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统计概率几何概型大的题目

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2018年10月17日刘明建的高中数学组卷

试卷副标题

考试范围：

xxx；考试时间：

100分钟；命题人：

xxx

题号

一

二

总分

得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上

第Ⅰ卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

评卷人

得分

一．选择题（共3小题）

1．甲、乙两名同学打算在下午自习16：

00﹣17：

00期间去向杨老师问问题，预计解答完一个学生的问题需要15分钟．若甲乙两人在16：

00﹣17：

00内的任意时刻去问问题是相互独立的，则两人独自去时不需要等待的概率是（　　）

A．

B．

C．

D．

2．两位同学约定上午11：

30﹣12：

00在图书馆见面，且他们在11：

30﹣12：

00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学等待10分钟后还未见面便离开，则两位同学能够见面的概率是（　　）

A．

B．

C．

D．

3．在区间[0，2]上任取两个数，则这两个数之和大于3的概率是（　　）

A．

B．

C．

D．

第Ⅱ卷（非选择题）

请点击修改第Ⅱ卷的文字说明

评卷人

得分

二．解答题（共12小题）

4．在某次环保知识竞赛中，参赛学生的成绩（单位：

分）均在区间[40.100]内，将其按照[40.50]，[50.60]，[60.70]，[70.80]，[80.90]，[90.100]进行分组，制成如图所示的频率分布直方图：

（1）求图中a的值，并估计这次环保知识竞赛成绩的中位数、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）若参加这次竞赛的学生人数是40人，从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，求他们的分数在同一组的概率．

5．某城市100户居民的月平均用电量（单位：

度）以[160，180）、[180，200）、[200，220）、[220，240）、[240，260）、[260，280）、[280，300）分组的频率分布直方图如图所示：

（1）求直方图中x的值；

（2）用分层抽样的方法从[260，280）和[280，300）这两组用户中确定6人做随访，再从这6人中随机抽取2人做问卷调查，则这2人来自不同组的概率是多少？

（3）求月平均用电量的众数和中位数．

6．为了解学生对“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴中国梦的“关注度”（单位：

天），某中学团委组织学生在十字路口采用随机抽样的方法抽取了80名青年学生（其中男女人数各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组青年学生的月“关注度”分为6组：

[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25），[25，30]，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求a的值；

（2）女生“关注度”的中位数、众数和平均数；

（3）在抽取的80名青年学生中，从月“关注度”不少于25天的人中随机抽取2人，求至少抽取到1名女生的概率．

7．甲乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，他们在一天二十四小时内到达该码头的时刻是等可能的，如果甲船停泊时间为8小时，乙船停泊时间为4小时，设甲船到达的时刻为x，乙船到达的时刻为y．

（1）若已知甲船先到码头（即x＜y），问x，y满足什么条件时乙船无需等待即可停泊？

（2）求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率？

8．某港口船舶停靠的方案是先到先停．

（1）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表猜拳：

从1，2，3，4，5中各随机选一个数（有放回），若两数之和为偶数，则甲先停靠；若两数之和为奇数，则乙先停靠，这种规则是否公平？

请说明理由．

（2）根据以往经验，甲、乙两艘船都需要在港口停靠8小时，假设它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是？

9．在区间（0，1）上随机取两个数m，n，求关于x的一元二次方程x2﹣

x+m=0有实根的概率．

10．已知甲、乙二人是好朋友，他们约定某天9：

00﹣10：

00在上海公园门口见面，若其中一人在约定时间内等待20分钟后，不见另一人出现，则这人便会离开．如果两人都履行了诺言，则这对好朋友见面的概率是多少？

11．甲、乙两人约定晚上6点到7点之间在某地见面，并约定先到者要等候另一人一刻钟，过时即可离开，求甲、乙能见面的概率．

12．小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：

30至7：

30之间把报纸送到小明家，小明离开家去上学的时间在早上7：

00至8：

30之间，问小明在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？

13．设f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）．

（1）若b和c分别是先后投掷一枚骰子得到的点数，求方程f（x）=0有实根的概率；

（2）若b∈[1，4]，c∈[2，4]，求f（﹣2）＞0成立时的概率．

14．已知函数f（x）=x2﹣2ax+2b

（1）若a，b都是从0，1，2，3四个数中任意取的一个数，求函数f（x）有零点的概率；

（2）若a，b都是从区间[0，3]中任取的一个数，求f

（1）＜0成立时的概率．

15．某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间（单位：

小时），如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，依此类推，统计结果如表：

停靠时间

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

轮船数量

12

12

17

20

15

13

8

3

（Ⅰ）设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a小时，求a的值；

（Ⅱ）假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率．

2018年10月17日刘明建的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共3小题）

1．甲、乙两名同学打算在下午自习16：

00﹣17：

00期间去向杨老师问问题，预计解答完一个学生的问题需要15分钟．若甲乙两人在16：

00﹣17：

00内的任意时刻去问问题是相互独立的，则两人独自去时不需要等待的概率是（　　）

A．

B．

C．

D．

【分析】根据几何概型的概率知，试验包含的所有事件Ω={（x，y）|16＜x＜17，16＜y＜17}，求出事件对应的区域面积，再计算满足条件的事件A={（x，y）|16＜x＜17，16＜y＜17，且|x﹣y|≥

}表示的区域面积，计算面积比即可．

【解答】解：

由题意知本题是一个几何概型，

试验包含的所有事件是Ω={（x，y）|16＜x＜17，16＜y＜17}，

事件对应的集合表示的面积是S=1×1=1，

满足条件的事件是A={（x，y）|16＜x＜17，16＜y＜17，且|x﹣y|≥

}，

事件对应的集合表示的面积是S′=2×

×

=

，

根据几何概型概率公式得到两人独自去时不需要等待的概率：

P=

=

．

故选：

D．

【点评】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查函数与方程思想，是中档题．

2．两位同学约定上午11：

30﹣12：

00在图书馆见面，且他们在11：

30﹣12：

00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学等待10分钟后还未见面便离开，则两位同学能够见面的概率是（　　）

A．

B．

C．

D．

【分析】由题意知本题是几何概型问题，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω：

{（x，y）|0≤x≤30，0≤y≤30}，做出集合对应的面积是边长为30的正方形面积，写出满足条件的事件对应的集合与面积，根据面积之比计算概率．

【解答】解：

由题意，样本点由两个数（甲、乙两人各自到达的时刻）组成．

以11：

30作为计算时间的起点建立如图所示的平面直角坐标系，

设甲、乙各在第x分钟和第y分钟到达，则样本空间为：

Ω：

{（x，y）|0≤x≤30，0≤y≤30}，画出图形，

会面的充要条件是|x﹣y|≤10，即事件A={可以会面}所对应的区域是图中的阴影线部分，

∴由几何概型公式知所求概率为面积之比，

即P（A）=

，

故选：

C．

【点评】本题考查计算面积型的几何概型问题，正确理解题意是关键，是中档题．

3．在区间[0，2]上任取两个数，则这两个数之和大于3的概率是（　　）

A．

B．

C．

D．

【分析】由题意，本题属于几何概型，首先画出变量对应的区域，利用区域面积的比求概率．

【解答】解：

解：

如图，在区间[0，2]上随机取两个数为x，y，

则不等式组

，表示的平面区域为边长是2的正方形OACE区域，面积为4．

又x+y＞3，

所以这两个数之和大于3的概率是：

p=

=

=

．

故选：

A．

【点评】本题考查了几何概型的概率求法；主要明确几何概型对应变量对应的区域面积，利用面积比求概率即可．

二．解答题（共12小题）

4．在某次环保知识竞赛中，参赛学生的成绩（单位：

分）均在区间[40.100]内，将其按照[40.50]，[50.60]，[60.70]，[70.80]，[80.90]，[90.100]进行分组，制成如图所示的频率分布直方图：

（1）求图中a的值，并估计这次环保知识竞赛成绩的中位数、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）若参加这次竞赛的学生人数是40人，从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，求他们的分数在同一组的概率．

【分析】

（1）由频率分布直方图的性质列出方程，能求出a．由成绩在[40，50）与[80，90）的频率均为0.1．由频率分布直方图的性质能求出中位数和平均数．

（2）分数在[80，90）的有40×0.1=4人，记为：

a，b，c，d，分数在[90，100]的有40×0.05=2人，记为：

m，n，利用列举法能求出从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，他们的分数在同一组的概率．

【解答】解：

（1）由题，成绩在[50，60）的频率为0.15，成绩在[60，70）的频率为0.3，

成绩在[70，80）的频率为0.3，成绩在[90，100]的频率为0.05，

则由0.15+0.3+0.3+0.05+20a=1，解得a=0.010．（2分）

则成绩在[40，50）与[80，90）的频率均为0.1．

中位数x满足：

0.1+0.15+（x﹣60）×0.03=0.5，

解得x=

．（5分）

∴平均数

=45×0.1+55×0.15+65×0.3+75×0.3+85×0.1+95×0.05=68．（8分）

（2）分数在[80，90）的有40×0.1=4人，记为：

a，b，c，d，

分数在[90，100]的有40×0.05=2人，记为：

m，n，

从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人所有可能为：

ab，ac，ad，am，an，bc，bd，bm，bn，cd，cm，cn，dm，dn，mn，共15种，

其中他们的分数在同一组的可能有：

ab，ac．bd，cd，mn，共7种，

∴他们的分数在同一组的概率p=

．（12分）

【点评】本题考查实数值、中位数、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质、列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

5．某城市100户居民的月平均用电量（单位：

度）以[160，180）、[180，200）、[200，220）、[220，240）、[240，260）、[260，280）、[280，300）分组的频率分布直方图如图所示：

（1）求直方图中x的值；

（2）用分层抽样的方法从[260，280）和[280，300）这两组用户中确定6人做随访，再从这6人中随机抽取2人做问卷调查，则这2人来自不同组的概率是多少？

（3）求月平均用电量的众数和中位数．

【分析】

（1）根据频率和为1列方程求出x的值；

（2）根据这两组用户的频率比求得抽取人数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；

（3）根据频率分布直方图求出众数和中位数．

【解答】解：

（1）根据频率和为1，得

（0.002+0.0095+0.010+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，

解得x=0.0075；

（2）根据[260，280）和[280，300）这两组用户的频率比为2：

1，

从中抽取6人，[260，280]中抽取4人，记为a、b、c、d，

[280，300]中抽取2人，记为E、F，

再从这6人中随机抽取2人，基本事件为：

ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF共15种；

这2人来自不同组的基本事件为：

aE、aF、bE、bF、cE、cF、dE、dF共8种；

故所求的概率为P=

；

（3）根据频率分布直方图知，众数为

×（220+240）=230；

由（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，

∴中位数应在[220，240]内，可设为x，则

0.45+（x﹣220）×0.0125=0.5，

解得x=224，

∴中位数为224．

【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了分层抽样与古典概率的计算问题和众数与中位数的计算问题．

6．为了解学生对“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴中国梦的“关注度”（单位：

天），某中学团委组织学生在十字路口采用随机抽样的方法抽取了80名青年学生（其中男女人数各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组青年学生的月“关注度”分为6组：

[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25），[25，30]，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求a的值；

（2）女生“关注度”的中位数、众数和平均数；

（3）在抽取的80名青年学生中，从月“关注度”不少于25天的人中随机抽取2人，求至少抽取到1名女生的概率．

【分析】

（1）由频率分布直方图能求出a．

（2）女生“关注度”的频率分布直方图中，[0，15）有频率为0.5，由此得到女生“关注度”的中位数为15，由[15，20）对应的小矩形最高，能求出众数，利用频率分布直方图能求出平均数．

（3）记“在抽取的80名青年学生中，从月‘关注度’不少于25天的人中随机抽取2人，至少抽到1名女生”为事件A．在抽到的女生中，月“关注度”不少于25天的即在[25，30]内的人数为2，在抽到的男生中，月“关注度”不少于25天的即在[25，30]内的人数为4，则在抽取的80学生中，共有6人月“关注度”不少于25天．从中随机抽取2人，能求出至少抽取到1名女生的概率．

【解答】解：

（1）由频率分布直方图得：

a=

=0.05．………………（2分）

（2）∵女生“关注度”的频率分布直方图中，

[0，15）有频率为：

（0.02+0.04+0.04）×5=0.5，

∴女生“关注度”的中位数为15，

∵[15，20）对应的小矩形最高，∴众数为

=17.5，

平均数为：

0.02×5×2.5+0.04×5×7.5+0.04×5×12.5+0.06×5×17.5+0.03×5×22.5+0.01×5×27.5

=14.25………………（8分）

（3）记“在抽取的80名青年学生中，从月‘关注度’不少于25天的人中随机抽取2人，

至少抽到1名女生”为事件A．

在抽到的女生中，月“关注度”不少于25天的即在[25，30]内的人数为2，

在抽到的男生中，月“关注度”不少于25天的即在[25，30]内的人数为4，

则在抽取的80学生中，共有6人月“关注度”不少于25天．

从中随机抽取2人所有可能的结果有

=15种，

而事件A包含的结果有

种．

所以P（A）=

．……………………（12分）

【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查中位数、众数、平均数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

7．甲乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，他们在一天二十四小时内到达该码头的时刻是等可能的，如果甲船停泊时间为8小时，乙船停泊时间为4小时，设甲船到达的时刻为x，乙船到达的时刻为y．

（1）若已知甲船先到码头（即x＜y），问x，y满足什么条件时乙船无需等待即可停泊？

（2）求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率？

【分析】

（1）依题意即可写出x，y满足的不等式；

（2）根据几何概型的概率计算公式，列出不等式组，画出不等式组表示的平面区域，计算所求的对应面积比即可．

【解答】解：

（1）依题意得，当x，y满足x+8＜y时，乙船无需等待；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）

（2）记事件A：

它们中的任意一艘都不需要等待码头空出，

总的区域为

；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）

事件A包含的区域为

即阴影部分；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）

画出图形，如图所示；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）

由图可知，总的区域面积为SΩ=242=576，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）

事件A包含的区域面积为SA=

+

=328；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）

所以所求的概率为P（A）=

=

=

．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）

【点评】本题考查了用不等式组表示平面区域问题，也考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．

8．某港口船舶停靠的方案是先到先停．

（1）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表猜拳：

从1，2，3，4，5中各随机选一个数（有放回），若两数之和为偶数，则甲先停靠；若两数之和为奇数，则乙先停靠，这种规则是否公平？

请说明理由．

（2）根据以往经验，甲、乙两艘船都需要在港口停靠8小时，假设它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是？

【分析】

（1）求出基本事件总数，得到两数和为偶数的事件数，由古典概型概率计算公式求解；

（2）由题意画出图形，由测度比的面积比求解．

【解答】解：

（1）设甲胜为事件A，乙胜为事件B，

双方各派一名代表从1，2，3，4，5中各随机选一个数（有放回），共有25种不同选法，

两数和为偶数是（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），

（5，1），（5，3），（5，5），（2，2），（2，4），（4，2），（4，4）共13种，

可得甲胜的概率P（A）=

，乙胜的概率P（B）=1﹣P（A）=

，

则这种游戏规则不公平；

（2）解：

设甲到达的时刻为x，乙到达的时刻为y，

则所有的基本事件构成的区域Ω={（x，y）|

}，

这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域：

A={（x，y）|

}．

这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为：

P（A）=

．

∴这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是

．

【点评】本题考查古典概型与几何概型，训练了利用枚举法求解古典概型得概率，对于

（2）的求解明确测度比为面积比是关键，是中档题．

9．在区间（0，1）上随机取两个数m，n，求关于x的一元二次方程x2﹣

x+m=0有实根的概率．

【分析】题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（m，n）对应图形的面积，及满足条件“关于x的一元二次方程x2﹣

x+m=0有实根”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．

【解答】解　在平面直角坐标系中，以x轴和y轴分别表示m，n的值，因为m，n在（0，1）内与图中正方形内的点一一对应，

即正方形内的所有点构成全部试验结果的区域．

设事件A表示方程x2﹣

x+m=0有实根，则事件A={（m，n）|

}，

所对应的区域为图中的阴影部分，且阴影部分的面积为

，

故P（A）=

=

，

即关于x的一元二次方程x2﹣

x+m=0有实根的概率为

．

【点评】本题考查了几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，属于中档题．

10．已知甲、乙二人是好朋友，他们约定某天9：

00﹣10：

00在上海公园门口见面，若其中一人在约定时间内等待20分钟后，不见另一人出现，则这人便会离开．如果两人都履行了诺言，则这对好朋友见面的概率是多少？

【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是Ω={（x，y）|9≤x≤10，9≤y≤10}，事件对应的集合表示的区域是边长为1的正方形，面积s=1，满足条件的事件是A={（x，y）|9≤x≤10，9≤y≤10，|x﹣y|≤

}，算出事件对应的集合表示区域的面积，根据几何概型概率公式得到结果．

【解答】解：

由题意知本题是一个几何概型，

试验包含的所有事件是Ω={（x，y）|9≤x≤10，9≤y≤10}，

事件对应的集合表示的区域是边长为1的正方形，面积s=1，

满足条件的事件是A={（x，y）|9≤x≤10，9≤y≤10，|x﹣y|≤

}，

如图：

事件对应的集合表示的面积是1﹣2×

×

=

，

根据几何概型概率公式得到P=

=

．

【点评】本题几何概型概率计算公式，考查数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．

11．甲、乙两人约定晚上6点到7点之间在某地见面，并约定先到者要等候另一人一刻钟，过时即可离开，求甲、乙能见面的概率．

【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}做出集合对应的面积是边长为60的正方形的面积，写出满足条件的事件A═{（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}对应的集合和面积，根据面积之比得到概率．

【解答】解：

如图所示，以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点和时间，

则两人能够会面的等价条件是|x﹣y|＜15．

在平面直角坐标系内，（x，y）的所有可能结果是边长为60的正方形，

而事件A“两人能够见面”的可能结果是阴影部分所表示的平面区域．

由几何概型的概率公式得：

=

．

所以两人能会面的概率是

．

【点评】本题的难点是把时间分别用x，y坐标来表示，从而把时间长度这样的一维问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型的几何概型问题．

12．小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：

30至7：

30之间把报纸送到小明家，小明离开家去上学的时间在早上7：

00至8：

30之间，问小明在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？

【分析】由题意，本题是几何概型；首先求出试验的全部结果所构成的区域为Ω的面积，然后求出事件A所构成的区域为A的面积，利用几何概型的公式求值．

【解答】解：

设送报人到达的时间为x，小明离开家的时间为y．

（x，y）可以看成是平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y）|6.5≤x≤7.5，7≤y≤8.5}，这是一个矩形区域，面积SΩ=1×1.5=1.5，

事件A所构成的区域为A={（x，y）|y≥x，6.5≤x≤7.5，7≤y≤8.5}，

，

这是一个几何概型，所以

，所以小明在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是

．

【点评】本题考查了几何概型的概率求法；关键是明确有两个变量的几何概型的概率要利用对应的区域面积比．

13．设f（x）