c=a2b2）
22
2c（c=ab）
离心率
ec（0e1）a
ec（e1）
a
e=1
焦半径
P（x0，y0）为圆锥曲线上一点，F1、F2分别为左、右焦点
|PF1|=a+ex0
|PF2|=a-ex0
P在右支时：
P在左支时：
|PF1|=a+ex0|PF1|=-a-ex0
|PF2|=-a+ex0|PF2|=a-ex0
|PF|=x0+p
2
备注1】双曲线：
⑶等轴双曲线：
双曲线x2y2a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为yx，离心率e2.
备注2】抛物线：
到准线的距离为p.
叫做焦半径）.
椭圆典型例题
、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
例1：
已知椭圆的焦点是F1（0，－1）、F2（0,1），P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，求椭圆的标准方程。
解：
由PF1＋PF2＝2F1F2＝2×2＝4，得2a＝4.又c＝1，所以b2＝3.
所以椭圆的标准方程是y＋x＝1.
43
2．已知椭圆的两个焦点为F1（－1,0），F2（1,0），且2a＝10，求椭圆的标准方程．22解：
由椭圆定义知c＝1，∴b＝52－1＝24.∴椭圆的标准方程为x＋y＝1.
2524
、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
例：
1.椭圆的一个顶点为A2，0，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
分析：
题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．
解：
（1）当A2，0为长轴端点时，a2，b1，
椭圆的标准方程为：
22
x2y21；
41
2）当A2，0为短轴端点时，b2，a4，
22
1；
椭圆的标准方程为：
xy
416
三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。
x2y2
例．求过点（－3,2）且与椭圆x＋y＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．
94
22
2xy9解：
因为c2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为a2＋a2－5＝1.由点（－3,2）在椭圆上知a2＋42x2y2
2＝1，所以a2＝15.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
a－51510
四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。
由e1，得1k1，即k
294
k，利用条件求k．
∴满足条件的k4或k
4
六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题
例：
1.若△ABC的两个顶点坐标A（－4,0），B（4,0），△ABC的周长为18，求顶点C的轨迹方程。
解：
顶点C到两个定点A，B的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C的轨迹为椭圆，并且2a＝10，所以a＝5,2c＝8，所以c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，故顶点C的轨
x2y2
方程为x＋y＝1.又A、B、C三点构成三角形，所以y≠0.所以顶点
259
x2y2x2y2
为2x5＋y9＝1（y≠0）答案：
2x5＋y9＝1（y≠0）
22
2．已知椭圆的标准方程是ax2＋2y5＝1（a>5），它的两焦点分别是F1，的周长．
即a＝41，所以△ABF2的周长为4a＝441.
因为F1F2＝8，即即所以2c＝8，即c＝4，所以a2＝25＋16＝41，
x2y2
3．设F1、F2是椭圆x9＋y4＝1的两个焦点,P是椭圆上的点，且PF1:
PF2＝2:
1，求△PF1F2的面积．
解析：
由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝5，∴PF1＋PF2＝2a＝6.又PF1∶PF2＝2∶1，∴PF1＝4，PF2＝2，由22＋42＝（25）2可知△PF1F2是直角三角形，故△PF1F2的面积为12PF1·PF2＝12×2×4＝4.
七、直线与椭圆的位置问题
x2211
例已知椭圆xy21，求过点P1，1且被P平分的弦所在的直线方程．
222
分析一：
已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为
222
12k2x22k2
2kx
1k2k
2
3
2
0
由韦达定理得x1
2k
22k．
x2
2．
21
2k2
∵P是弦中点，∴
x1x2
1．故得
k
1
2
11
解法二：
设过P，的直线与椭圆交于
22
Ax1，y1、Bx2，y2，则由题意得
所以所求直线方程为2x4y30．
22
①－②得x1x2
2
2y1
2
y2
0．
⑤
将③、④代入⑤得
y1
y2
1
1，即直线的斜率为
1
x1
x2
2
2
所求直线方程为2x4y30．
双曲线典型例题、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。
c2a2b216，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．
222
c2a2b216，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．
k值，画出其图形，体会一
3）k25，k9，k25时，所给方程没有轨迹．
说明：
将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些下几何图形所带给人们的美感．
、根据已知条件，求双曲线的标准方程。
例2根据下列条件，求双曲线的标准方程．
22
3）与双曲线xy1有相同焦点，且经过点32，2
164
22
解：
（1）设双曲线方程为xy1mn
P、Q两点在双曲线上，
9mn
22
∴所求双曲线方程为xy1
169
说明：
采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的．
2）∵焦点在x轴上，
2
y1（其中0
6
x2
∴所求双曲线方程为
12
巧妙的设法．
（2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面．
三、求与双曲线有关的角度问题。
2
y1的右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上的左支上且
16
F1PF2的大小．
分析：
一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形．解：
∵点P在双曲线的左支上
∴PF1PF26
22
∴PF12PF222PF1PF236
22
∴PF12PF22100
∵F1F224c24a2b12100
F1PF290
说明：
（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化．
点P在
（2）题目的“点P在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为双曲线上”结论如何改变呢？
请读者试探索．四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。
2
F1PF2的
例4已知F1、F2是双曲线y21的两个焦点，点P在双曲线上且满足F1PF290，求
4
面积．
分析：
利用双曲线的定义及F1PF2中的勾股定理可求F1PF2的面积．
2
解：
∵P为双曲线y21上的一个点且F1、F2为焦点．
4
∴PF1PF22a4,F1F22c25
∵F1PF290
222
∴在RtPF1F2中，PF12PF22F1F2220
222
∵PF1PF22PF12PF222PF1PF216
∴202PF1PF216
∴PF1PF22
1
∴SF1PF2PF1PF21
122
说明：
双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用．
五、根据双曲线的定义求其标准方程。
例5已知两点F15，0、F25，0，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹．
分析：
问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹．
解：
根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线．
∵c5，a3
∴b2c2a252324216
22
∴所求方程xy1为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线．
916
22
例:
P是双曲线xy1上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，且PF117，求PF2的值．
643612
分析：
利用双曲线的定义求解．
22
解：
在双曲线xy1中，a8，b6，故c10．
6436
由P是双曲线上一点，得PF1PF216．
∴PF21或PF233．
又PF2ca2，得PF233．
说明：
本题容易忽视PF2ca这一条件，而得出错误的结论PF21或PF233．
六、求与圆有关的双曲线方程。
例6求下列动圆圆心M的轨迹方程：
2
1）与⊙C：
x22
2y
2内切，且过点
A2，0
2）与⊙
C1：
x2y
12
2
1和⊙C2：
x2
y12
4都外切．
3）与⊙
C1：
x32
2
y2
9外切，且与⊙
2
C2：
x3
2
y21内切
r2．解
分析：
这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果相切的⊙C1、⊙C2的半径为r1、r2且r1r2，则当它们外切时，O1O2r1r2；当它们内切时，O1O2r1题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程．
解：
设动圆M的半径为r
（1）∵⊙C1与⊙M内切，点A在⊙C外
∴MCr2，MAr，MAMC2∴点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，且有：
2
2
2
27
a，c
2，b2
c
a
2
2
∴双曲线方程为
2x2
2y2
1x2
7
2）∵⊙M与⊙C1、⊙C2都外切
∴MC1r1，MC2r2，
MC2MC11
∴所求的双曲线的方程为：
3）∵⊙M与⊙C1外切，且与⊙C2内切
∴MC1r3，MC2r1，MC1MC24
a2，c3，b2c2a25
∴所求双曲线方程为：
22xy
45
说明：
（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法．
（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量．（3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标．
抛物线典型例题
一、求抛物线的标准方程。
例1指出抛物线的焦点坐标、准线方程．
22
（1）x4y
（2）xay（a0）
分析：
（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程．
（2）先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论，确定是哪一种后，求p及焦点坐标与准线方程．
解：
（1）p2，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：
y1
、求直线与抛物线相结合的问题
分析：
由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k．
ykx222
解法一：
设A（x1,y1）、B（x2,y2），则由：
2可得：
kx（4k8）x40．
y28x
∵直线与抛物线相交，k0且0，则k1．
∵AB中点横坐标为：
x1x24k82，
解得：
k2或k
2
1（舍去）．
k2
故所求直线方程为：
y2x2．
解法二：
设A（x1,y1）、B（x2,y2）
，则有
2y1
8x1
2y2
8x2．
两式作差解：
（y1
y2）（y1y2）
8（x1
x2）
，即y1
x1
y2
8．
x2
y1y2
x1x24y1
y2kx1
2kx2
2
k（x1
x2）
44k4，
k8故k4k4
2或k1（
舍去）
．
则所求直线方程为：
y2x2．
三、求直线中的参数问题
35，求k值．
9时，求P点坐标．P点坐标．
例3
（1）设抛物线y24x被直线y2xk截得的弦长为
（2）以
（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为分析：
（1）题可利用弦长公式求k，
（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求
解：
（1）由y4x得：
4x2（4k4）xk20y2xk
AB35,5（12k）35，即k4
四、与抛物线有关的最值问题
例4定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2x上移动，求AB的中点到y轴的距离的最小值，并
求出此时AB中点的坐标．
解：
如图，设F是y2
x的焦点，
A、B两点到准线的垂线分别是
AC、BD，又M到准线的垂线为MN，
C、D和N是垂足，则
MN
1
12（ACBD）
12（AF
设M点的横坐标为
x，
纵坐标为
1
y，MNx，则
31
x
24
等式成立的条件是
5时，
4
当x
y1y2
AB过点F．
P21
4
（y1
y2）2
2y1
2y2
2y1y2
2x22，
y1
y2
2，
所以
M（45,22），此时M到y轴的距离的最小值为
例已知点M（3,2），F为抛物线y22x的焦点，点
P在该抛物线上移动，当PMPF
取最小值时，
点P的坐标为
分析：
本题若建立目标函数来求
题不难解决．
解：
如图，
由定义知PF
PE，故PM
取等号时，
M、
所以P点坐标为
PM
PF
P、E三点共线，∴
（2,2）．
PF
的最小值是困难的，若巧妙地利用抛物线定义，结合图形则问
PF
PM
P点纵坐标为
ME
MN
1
3．
2
2，代入方程，求出其横坐标为2，
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