九连环的历史玩法和它的数学问题.docx
《九连环的历史玩法和它的数学问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九连环的历史玩法和它的数学问题.docx（30页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
九连环的历史玩法和它的数学问题
九连环的历史、玩法和它的数学问题
九连环是中国的一种古代智力玩具，2004年A版的《普通通课程标准实验教科书》（新课标）数学5中，已编入。
这将对学生学习数学的兴趣和智力开发大有益处。
本文就九连环的历史、玩法及引出的数学问题，作一论述。
一、九连环的历史
九连环是中国人的发明，这是没有疑问的。
宋代（公元960－1279）已经流行，至今已有800多年的历史。
有关它的发明史，还有一些不同的说法。
1，春秋战国说
《战国策·齐策六》：
“秦昭王尝遣使者遗君王后玉连环，曰：
‘齐多智，而解此环否？
'君王后以示群臣，群臣不知解，君王后引锥椎破之，谢秦使曰：
‘谨以解矣！
'”有人以此认为早在春秋战国时就有了九连环玩具。
这“玉连环”是否就是现在所说的九连环，还须证据。
但那时已经有了连环一类的玩具。
2，西汉说
西汉司马相如与妻子通信，妻子回信中有：
一别之后，二地相思。
都说是三四月，谁又知五六年。
七弦琴无心弹，八行书不可传。
九连环从中折断，十里长亭望眼欲穿。
百思想，千系念。
万般无奈，把郎怨。
这里明确用了“九连环”这个词。
是连在一起的能玩的玩具一类的东西。
时间是西汉。
3，三国说
认为是诸葛亮发明，但这并无证据，估计是由于诸葛亮是智慧的代表，特别是他能造出木牛流马这样不可思议的东西。
那么不知来历的巧妙玩意儿，像孔明灯、孔明锁，都冠以诸葛的名字，也就不奇怪了。
如果是这样，那九连环的流行，应在三国之后。
总之，九连环产生在古代中国，这已为世界所公认。
又在《红楼梦》第七回中，就有大观园中小姐们玩九连环的描写，……周瑞家的奉薛姨妈之命，送一些宫制的堆纱假花给园子里的姑娘们，每人两朵。
找黛玉时，“谁知此时黛玉不在自己房中，却在宝玉房中大家解九连环玩呢”。
二、九连环的结构
1、环钗：
由一根金属丝制成（图1）
图1环钗
2、环底：
一椭圆金属盘钻有9个小孔，可穿环干。
（图2的中部）
图2环环杆环底
3、环与环杆：
环由金属丝制成，每一环带一金属环杆（图2）
将环及环杆编号如图2，每一个环由环杆穿过下一个环，再连按到环座上。
从而使九个环成叠错相连的关系。
九连环的奥秘就是由它们的这种结构引起的。
当把九个环都套在环柄上时成图3状。
图3
三、九连环的玩法
1、上环：
将1号环提起从环钗下面向上穿过（图4）转90度套在环钗上。
（图5）
123456789
图4
图5
依次上2环，下1环（将1环提起转90度从钗架中间放下），上3环，上1环，下2环，下1环，上4环……直到把9个环都套上。
若以“000000000”表示9个环都在钗架下，“111111111”表示9个环都在钗架下，则环上架的状态可表示为：
对应环号987654321
上1环：
000000001；
上2环：
000000011；
下1环；000000010；
上3环；000000110；
上1环；000000111；
下2环；000000101；
下1环；000000100；这一步是关键，只有下1环，才在下步上4环。
上4环；000001100；
上1环；000001101；
上2环；000001111；
下1环；000001110；这一步也是关键，下一步才能下3环。
下3环；000001010；
上1环；000001011；
下2环；000001001；
下1环；000001000；这一步也是关键，下一步才能上5环。
上5环；000011000；接下来上6环，必先下掉4环……直到把9个环都套到钗架上。
但上面的几处关键需加注意。
2、下环：
下1环（将1环取出提起转90度从钗架中间放下），下3环，上1环，下2环，下1环，下5环……直到把9个环都从环钗上取下。
但有几个关键处需加注意；
若以“111111111”表示9个环都在钗架上，“000000000”表示9个环都已下架，则环下架的状态可表示为：
对应环号987654321
1环下：
111111110；
3环下：
111111010；
1环上：
111111011；
2环下：
111111001；
1环下：
111111000；这是关键，只有下1环，才能解下5环。
5环下：
111101000；
这时要解下4环，把3环套上环钗成“111101100”状态时才能解下4环。
这时接着5环下的状态再操作；
1环上、111101001；
2环上，111101011；
1环下，111101010；
3环上，111101110；
1环上，111101111；
2环下，111101101；
1环下：
111101100；
4环下：
111100100；这是关键这处，再接下就是要下3环必先套上2环，要下2环必先套上1环。
再往后就是要下6环必先套上5环……，直到解下9环。
要解下8环必先套上7环，一直往前推，到最后解下1环，9个环全部解下钗架成“000000000”状态。
四、九连环的数学问题
1、从钗架上把9个环全部解下来，最少得移动多少次环？
由九连环的玩法我们看到，为了解下第i个环必须先解下前（i-2）个环，才能解下第i个环。
这就是我们要遵循的一个规则。
（1）我们不妨考虑n（n=9）个圆环的情况
设K（n）表示解下全部n个环所需的最少移动环的次数
显然K
（1）=1次,即解下第1个环需移动1次环
K
（2）表示解下前2个环所需移动环的次数，由玩法知K
（2）=2次
若要解下第n个环，就必先解下前（n-2）个环，需要K（n-2）次，然后再移动一次即可将第n个环解下，这时钗架上只剩下第（n-2）个环。
若我们再用k（n）表示前（n-1）个环都已经解下后，再解下第n个环所需的次数，则可得下式：
K（n）=K（n-2）+1+k（n-1）①
（2）我们求k（n）的表达式
由玩法可知，若要将第n个环解下，必须先将第（n-1）环套回钗架，这个过程需k（n-1）次，这时再移动1次，就可解下第n个环，然后再将第（n-1）个环解下，又需k（n-1）次，所以可得：
k（n）=k（n-1）+1+k（n-1）
即k（n）=2k（n-1）+1②
由k
（1）=1
k（n）=2k（n-1）+1
递推得到
k（n）=2k（n-1）+1
=2（2k（n-2）+1）+1
=22k（n-2）+2+1
=22（2k（n-3）+1）+2+1
=23k（n-3）+22+2+1
=……
=2n-1k
（1）+2n-2+2n-3+……+2+1
=2n-1+2n-2+2n-3+……+2+1
=2n-1 ③
（3）由①③可确定K（n）了
K（n）=K（n-2）+2n-1
由于K
（1）=1K
（2）=2，所以当n为偶数时
K（n）=K（n-2）+2n-1
=K（n-4）+2（n-2）-1+2n-1=K（n-4）+2n-3+2n-1
=K（n-6）+2n-5+2n-3+2n-1
=K（n-8）+2n-7+2n-5+2n-3+2n-1
=……
=K
（2）+23+25+……+2n-7+2n-5+2n-3+2n-1
=2+23+25+……+2n-7+2n-5+2n-3+2n-1
=2（1-2n）/（1-22）
=（2n+1-2）/3；
当n为奇数时
K（n）=K（n-2）+2n-1
=K（n-4）+2（n-2）-1+2n-1=K（n-4）+2n-3+2n-1
=K（n-6）+2n-5+2n-3+2n-1
=K（n-8）+2n-7+2n-5+2n-3+2n-1
=……
=K
（1）+22+24+……+2n-7+2n-5+2n-3+2n-1
=1+22+24+……+2n-7+2n-5+2n-3+2n-1
=2（1-2n+1）/（1-22）
=（2n+1-1）/3；
于是，K（9）=（29+1-1）/3=341
所以解九连环最少要移动圆环341次。
九连环最少要移动圆环多少次的另一种求法：
各环与其对应的移环次数如下：
环号：
123456……
次数：
125102142……
当n为偶数时有f（n）=2f（n-1）
当n为奇数时有f（n）=2f（n-1）+1
由此得：
f
（1）=1
f
（2）=2
（1）=2
f（3）=2f
（2）+1=2×2+1=1+22
f（4）=2f（3）=2（1+22）=2+23
f（5）=2f（4）+1=1+22+24
f（6）=2f（5）=2+23+25
……
当n为奇数时
f（n）=1+22+24+26+……+2n-3+2n-1
（1）
（1）×2222f（n）=22+24+26+……+2n-3+2n-1+2n+1
（2）
（2）-
（1）（22-1）f（n）=2n+1-1
f（n）=（2n+1-1）/3
f（9）=（210-1）/3
=341（次）
当n为偶数时
f（n）=2+23+25+……+2n-3+2n-1
用同样的方法可得；
f（n）=（2n+1-2）/3
2、我们若用1表示环在钗架上的状态；用0表示环在钗架下的状态，那么
九连环能有多少种状态？
这是本文中九连环的第二个数学问题。
这是从0，1中可重复的取九个元素做排列的排列问题，其排列数为29=512，即有512个状态。
下面是全部512种状态和对应的二进制数。
在512种状态中有341种状态后的171（512—341=171）种状态是在九连环的341种里没有出现的。
如比较明显的第510（100000001）、511（000000001）种就是未出现过的状态。
九连环的全部状态和对应的二进制数好下：
对应号位123456789
第0个状态:
000000000二进制数：
000000000
第1个状态:
100000000二进制数：
000000001
第2个状态:
110000000二进制数：
000000010
第3个状态:
010000000二进制数：
000000011
第4个状态:
011000000二进制数：
000000100
第5个状态:
111000000二进制数：
000000101
第6个状态:
101000000二进制数：
000000110
第7个状态:
001000000二进制数：
000000111
第8个状态:
001100000二进制数：
000001000
第9个状态:
101100000二进制数：
000001001
第10个状态:
111100000二进制数：
000001010
第11个状态:
011100000二进制数：
000001011
第12个状态:
010100000二进制数：
000001100
第13个状态:
110100000二进制数：
000001101
第14个状态:
100100000二进制数：
000001110
第15个状态:
000100000二进制数：
000001111
第16个状态:
000110000二进制数：
000010000
第17个状态:
100110000二进制数：
000010001
第18个状态:
110110000二进制数：
000010010
第19个状态:
010110000二进制数：
000010011
第20个状态:
011110000二进制数：
000010100
第21个状态:
111110000二进制数：
000010101
第22个状态:
101110000二进制数：
000010110
第23个状态:
001110000二进制数：
000010111
第24个状态:
001010000二进制数：
000011000
第25个状态:
101010000二进制数：
000011001
第26个状态:
111010000二进制数：
000011010
第27个状态:
011010000二进制数：
000011011
第28个状态:
010010000二进制数：
000011100
第29个状态:
110010000二进制数：
000011101
第30个状态:
100010000二进制数：
000011110
第31个状态:
000010000二进制数：
000011111
第32个状态:
000011000二进制数：
000100000
第33个状态:
100011000二进制数：
000100001
第34个状态:
110011000二进制数：
000100010
第35个状态:
010011000二进制数：
000100011
第36个状态:
011011000二进制数：
000100100
第37个状态:
111011000二进制数：
000100101
第38个状态:
101011000二进制数：
000100110
第39个状态:
001011000二进制数：
000100111
第40个状态:
001111000二进制数：
000101000
第41个状态:
101111000二进制数：
000101001
第42个状态:
111111000二进制数：
000101010
第43个状态:
011111000二进制数：
000101011
第44个状态:
010111000二进制数：
000101100
第45个状态:
110111000二进制数：
000101101
第46个状态:
100111000二进制数：
000101110
第47个状态:
000111000二进制数：
000101111
第48个状态:
000101000二进制数：
000110000
第49个状态:
100101000二进制数：
000110001
第50个状态:
110101000二进制数：
000110010
第51个状态:
010101000二进制数：
000110011
第52个状态:
011101000二进制数：
000110100
第53个状态:
111101000二进制数：
000110101
第54个状态:
101101000二进制数：
000110110
第55个状态:
001101000二进制数：
000110111
第56个状态:
001001000二进制数：
000111000
第57个状态:
101001000二进制数：
000111001
第58个状态:
111001000二进制数：
000111010
第59个状态:
011001000二进制数：
000111011
第60个状态:
010001000二进制数：
000111100
第61个状态:
110001000二进制数：
000111101
第62个状态:
100001000二进制数：
000111110
第63个状态:
000001000二进制数：
000111111
第64个状态:
000001100二进制数：
001000000
第65个状态:
100001100二进制数：
001000001
第66个状态:
110001100二进制数：
001000010
第67个状态:
010001100二进制数：
001000011
第68个状态:
011001100二进制数：
001000100
第69个状态:
111001100二进制数：
001000101
第70个状态:
101001100二进制数：
001000110
第71个状态:
001001100二进制数：
001000111
第72个状态:
001101100二进制数：
001001000
第73个状态:
101101100二进制数：
001001001
第74个状态:
111101100二进制数：
001001010
第75个状态:
011101100二进制数：
001001011
第76个状态:
010101100二进制数：
001001100
第77个状态:
110101100二进制数：
001001101
第78个状态:
100101100二进制数：
001001110
第79个状态:
000101100二进制数：
001001111
第80个状态:
000111100二进制数：
001010000
第81个状态:
100111100二进制数：
001010001
第82个状态:
110111100二进制数：
001010010
第83个状态:
010111100二进制数：
001010011
第84个状态:
011111100二进制数：
001010100
第85个状态:
111111100二进制数：
001010101
第86个状态:
101111100二进制数：
001010110
第87个状态:
001111100二进制数：
001010111
第88个状态:
001011100二进制数：
001011000
第89个状态:
101011100二进制数：
001011001
第90个状态:
111011100二进制数：
001011010
第91个状态:
011011100二进制数：
001011011
第92个状态:
010011100二进制数：
001011100
第93个状态:
110011100二进制数：
001011101
第94个状态:
100011100二进制数：
001011110
第95个状态:
000011100二进制数：
001011111
第96个状态:
000010100二进制数：
001100000
第97个状态:
100010100二进制数：
001100001
第98个状态:
110010100二进制数：
001100010
第99个状态:
010010100二进制数：
001100011
第100个状态:
011010100二进制数：
001100100
第101个状态:
111010100二进制数：
001100101
第102个状态:
101010100二进制数：
001100110
第103个状态:
001010100二进制数：
001100111
第104个状态:
001110100二进制数：
001101000
第105个状态:
101110100二进制数：
001101001
第106个状态:
111110100二进制数：
001101010
第107个状态:
011110100二进制数：
001101011
第108个状态:
010110100二进制数：
001101100
第109个状态:
110110100二进制数：
001101101
第110个状态:
100110100二进制数：
001101110
第111个状态:
000110100二进制数：
001101111
第112个状态:
000100100二进制数：
001110000
第113个状态:
100100100二进制数：
001110001
第114个状态:
110100100二进制数：
001110010
第115个状态:
010100100二进制数：
001110011
第116个状态:
011100100二进制数：
001110100
第117个状态:
111100100二进制数：
001110101
第118个状态:
101100100二进制数：
001110110
第119个状态:
001100100二进制数：
001110111
第120个状态:
001000100二进制数：
001111000
第121个状态:
101000100二进制数：
001111001
第122个状态:
111000100二进制数：
001111010
第123个状态:
011000100二进制数：
001111011
第124个状态:
010000100二进制数：
001111100
第125个状态:
110000100二进制数：
001111101
第126个状态:
100000100二进制数：
001111110
第127个状态:
000000100二进制数：
001111111
第128个状态:
000000110二进制数：
010000000
第129个状态:
100000110二进制数：
010000001
第130个状态:
110000110二进制数：
010000010
第131个状态:
010000110二进制数：
010000011
第132个状态:
011000110二进制数：
010000100
第133个状态:
111000110二进制数：
010000101
第134个状态:
101000110二进制数：
010000110
第135个状态:
001000110二进制数：
010000111
第136个状态:
001100110二进制数：
010001000
第137个状态:
101100110二进制数：
010001001
第138个状态:
111100110二进制数：
010001010
第139个状态:
011100110二进制数：
010001011
第140个状态:
010100110二进制数：
010001100
第141个状态:
110100110二进制数：
010001101
第142个状态:
100100110二进制数：
010001110
第143个状态:
000100110二进制数：
010001111
第144个状态:
000110110二进制数：
010010000
第145个状态:
100110110二进制数：
010010001
第146个状态:
110110110二进制数：
010010010
第147个状态:
010110110二进制数：
010010011
第148个状态:
011110110二进制数：
010010100
第149个状态:
111110110二进制数：
010010101
第150个状态:
101110110二进制数：
010010110
第151个状态:
001110110二进制数：
010010111
第152个状态:
001010110二进制数：
010011000
第153个状态:
101010110二进制数：
010011001
第154个状态:
111010110二进制数：
010011010
第155个状态:
011010
升级会员 