最新人教A版必修5高中数学 251等比数列前n项和公式的推导与应用教学设计精品.docx

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最新人教A版必修5高中数学251等比数列前n项和公式的推导与应用教学设计精品

2.5　等比数列的前n项和

2.5.1　等比数列前n项和公式的推导与应用

从容说课

师生将共同分析探究等比数列的前n项和公式.公式的推导以教材中的“错位相减法”为最基本的方法，“错位相减法”也是一种算法，其设计的思路是“消除差别”，从而达到化简的目的.

等比数列前n项和公式的推导还有许多方法，可启发、引导学生进行探索.例如，根据等比数列的定义可得

再由分式性质，得

整理得

.

教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应

给予学生充分的探索空间.

教学重点1.等比数列前n项和公式的推导;

2.等比数列前n项和公式的应用.

教学难点等比数列前n项和公式的推导.

教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等

三维目标

一、知识与技能

1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；

2.探索并掌握等比数列前n项和公式；

3.用方程的思想认识等比数列前n项和公式，利用公式知三求一；

4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想.

二、过程与方法

1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学；

2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动.

三、情感态度与价值观

1.通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；

2.在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；

3.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣.

教学过程

导入新课

师国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？

生知道一些，踊跃发言.

师“请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放

的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求.

师假定千粒麦子的质量为40g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？

生各持己见.动笔，列式，计算.

生能列出式子：

麦粒的总数为

1+2+22+…+263=?

师这是一个什么样的问题？

你们计算出结果了吗？

让我们一起来分析一下.

课件展示：

1+2+22+…+263=?

师我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前64项的和.

现在我们来思考一下这个式子的计算方法：

记S=1+2+22+23+…+263，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.

课件展示：

S=1+2+22+23+…+26

3,①

2S=2+22+23+…+263+264,②

②-①得

2S-S=264-1.

264-1这个数很大，超过了1.84×1019，假定千粒麦子的质量为40g，那么麦粒的总质量超过了7000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.

师国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知识.

推进新课

［合作探究］

师在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：

1+q+q2+…+qn=？

师这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察.

生观察、独立思考、合作交流、自主探究.

师若将上式左边的每一项乘以公比q，就出现了什么样的结果呢？

生q+q2+…+qn+qn+1.

生每一项就成了它后面相邻的一项.

师对上面的问题的解决有什么帮助吗？

师生共同探索：

如果记Sn=1+q+q2+…+qn,

那么qSn=q+q2+…+qn+qn+1.

要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有（1-q）Sn=1-qn.

师提问学生如何处理，适时提醒学生注意q的取值.

生如果q≠1，则有

.

师当然，我们还要考虑一下如果q＝1问题是什么样的结果.

生如果q＝1，那么Sn=n.

师上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？

课件展示：

a1+a2+a3+…+an=？

［教师精讲］

师在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.

师在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”.

如果记Sn=a1+a2+a3+…+an,

那么qSn=a1q+a2q+a3q+…+anq,

要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有（1-q）Sn=a1-anq.

师再次

提醒学生注意q的取值.

如果q≠1，则有

.

师上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：

如果记Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,

那么qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn,

要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有（1-q）Sn=a1-a1qn.

如果q≠1，则有

.

师上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”.

形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：

a1,q,an,Sn,n中a1,q,an,Sn四个；后者出现的是a1,q,Sn,n四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n项的和提供了选择的余地.

值得重视的是：

上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比q≠1时，我们才能用上述公式.

师现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果q＝1问题是

什么样的结果呢？

生独立思考、合作交流.

生如果q＝1，Sn=na1.

师完全正确.

如果q＝1，那么Sn=nan.正确吗？

怎么解释？

生正确.q＝1时，等比数列的各项相等，它的前n项的和等于它的任一项的n倍.

师对了，这就是认清了问题的本质.

师等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下：

［合作探究］

思路一：

根据等比数列的定义，我们有：

再由合比定理，则得

即

从而就有（1-q）Sn=a1-anq.

（以下从略）

思路二：

由Sn=a1+a2+a3+…+an得

Sn=a1+a1q+a2q+…+an-1q=a1+q（a1+a2+…+an-1）=a1+q（Sn-an）,

从而得（1-q）Sn=a1-anq.

（以下从

略）

师探究中我们们应该发现，Sn-Sn-1=an是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视.在这个关系式中，n的取值应该满足什么条件？

生n＞1.

师对的，请同学们今后多多关注这个关系式：

Sn-Sn-1=an，n＞1.

师综合上面的探究过程，我们得出：

或者

［例题剖析］

【例题1】求下列等比数列的前8项的和：

（1）

…；

（2）a1=27,a9=

q＜0.

［合作探究］

师生共同分析：

由

（1）所给条件，可得

，

求n＝8时的和，直接用公式即可.

由

（2）所给条件，需要从

中获取求和的条件，才能进一步求n＝8时的和.而a9=a1q8，所以由条件可得q8=

=

，再由q＜0，可得

，将所得的值代入公式就可以了.

生写出解答：

（1）因为

，所以当n＝8时，

.

（2）由a1=27,

，可得

，

又由q＜0，可得

于是当n＝8时，

.

【例题2】某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台（结果保留到个位）？

师根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知Sn=30000求n的问题.

生理解题意，从中发现等比关系，并找出等比数列中的基本量，列式，计算.

解：

根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列{an}，其中a1=5000,q=1+10%=1.1,Sn=30000.

于是得到

整理得1.1n=1.6,

两边取对数，得nlg1.1=lg1.6,

用计算器算得

≈

≈5（年）.

答：

大约5年可以使总销售量达到30000台.

练习：

教材第66页，练习第1、2、3题.

课堂小结

本节学习了如下内容：

1.等比数列前n项和公式的推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法”.

2.等比数列前n项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量，一般需要知道其中的3个，才能求出另外一个量.另外应该注意的是，由于公式有两个形式，在应用中应该根据题意所给的条件，适当选择运用哪一个公式.

在使用等比数列求和公式时，注意q的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思考.布置作业

课本第69页习题2.5A组第1、2、3题.

板书设计

等比数列前n项和公式的推导与应用

等比数列的前n项和公式

情境问题的推导一般情形的推导例1

练习：

（

学生板演）例2

练习：

（学生板演）

习题详解

（课本第66页练习）

1.

（1）

.

（2）

.

2.设这个等比数列的公比为q，

S10=（a1+a2+…+a5）+（a6+a7+…+a10）=S5+q5S5=S5（1+q5）=50，①

同理，S15=S10+q10S5.②

因为S5=10，所以由①得q5=

-1=4

q10=16,

代入②，得S15=S10+q10S5=50+16×10=210.

另解：

因为等比数列中，S5,S10-S5,S15-S10也成等比数列,

已知S5=10，S10-S5=50-10=40，

所以S15-S10=

S15=160+50=210.

3.该市近10年内每年的国内生产总值构成一个等比数列，首项a1=2000，公比q=1.1,

设近10年内每年的国内生产总值是S10，则

S10=

≈3.187×104（亿元）.

备课资料

数学神童维纳的年龄

20世纪著名数学家诺伯特·维纳，从小就智力超常，三岁时就能读写，十四岁时就大学毕业了.几年后，他又通过了博士论文答辩，成为美国哈佛大学的科学博士.

在博士学位的授予仪式上，执行主席看到一脸稚气的维纳，颇为惊讶，于是就当面询问他的年龄.维纳不愧为数学神童，他的回答十分巧妙：

“我今年岁数的立方是个四位数，岁数的四次方是个六位数，这两个数，刚好把十个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了，不重不漏.这意味着全体数字都向我俯首称臣，预祝我将来在数学领域里一定能干出一番惊天动地的大事业.”

维纳此言一出，四座皆惊，大家都被他的这道妙题深深地吸引住了.整个会场上的人，都在议论他的年龄问题.

其实这个问题不难解答，但是需要一点数字“灵感”.不难发现，21的立方是四位数，而22的立方已经是五位数了，所以维纳的年龄最多是21岁；同样道理，18的四次方是六位数，而17的四次方则是五位数了，所以维纳的年龄至少是18岁.这样，维纳的年龄只可能是18、19、20、21这四个数中的一个.

剩下的工作就是“一一筛选”了.20的立方是8000，有3个重复数字0，不合题意.同理，19的四次方

等于130321，21的四次方等于194481，都不合题意.最后只剩下一个18，是不是正确答案呢？

验算一下，18的立方等于

5832，四次方等于104976，恰好“不重不漏”地用完了十个阿拉伯数字，多么完美的组合！

这个年仅18岁的少年博士，后来果然成就了一番大事业：

他成为信息论的前驱和控制论的奠基人.

数学王子——高斯

高斯（1777～1855），高斯是德国数学家，也是科学家，他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家.高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称.

他幼年时就表现出超人的数学天才.1795年进入格丁根大学学习.第二年他就发现正十七边形的尺规作图法.并给出可用尺规作出的正多边形的条件，解决了欧几里得以来悬而未决的问题.

高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究，发明了最小二乘法原理.高斯的数论研究，总结在《算术研究》（1801）中，这本书奠定了近代数论的基础，它不仅是数论方面的划时代之作，也是数学史上不可多得的经典著作之一.高斯对代数学的重要贡献是证明了代数基本定理，他的存在性证明开创了数学研究的新途径.高斯在1816年左右就得到非欧几何的原理.他还深入研究复变函数，建立了一些基本概念,发现了著名的柯西积分定理.他还发现椭圆函数的双周期性，但这些工作在他生前都没发表出来.1828年高斯出版了《关

于曲面的一般研究》，全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学，并提出内蕴曲面理论.高斯的曲面理论后来由黎曼发展.高斯一生共发表155篇论文，他对待学问十分严谨，只是把他自己认为是十分成熟的作品发表出来.其著作还有《地磁概念》和《论与距离平方成反比的引力和斥力的普遍定律》等.

高斯最出名的故事就是他十岁时，小学老

师出了一道算术难题：

“计算1＋2＋3+…＋100＝？

”.这可难为初学算术的学生，但是高斯却在几秒后将答案解了出来，他利用算术级数（等差级数）的对称性，然后就像求得一般算术级数和的过程一样，把数目一对对的凑在一起：

1＋100，2＋99，3＋98，…，49＋52，50＋51,而这样的组合有50组，所以答案很快的就可以求出是：

101×50＝5050.

1801年高斯有机会戏剧性地施展他的优势的计算技巧.那年的元旦，有一个后来被证为小行星并被命名为谷神星的天体被发现，当时它好像在向太阳靠近，天文学家虽然有40天的时间可以观察它，但还不能计算出它的轨道.高斯只作了3次观测就提出了一种计算轨道参数的方法，而且达到的精确度使得天文学家在1801年末和1802年初能够毫无困难地再确定谷神星的位置.高斯在这一计算方法中用到了他大约在1794年创造的最

小二乘法（一种可从特定计算得到最小的方差和中求出最佳估值的方法），在天文学中这一成就立即得到公认.他在《天体运动理论》中叙述的方法今天仍在使用，只要稍作修改就能适应现代计算机的要求.高斯在小行星“智神星”的测算方面也获得类似的成功.

由于高斯在数学、天文学、大地测量学和物理学中的杰出研究成果，他被选为许多科学院和学术团体的成员.“数

学之王”的称号是对他一生恰如其分的赞颂.