数值计算方法试题集及答案.docx

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数值计算方法试题集及答案

《数值计算方法》复习试题

一、填空题：

1、，则A的LU分解为。

答案：

3、，则过这三点的二次插值多项式中的系数为，拉格朗日插值多项式为。

答案：

-1，

4、近似值关于真值有

（2）位有效数字；

5、设可微,求方程的牛顿迭代格式是（）；

答案

6、对,差商

（1）,（0）；

7、计算方法主要研究（截断）误差和（舍入）误差；

8、用二分法求非线性方程f（x）=0在区间（a,b）内的根时，二分n次后的误差限为（）；

10、已知f

（1）＝2，f

（2）＝3，f（4）＝，则二次Newton插值多项式中x2系数为（）；

11、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为（A的各阶顺序主子式均不为零）。

12、为了使计算的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为，为了减少舍入误差，应将表达式改写为。

13、用二分法求方程在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为，1,进行两步后根的所在区间为，。

14、求解方程组的高斯—塞德尔迭代格式为，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径=。

15、设,则，的二次牛顿插值多项式为。

16、求积公式的代数精度以（高斯型）求积公式为最高，具有（）次代数精度。

21、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（10）次。

22、已知是三次样条函数，则

=（3　），=（3　），=（　1）。

23、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则

（1），（），当时（）。

24、

25、区间上的三次样条插值函数在上具有直到_____2_____阶的连续导数。

26、改变函数（）的形式，使计算结果较精确。

27、若用二分法求方程在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分10次。

28、写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式，迭代矩阵为，此迭代法是否收敛收敛。

31、设,则9。

32、设矩阵的，则。

33、若，则差商3。

34、线性方程组的最小二乘解为。

36、设矩阵分解为，则。

二、单项选择题：

1、Jacobi迭代法解方程组的必要条件是（C）。

A．A的各阶顺序主子式不为零B．

C．D．

2、设，则为（C）．

A．2B．5C．7D．3

4、求解线性方程组Ax=b的LU分解法中，A须满足的条件是（B）。

A．对称阵B．正定矩阵

C．任意阵D．各阶顺序主子式均不为零

5、舍入误差是（A）产生的误差。

A.只取有限位数B．模型准确值与用数值方法求得的准确值

C．观察与测量D．数学模型准确值与实际值

6、是π的有（B）位有效数字的近似值。

A．6B．5C．4D．7

7、用1+x近似表示ex所产生的误差是（C）误差。

A．模型B．观测C．截断D．舍入

8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是（A）。

A．控制舍入误差B．减小方法误差

C．防止计算时溢出D．简化计算

9、用1+近似表示所产生的误差是（D）误差。

A．舍入B．观测C．模型D．截断

10、-324．7500是舍入得到的近似值，它有（C）位有效数字。

A．5B．6C．7D．8

11、设f（-1）=1,f（0）=3,f

（2）=4,则抛物插值多项式中x2的系数为（A）。

A．–0．5B．0．5C．2D．-2

12、三点的高斯型求积公式的代数精度为（C）。

A．3B．4C．5D．2

13、（D）的3位有效数字是×102。

（A）×103（B）×10－2（C）（D）×10－1

14、用简单迭代法求方程f（x）=0的实根，把方程f（x）=0表示成x=（x），则f（x）=0的根是（B）。

（A）y=（x）与x轴交点的横坐标（B）y=x与y=（x）交点的横坐标

（C）y=x与x轴的交点的横坐标（D）y=x与y=（x）的交点

15、用列主元消去法解线性方程组

，第1次消元，选择主元为（A）。

（A）－4（B）3（C）4（D）－9

16、拉格朗日插值多项式的余项是（B）,牛顿插值多项式的余项是（C）。

（A）f（x,x0,x1,x2,…,xn）（x－x1）（x－x2）…（x－xn－1）（x－xn），

（B）

（C）f（x,x0,x1,x2,…,xn）（x－x0）（x－x1）（x－x2）…（x－xn－1）（x－xn），

（D）

18、用牛顿切线法解方程f（x）=0，选初始值x0满足（A）,则它的解数列{xn}n=0,1,2,…一定收敛到方程f（x）=0的根。

19、为求方程x3―x2―1=0在区间[,]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是（A）。

（A）

（B）

（C）

（D）

21、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（　　）。

（1）,

（2）,（3）,（4）

23、有下列数表

x

0

1

2

f（x）

-2

-1

2

所确定的插值多项式的次数是（　　）。

（1）二次；

（2）三次；（3）四次；（4）五次

25、取计算，下列方法中哪种最好（　　　　）

（A）；（B）；（C）；（D）。

27、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是（　　　　）

１

２

３

-1

（A）；（B）；（C）；（D）。

29、计算的Newton迭代格式为（）

（A）；（B）；（C）；（D）。

30、用二分法求方程在区间内的实根，要求误差限为，则对分次数至少为（）

（A）10；（B）12；（C）8；（D）9。

32、设是以为节点的Lagrange插值基函数，则（）

（A）；（B）；（C）；（D）。

35、已知方程在附近有根，下列迭代格式中在不收敛的是（）

（A）；（B）；（C）；（D）。

36、由下列数据

0

1

2

3

4

1

2

4

3

-5

确定的唯一插值多项式的次数为（）

（A）4；（B）2；（C）1；（D）3。

三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打，否则打）

1、已知观察值,用最小二乘法求n次拟合多项式时，的次数n可以任意取。

（）

2、用1-近似表示cosx产生舍入误差。

（）

3、表示在节点x1的二次（拉格朗日）插值基函数。

（）

4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。

（）

5、矩阵A=具有严格对角占优。

（）

四、计算题：

1、用高斯-塞德尔方法解方程组，取，迭代四次（要求按五位有效数字计算）。

答案：

迭代格式

k

0

0

0

0

1

2

3

4

2、已知

1

3

4

5

2

6

5

4

分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求的三次插值多项式，并求的近似值（保留四位小数）。

答案：

差商表为

一阶均差

二阶均差

三阶均差

1

2

3

6

2

4

5

-1

-1

5

4

-1

0

5、已知

-2

-1

0

1

2

4

2

1

3

5

求的二次拟合曲线，并求的近似值。

答案：

解：

0

-2

4

4

-8

16

-8

16

1

-1

2

1

-1

1

-2

2

2

0

1

0

0

0

0

0

3

1

3

1

1

1

3

3

4

2

5

4

8

16

10

20

0

15

10

0

34

3

41

正规方程组为

6、已知区间[，]的函数表

如用二次插值求的近似值，如何选择节点才能使误差最小并求该近似值。

答案：

解：

应选三个节点，使误差

尽量小，即应使尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。

即取节点最好，实际计算结果

，

且

7、构造求解方程的根的迭代格式，讨论其收敛性，并将根求出来，。

答案：

解：

令.

且，故在（0,1）内有唯一实根.将方程变形为

则当时

，

故迭代格式

收敛。

取，计算结果列表如下：

n

0

1

2

3

127872

424785

877325

n

4

5

6

7

595993

517340

525950

525008

且满足.所以.

8﹑利用矩阵的LU分解法解方程组。

答案：

解：

令得，得.

9﹑对方程组

（1）试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由；

（2）取初值，利用

（1）中建立的迭代公式求解，要求。

解：

调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优

故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为

取,经7步迭代可得：

.

10、已知下列实验数据

xi

f（xi）

试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。

解：

当0

要求近似值有5位有效数字，只须误差.

由，只要

即可，解得

所以，因此至少需将[0,1]68等份。

11、用列主元素消元法求解方程组。

解：

回代得。

12、取节点,求函数在区间[0,1]上的二次插值多项式,并估计误差。

解：

又

故截断误差。

15、用牛顿（切线）法求的近似值。

取x0=,计算三次，保留五位小数。

解：

是的正根，，牛顿迭代公式为

，即

取x0=,列表如下：

1

2

3

16、已知f（-1）=2，f

（1）=3，f

（2）=-4，求拉格朗日插值多项式及f（1，5）的近似值，取五位小数。

解：

18、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组=，

取x（0）=（0,0,0）T,列表计算三次，保留三位小数。

解：

Gauss-Seidel迭代格式为：

系数矩阵严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛.

取x（0）=（0,0,0）T，列表计算如下:

1

2

3

20、（8分）用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：

19

25

30

38

解：

解方程组

其中

解得：

所以，

22、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式

（1）对应迭代格式；

（2）对应迭代格式；（3）对应迭代格式。

判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。

解：

（1），，故收敛；

（2），，故收敛；

（3），，故发散。

选择

（1）：

，，，，，

，

23、（8分）已知方程组，其中

，

（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。

（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。

解：

Jacobi迭代法：

Gauss-Seidel迭代法：

，

31、（12分）以100,121,144为插值节点，用插值法计算的近似值，并利用余项估计误差。

用Newton插值方法：

差分表：

100

121

144

10

11

12

10+（115-100）（115-100）（115-121）

=

33、（10分）用Gauss列主元消去法解方程组：

1.00000

34、（8分）求方程组的最小二乘解。

，，

若用Householder变换，则：

最小二乘解：

，T.

37、（15分）已知方程组，其中，，

（1）写出该方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；

（2）判断

（1）中两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种方法收敛更快；

解：

（1）Jacobi迭代法的分量形式

Gauss-Seidel迭代法的分量形式

（2）Jacobi迭代法的迭代矩阵为

，

，，Jacobi迭代法收敛

Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为

，

，，Gauss-Seidel迭代法发散

40、（10分）已知下列函数表：

0

1

2

3

1

3

9

27

（1）写出相应的三次Lagrange插值多项式；

（2）作均差表，写出相应的三次Newton插值多项式，并计算的近似值。

解：

（1）

（2）均差表：