反正切和式与圆周率计算.docx
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反正切和式与圆周率计算
反正切和式与圆周率计算
吴敏金
在几百年计算圆周率π的历史进程[1]中，用无穷级数方法时常引用如下关系式：
arctan1/a=arctan1/b+arctan1/c...........
（1）
对此，应用人们熟知的“三角形的外角等于与之不相邻的二个内角和”，可得
[定理1]式
（1）等价于关系式
（2）。
1+a^2=（b-a）（c-a）............................
（2）
图1.反正切和式图
[证明]：
在图1中，由式
（1）,可知，△ba1与△1ac相似。
所以，其对应边成比例，即得式
（2）。
反之，由式
（2）也可导出出式
（1）。
证毕。
满足式（1,2）的a,b,c，0例如，有[1=2+3],[5=7+18]及[8=13+21]等等。
在式（1,2）的运算中，a,b,c可为正实数。
但应用于计算π时，为提高精确度，a,b,c仅取正整数。
此时，称之为反正切整数和式。
反正切和式有如下多种形式：
1，[b=a-c]表示
arctan1/b=arctan1/a-arctan1/c.
2,[a=n*b]表示
arctan1/a=n*arctan1/b。
2，[d+a=b+c]表示
arctan1/d+arctan1/a=arctan1/b+arctan1/c.
下面考察反正切和式的特性、算法与应用。
一，反正切和式的计算与特性。
1，已知b,c，求a。
a=（bc-1）/（b+c）.......................（1.1）
作图示意：
可作∠b1a=∠bc1,既得点a。
2，已知a,c，求b。
b=（ac+1）/（a-c）.......................（1.2）
作图示意：
可作∠a1b=∠bc1,既得点b
3，已知a,b，求c。
c=（ab+1）/（b-a）.......................（1.3）
作图示意：
可作∠d1c=∠a1b,既得点c。
。
4，对于[a=n*b]有下列迭代过程：
初值（n=1）：
a=b;
n次迭代：
a=（a*b-1）/（a+b）。
对于计算π的的反正切整数和式，为保证运算的精确性，其运算过程不采用小数形式（因小数的有限字长引发误差），而采用分数形式。
对此有
设a=a1/a2,b=b1/b2,c=c1/c2，a1,a2,b1,b2,c1,c2皆为正整数。
1，对于[a=b+c]，有
a1=b1c1-b2c2
a2=b1c2+b2c1........................（1.4）
2，对于[b=a-c]，有
b1=a1c1+a2c2
b2=c1a2-c2a1.........................（1.5）
3，对于[c=a-b]，有
c1=a1b1+a2b2
c2=c1b2-c2b1........................（1.6）
4，对于[a=n*b）有下列迭代过程：
初值：
a1=b;a2=1;
n次迭代：
a1=（a1*b-a2）/（a1+b*a2）......（1.7）
特别当n=2时，
a=（b^2-1）/1.........................（1.7-1）
或，a1=b1^2-b2^2；a2=2b1b2
特别当n=4时，
a=（b^4-6b^2+1）/（4b（b^2-1））...........（1.7-2）
或a1=b1^4-6b1^2b2^2+b2^4；a2=4b1b2（b1^2-b2^2）
此外，反正切和式运算有如下的特性：
1，由式
（2）,有如下不等式：
a2a2，对于反正切整数和式，a,b,c必为1偶2奇。
（证明留给读者）
二，反正切和式著名公式的证明。
应用反正切和式（1.1,1.2,1.3）可直接证明反正切的几个著名公式：
1，证明梅欣（J.Machin）公式:
[1=4*5-239]
2，证明欧拉（L.Euler）公式:
[1=5*7+2*（79/3）]
3，证明达斯（J.M.Z.Dase）公式:
[1=2+5+8]
4,证明付格森（D.F.fergnson）公式:
[1=3*75+20+1965]
5,证明斯图姆（J.D.F.Sturm）公式:
[1=6*8+2*57+239]
6,证明高斯（C.F.Gauss）公式:
[1=12*18+8*57-20*239]
7,证明1981年日本人计算π到2*10^6位所使用的公式：
π/4=8arctan1/10-arctan1/239-4arctan1/515,
即[1=8*10-239-4*515]
下面仅给出最后一个式子的证明。
而其他式子的证明，方法雷同，留给读者。
[证明]首先，用式（1.1）,有[257.499=515+515],[128.747=257.499+257.499]以及[83.670=239,128+747]。
其次，还用式（1.1）,有[4.95=10+10]，[1.374=4.95+4.95]及[0.97938=1.374+1.374]。
最后用式（1.1）验证[0.97638+1=83.670]，
此即[4*515+239+1=8*10]。
证毕。
注：
此处为简化式子，用小数表示！
为保证验证反正切和式的准确性，计算过程应采用分数形式。
三，反正切整数和式的分解算法与综合。
1，已知正整数a,求反正切整数和式[a=b+c]的正整数解b和c。
解法：
由反正切和式
（2）,
1+a^2=（b-a）（c-a）。
将（1+a^2）进行质因子分解，令
（1+a^2）=n*m，n<=m……………………………（3.1）
则，c=m+a,b=n+a……………………………………（3.2）
例如：
已知a=8。
（1+a^2）=65=1*65=5*13
所以，c=65+8=73,b=1+8=9；
或，c=13+8=21,b=5+8=13.
因此有：
[8=9+73]及[8=13+21]
以下是计算机编程运行的部分结果。
2,已知正整数b,求反正切整数和式[b=a-c]的正整数解a和c。
由（1.8），对于从b/2到b的每一个a，如果c=（b*a+1）/（b-a）是整数，且b以下是计算机编程运行的部分结果。
3，已知正整数c,求反正切整数和式[c=a-b]的正整数解a和b。
由（1.9），对于从sqrt（c）到c/2的每一个a，如果b=（c*a+1）/（c-a）是整数，且b以下是计算机编程运行的部分结果。
反正切整数和式的综合：
由上面三种算法的结果可生成许多反正切整数和式。
例如:
[1=2+3],结合[2=3+7]->
[1=2*3+7],结合[3=4+13]->
[1=2*4+2*13+21],结合及[4=5+21]->
[1=2*5+2*13+3*21],结合[21=8-13]（见例1）->
[]1=2*5+3*8-13]等等。
读者可自行综合，生成出多种反正切整数和式用于圆周率π计算。
四，广义梅欣（J.Machin）公式及其应用。
除了人们熟知的几个著名反正切和式已应用于计算圆周率π外，第三节引入的反正切整数和式的分解与综合也可用于计算圆周率π。
如何构造新的反正切整数和式以提高圆周率π的计算精度与速度是一个可进一步深入研究的课题。
下面给出广义的梅欣公式（Wu-Machin）公式：
[1=n*b-c]..........................（4.1）
[1=n*b+c]..........................（4.2）
其中n,b为正整数。
分析与实验表明，当给定的b时，c应尽可能增大以提高π的计算精度与速度。
随着n的增大，n*arctan（1/b）不断增加。
对[1=n*b-c]而言，应是确保n*b小于1中的最大的n；而对[1=n*b+c]而言，应是确保n*b大于1中的最小的n。
一旦n确定后，即可计算c使之满足[c=1+n*b]或[c=1-n*b]。
以下是计算机编程运行的部分结果:
由上面的结果可见广义Machin公式的c常为小数。
其中作为反正切的整数和式，较为简单的有：
[1=2+3],[1=2*2-7],
[1=2*3+7],[1=3*3-2/11],
[1=3*5+10/51]及[1=4*5-239]。
如果应用（1.7-2），迭代可得
其中最后一个的反正切整数和式近似于：
[1=4^10*1335088-3963734]
即，arctan1=4^10arctan1/1335088-arctan1/3963734。
于是，π=4^11*arctan1/1335088-4*arctan1/3963734
结合arctanx=x-x^3/3+x^5/5......，可用于圆周率π的计算。
初步试验表明此广义Wu-Machin公式用于圆周率π的计算，其精度与速度优于Machin公式。
在arctan的展开式末项限于1E-10及1E-100时的结果分别如下：
）。
此处限于C语言的运算精度，仅给出小数点后15位。
此广义Machin公式用于圆周率π计算的进一步结论有待在大型机上验证。
（注：
本文的各项算法优于[2]）。
[1]谢惠民数学史赏析高教出版社2014
[2]
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