高中数学第三章统计案例31独立性检验假设检验素材苏教版选修2312251101.docx
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高中数学第三章统计案例31独立性检验假设检验素材苏教版选修2312251101
假设检验
1、某厂生产的化纤纤度服从正态分布。
某天测得25根纤维的纤度的均值，问与原设计的标准值1.40有无显著差异？
（取）
解 设厂生产的化纤纤度为，则总体，且总体方差已知。
顾客提出要检验的假设为
，
因为已知总体标准差，所以选用检验，且在成立的条件下有
针对备择假设，拒绝域的形式可取为
为使犯第一类错误的概率不超过，就要在时，使临界值满足
成立。
由此，在给定显著性水平时，得到临界值为
故相应的拒绝域为
利用来自总体的样本值求得
即
成立。
显然，样本未落在拒绝域内，因此在水平上认为纤维的纤度与原设计的标准值1.40没有显著差异。
2、设某厂生产的洗衣机的使用寿命（单位:
小时）服从正态分布但未知。
随机抽取20台，算得样本均值,样本标准差497,检验该厂生产的洗衣机的平均使用时数“”是否成立？
（取检验水平）
解 待检验假设
的拒绝域：
=2.093
的观测值
不能拒绝,可以认为洗衣机的平均使用时数“”.
3、在正常情况下，某炼钢厂的铁水含碳量（%）～（未知）。
一日测得5炉铁水含碳量如下：
4.48，4.40，4.42，4.45，4.47
在显著水平下，试问该日铁水含碳量的均值是否有明显变化。
解：
（1）
（2）选取检验统计量
给定，查知。
的拒绝域为：
：
。
计算||=7.0542.7764，
所以显著水平下，拒绝。
即该日铁水含碳量的均值有明显变化。
4、某厂生产需要用玻璃纸作包装，按规定供应商供应的玻璃纸的横向延伸率不低于65。
已知该指标服从正态分布,一直稳定于。
从近期来货抽查了100个样品，得样本均值，试问在水平下能否接收这批玻璃纸。
解
=-18.07<-1.65
拒绝,在水平下能否接收这批玻璃纸。
5、根据某地环境保护法规定，倾入河流的废物中某种有毒化学物质含量不得超过3ppm。
该地区环保组织对某厂连日倾入河流的废物中该物质的含量的记录为：
。
经计算得知
。
试判断该厂是否符合环保法的规定。
（该有毒化学物质含量服从正态分布）
解
（1）H0 ：
H1：
（2）H0的拒绝域为：
（3）计算，， =1.77667.
所以在显著水平下，拒绝H0.
6、某医院用一种中药治疗高血压，记录了50例治疗前与治疗后病人舒张压数据之差，得到其均值为16.28，样本标准差为10.58。
假定舒张压之差服从正态分布，试问在水平上，该中药对治疗高血压是否有效？
解 设治疗前与治疗后病人舒张压数据之差为，则总体，且未知。
要检验中药对治疗高血压是否有效？
属于单边检验，故此提出假设
，
在假设成立的条件下，应该选用检验。
针对备择假设，拒绝域的形式可取为
为使犯第一类错误的概率不超过，就要求
由于在时，，所以。
当分布的自由度大于45时，可以用标准正态分布的分数来近似分布的分位数。
现在，分布的自由度为49，该值较大，因此在给定时，可利用标准正态分布确定出0.05的分位数为。
根据来自总体的样本值计算出检验统计量的值为。
而在水平上的拒绝域为
显然，样本落在拒绝域内，因此在水平上认为该中药材对治疗高血压有效。
7、某种导线的电阻服从,未知,其中一个质量指标是电阻标准差不大于.现从中抽取了9根导线测其电阻,算得标准差,试问在水平下能否认为这批导线的电阻波动合格。
解 检验假设
的拒绝区域
不能拒绝,可以认为这批导线的电阻波动合格.
8、新设计的一种测量仪器用来测定某物体的膨胀系数11次，又用进口仪器重复测同一物体11次，两样本的方差分别是，。
假定测量值分别服从正态分布，问在水平上，设计仪器的精度（方差的倒数）是否比进口仪器的精度显著为好？
解 设新设计的仪器测定的膨胀系数为，则，且未知，进口仪器测定的膨胀系数为，则且未知。
要检验的问题是设计仪器的精度（方差的倒数）是否比进口仪器的精度显著为好？
属于单边检验。
故提出假设
，
在假设为真时，选用检验统计量，针对备择假设确定拒绝域为
对于给定的显著性水平，利用第一自由度10，第二自由度10的分布，确定出0.05分位数
由样本值求出成立，样本落在拒绝域中，应拒绝，在水平下，认为新设计的仪器精度比进口仪器的精度显著为好。
9、某公司经理听说他们生产的主要商品的价格波动甲地比乙地大，为此他对两地所售商品作了随机抽查。
在甲地调查了51种，其价格的标准差为，在乙地调查了179种，其价格的标准差为，假定两地价格分别服从正态分布，试问水平下能支持上述说法吗？
解 设甲地价格为，则总体，且未知，乙地价格为，则总体且未知。
要检验的问题是他们生产的主要商品的价格波动甲地比乙地大是否成立，故提出假设
，
在假设成立的条件下，选用检验，类似上题，利用插值的方法求得水平上的拒绝域为
在由样本求得，显然样本未落在拒绝域中，故在水平上支持主要商品价格的波动甲地比乙地大的说法。
10、某厂铸造车间为提高缸体的耐磨性而试制了一种镍合金铸件以取代一种铜合金铸件，现从两种铸件中各抽出一个样本进行硬度测试（表示耐磨性的一种考核指标），其结果如下：
镍合金铸件:
72.0，69.5，74.0，70.5，71.8
铜合金铸件:
69.8，70.0，72.0，68.5，73.0，70.0
根据以往经验知硬度，，且，试在水平下比较镍合金铸件硬度有无显著提高。
解 因为合镍铸件的硬度，铜合金铸件的硬度，且已知成立。
要检验的问题是比较镍合金铸件硬度有无显著提高，属于单边检验，故提出假设
，
在假设成立的条件下，由于与均已知，所以选用检验。
针对备择假设，拒绝域的形式可取为
为使犯第一类错误的概率不超过，就要求在时，，由于在时，，所以临界值。
在给定水平上，利用标准正态分布，确定出0.95的分位数为，相应的拒绝域为
现由分别来自两个总体的样本计算出，，，因此可得，显然，样本未落入拒绝域内，在水平上，认为镍合金铸件硬度没有明显提高。
11、某物质在化学处理前后的含脂率如下：
处理前：
0.19 0.18 0.21 0.30 0.66 0.42 0.08 0.12 0.30 0.27
处理后：
0.15 0.13 0.00 0.07 0.24 0.24 0.19 0.04 0.08 0.20 0.12
假定处理前后含脂率分别服从正态分布。
问处理后是否降低了含脂率？
（取）
解 设处理前含脂率为，分布为，处理后含脂率为，分布为，且与都未知，而是否等于也未知。
所以应该首先检验的假设
，
如果接受，即认为与无明显差异，则可以在两个方差相等的条件下对正态均值作如下检验，即提出假设。
在假设成立的条件下，选用检验，根据备择假设，在给定水平上，利用第一自由度为9，第二自由度为10的分布确定出0.005与0.995的分位数，获得水平上的拒绝域为
或
现在利用样本的数字特征，。
计算出
显然，样本未落在拒绝域中，故在水平上可以认为两者方差相等。
再假设成立的条件下，选用检验，针对备择假设，确定拒绝域为
在给定的水平上，利用自由度位的分布确定出0.99的分位数为。
相应的拒绝域为
利用来自两个总体的样本值，首先求得
则，从而求得
显然，样本未落在拒绝中，因此，在水平上，可以认为处理后没有降低含脂率。
12、设甲、乙两种矿石中含铁量分别服从与，各取若干样本测得结果如下：
甲矿石：
，，
乙矿石：
，，
在显著水平下，检验甲矿石含铁量不低于乙矿石含铁量。
解 设分别表示甲、乙两种矿石中含铁量，则，独立。
由于两总体的方差、未知，而也未知，要检验的问题之一是两者的方差是否一致？
是双边检验，应提出假设
，
在假成立下，应选用检验，且
针对备择假设，利用给定的检验水平，确定出第一自由度为9第二自由度为4的0.005与0.995的分位数，对应的拒绝域为
或
利用来自两个总体的样本计算出的样本方差，与，求出检验统计量的值为
显然，样本落在拒绝域内，因此在水平上不能认为两者方差相等。
在此情况下，利用两个样本观察值可以计算出
即认为两个样本容量都比较小。
由于检验的问题是甲矿石含铁量不低于乙矿石含铁量。
故应提出假设
， 。
在假设为真时，应该选取自由度为的分布的检验统计量
对于给定的显著水平，利用自由度为的分布，确定出的分位数为。
再根据样本值计算出
成立，拒绝，在显著水平下，不能认为甲矿石含铁量大于乙矿石含铁量。
13、一辆货车从甲地到乙地有两种行车路线，行车时间分别服从，。
现让一名驾驶员在每条路上跑50次，记录其行车时间。
在路线甲上，平均行车时间（分），样本标准为（分）。
在路线乙上，平均行车时间（分），（分）。
在水平下检验两者方差是否一致？
解 设第一条行车路线的行车时间为，则服从，第二条行车路线的行车时间为，则服从，且两总体方差与未知。
要检验的问题之一是两者的方差是否一致？
是双边检验，应提出假设
，
在假成立下，应选用检验，且
针对备择假设，利用给定的检验水平，确定出第一自由度为49第二自由度为49的0.025与0.975的分位数，对应的拒绝域为
或
利用来自两个总体的样本计算出的样本方差，与，求出检验统计量的值为
显然，样本落在拒绝域内，因此在水平上不能认为两者方差相等。
14、某大公司的人事资源部想了解公司职工的病假是否均匀分布在周一到周五，以便合理安排工作。
如今抽取100名病假职工，其病假日分布如下：
工作日
周一
周二
周三
周四
周五
病假职工人数
17
27
10
28
18
问该公司职工病假是否均匀分布在一周五个工作日内？
（取检验水平）
解 令表示“病假在周”，
则要检验假设若均匀分布在一周五个工作日内，则应有
因此，要检验的假设
由样本值算得
查分布表得
因为
由（8.22）拒绝，不能认为职工病假均匀分布在一周五个工作日内。
15、一颗骰子掷了100次，结果如下：
点数
1
2
3
4
5
6
出现次数
13
14
20
17
15
21
试在水平下检验这颗骰子是否均匀。
解 如果认为这颗骰子是否均匀，可提出假设
在假设为真的条件下，选用统计量进行拟合优度检验，在水平上拒绝域为
下面列表用于计算统计量的值
点数
1 13 16.67 0.8080
2 14 16.67 0.4276
3 20 16.67 0.6652
4 17 16.67 0.0065
5 15 16.67 0.1673
6 21 16.67 1.1247
和 100 3.1993
现求得，样本未落入拒绝域，所以在水平上认为这颗骰子是均匀的。
16 为研究混凝土抗压强度的分布，抽取了200件混凝土构件测定其抗压强度，经整理得频数分布表如下
抗压强度区间
频 数
10
26
56
64
30
14
合计
200
在检验水平下，检验抗压强度是否服从正态分布。
解 设混凝土抗压强度为，分布函数为。
则问题是判断是否正确？
故提出假设：
。
由于参数未知,其极大似然估计，故在假设为真时，可以选取检验统计量
对于检验水平，利用自由度的分布，确定出的分位数。
利用样本值计算出
样本落入接受域，不能拒绝,在检验水平下，认为成立。
17、某地调查了3000名失业人员，按性别和文化程度两特性分类如下
（文化程度）
合计
大专以上
中专技校
高中
初中以下
（性别）
（男）
40
138
620
1043
1841
（女）
20
72
442
625
1159
合计
60
210
1062
1668
3000
试在检验水平下，检验失业人员的性别和文化程度是否有关。
解 因为表示“失业人员的性别”，分为两类，表示“失业人员的文化程度”，分为4类。
由于判断的问题是失业人员的性别和文化程度是否有关。
即为检验性别与文化程度是否独立。
为此提出假设
，
，中存在
在假设为真时，选取统计量
对于给定的检验水平，利用自由度的分布，可以确定出的分位数。
再根据样本值计算出
成立，样本落入接受域，不能拒绝，在的检验水平下，可以认为性别与文化程度无关。
18、某单位调查了520名中年以上的脑力劳动者，其中136人有高血压史，其他384人无高血压史。
在有高血压史的136人中有48人有冠心病，在无高血压史的384人中有36人有冠心病，试问在水平下，高血压与冠心病有无联系？
解 作列联表的独立性检验，在水平下的拒绝域为，类似于上题，计算出检验统计量的值为，显然，样本落入拒绝域，所以在水平上认为，高血压与冠心病之间有关系。
19、设按有无特性与将个样品分成四类，组成22列联表：
合 计
合 计
其中，证明此时列联表独立性检验的统计量可以表示成，
证 由22列联表知，行和，，列和，与总和代入检验统价量
得到
成立。
20、为检验一批煤灰砖中各砖块的抗压强度是否服从正态分布，从这批砖中随机抽取出20块，得抗压强度如下（已按从小到大排列）：
57 62 66 67 74 76 77 80 81 86
87 89 91 94 95 96 97 103 109 122
试用正态性检验统计量作检验。
（取）
解 因为样本容量，故选用检验。
在水平时，确定检验的拒绝域为。
利用列表计算统计量的值
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
57 122
62 109
66 103
67 97
74 96
76 95
77 94
80 91
81 89
86 87
65
47
37
30
22
19
17
11
8
1
0.4734
0.3211
0.2565
0.2085
0.1686
0.1334
0.1013
0.0711
0.0422
0.0140
则得
所以，
显然，样本未落入拒绝域中，所以在水平上可以认为，该批煤灰砖块的抗压强度服从正态分布。
21、下面给出了84个Etruscan人男子头颅的最大宽度（mm）：
141 148 132 138 154 142 150 145 155 158
150 140 147 148 144 150 149 145 149 158
143 141 144 144 126 140 144 142 141 140
145 135 147 146 141 136 140 146 142 137
148 154 137 139 143 140 131 143 141 149
148 135 148 152 143 144 141 143 147 146
150 132 142 142 143 153 149 146 149 138
142 149 142 137 134 144 146 147 140 142
140 137 152 145
试用正态性检验统计量检验其是否服从正态分布。
（取）
解 因为样本容量，故选用统计量作检验。
在水平时，确定检验的拒绝域为或。
由于，，，从而求得
则
显然，样本未落入拒绝域中，所以在水平上可以认为，Etruscan人男子头颅的最大宽度服从正态分布。
22、某厂产品的优质品率一直保持在，近期技术监督部来厂抽查，共抽查12件产品，其中优质品为5件，在水平上能否认为其优质品率仍保持在40%？
解 设表示检查一个产品时出现的优质品的个数，则。
由于要判断优质品率仍保持在40%，属于双边检验，故提出假设
，
在假设为真时，选取检验统计量
其拒绝域为
，
临界值满足
成立的最大数。
临界值满足
成立的最小数。
由于
所以，临界值。
又由于
所以，临界值。
由样本值可以计算出，则有
成立，故不能拒绝。
在水平下，可认为其优质品率没有明显变化，即优质品率仍保持在40%。
23、一名研究者声称他所在地区至少有80%的观众对电视剧中间插播广告表示厌烦，现随机询问了120位观众，有70人赞成他的观点，在水平上该样本是否支持这位研究者的观点？
解 用表示该地区看中电视剧的观众对电视剧中间插播广告表示厌烦的比率，要检验的问题是此是否至少有80%的观众表示厌烦？
属于单边检验，故提出假设
，
如果用表示询问120名观众中，表示厌烦的人数，则由给出的备择假设，确定出相应的拒绝域为
在原假设为真时，为使犯第一类错误的概率不超过，临界值应是满足下式成立的最大整数
由于样本容量为大样本，故临界值的值可以用正态分布近似确定，即临界值应是满足下式成立的最大整数
所以，在显著性水平上的拒绝域为，由抽查的样本值知，统计量，即样本落在拒绝域内，因此在水平上不能支持该研究者的观点。
24、从随机抽出的467名男性中发现有8人色盲，而433名女性中发现1人色盲，在水平下能否认为女性色盲比例比男性低？
解 设男性色盲例比为，女性色盲比例为。
要检验的问题是能否认为女性色盲比例比男性低？
属于单边检验。
故可以提出假设
，
针对备择假设，利用大样本的正态近似性得在水平上的拒绝域为
由样本值可知
，
，
则
显然，样本未落在拒绝域内，因此在水平上，可以认为女性色盲比例比男性色盲比例低。
25、某高校随机抽取了102名男同学与135名女同学调查家中有无计算机,调查结果，23名男同学与25名女同学家中有计算机。
在检验水平0.05下，能否认为男、女学生家中拥有的计算机的比率一致。
解 设表示“被调查的一名男同学家中有计算机”，则，表示“被调查的一名女同学家中有计算机”，则，且独立。
由于判断男、女学生家中拥有的计算机的比率一致否？
属于双边检验。
故提出假设
，
由样本容量，知，样本都是大样本，故用样本值可以计算出
，，
在检验水平0.05下，利用标准正态分布可以确定0.975的分位数，在计算出检验统计量的值
由于，所以不能拒绝，在检验水平0.05下，认为男、女学生家中拥有的计算机的比率无显著性差别。
26、用铸造与锻造两种不同方法制造某种零件，从各自制造的零件中分别随机抽取100个，其中铸造的有10个废品，锻造的有3个废品，在水平下，能否认为废品率与制造方法有关？
解 设用铸造方法制造出的零件中出现废品的比例为，在用锻造方法制造出的零件中出现废品的比例为。
要检验的问题是能否认为废品率与两种制造方法有关？
属于双边检验。
故可以提出假设
，
针对给定的备择假设，利用大样本的正态近似性，可得在水平上的拒绝域为
由样本值可知
，
，
则
显然，样本落在拒绝域内，因此在水平上，认为废品率与制造方法有关。
27、设样本取自指数分布总体，其密度函数为
其中为未知参数，对假设检验问题
，
（1）求检验水平为的检验。
（2）求,时的检验。
解 用奈曼——皮尔逊基本引理，求简单假设问题
，
的的检验函数，应先求似然比
且等价于
即
所以检验函数为
其中由下式确定
由于假设为真时，有
所以
即
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