.因此n=10.
α=(10-2)·180°-1290°=150°.
答:
这个内角是150°,这个多边形的边数是10.
【方法归纳】 通过列不等式求整数解是解决多边形中漏加角或多加角问题的常用方法.
1.(北京中考)内角和
为540°的多边形是(C)
A)
B)
C)
D)
2.(益阳中考)将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形,那么这两个多边形的内角和之和不可能是(D)
A.360°B.540°C.720°D.900°
3.一个多边形,它的内角和比外角和的5倍多180°,求这个多边形的边数.
解:
根据题意,得
(n-2)·180=5×360+180,解得n=13.
答:
这个多边形的边数是13.
命题点2 平行四边形的性质和判定
【例2】 (深圳中考)如图,已知BD垂直平分AC,∠BCD=∠ADF,AF⊥AC.
(1)求证:
四边形ABDF是平行四边形;
(2)若AF=DF=5,AD=6,求AC的长.
【思路点拨】
(1)用垂直平分线的性质证得∠BAD=∠BCD,而∠BCD=∠ADF,则∠ADF=∠BAD,所以AB∥FD,因为BD⊥AC,AF⊥AC,所以AF∥BD,即可证得;
(2)先根据相等线段间的转换,求出AB的长,再设BE=x,根据勾股定理即可求解.
【解答】
(1)证明:
∵BD垂直平分AC,
∴AB=BC,AD=DC.
∴∠BAC=∠BCA,∠DAC=∠DCA.
∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA,
即∠BAD=∠BCD.
∵∠BCD=∠ADF,
∴∠BAD=∠ADF.
∴AB∥FD.
∵BD⊥AC,AF⊥AC,
∴AF∥BD.
∴四边形ABDF是平行四边形.
(2)∵四边形ABDF是平行四边形,
∴AB=DF,AF=BD.
∵AF=DF=5,
∴AB=BD=5.
设
BE=x,则DE=5-x,
∵AC⊥BD.
∴AB2-BE2=AD2-DE2,
即52-x2=62-(5-x)2.解得x=
.
∴AE=
=
.
∴AC=2AE=
.
【方法归纳】 要证一个四边形是平行四边形,通常按照已知条件的特征来选择判定方法,有五种方法,从中选出最佳的证明方法.
4.(巴中中考)已知:
如图,四边形ABCD是平行四边形,延长BA至点E,使AE+CD=AD.连接CE,求证:
CE平分∠BCD.
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,AD=BC.
∴∠E=∠DCE.
∵AE+CD=AD,
∴BE=BC.
∴∠E=∠BCE.
∴∠DCE=∠BCE,即CE平分∠BCD.
5.(菏泽中考)如图,点O是△ABC内一点,连接OB,OC,并将AB,OB,OC,AC的中点D,E,F,G依次连接,得到四边形DEFG.
(1)求证:
四边形DEFG是平行四边形;
(2)若M为EF的中点,OM=3,∠OBC和∠OCB互余,求DG
的长度.
解:
(1)证明:
∵D,G分别是AB,AC的中点,
∴DG∥BC,DG=
BC.
∵E,F分别是OB,OC的中点,
∴EF∥BC,EF=
BC.
∴DG=EF,DG∥EF.
∴四边形DEFG是平行四边形.
(2)∵∠OBC和∠OCB互余,
∴∠OBC+∠OCB=90°.
∴∠BOC=90°.
∵M为EF的中点,OM=3,
∴EF=2OM=6.
由
(1)有四边形DEFG是平行四边形,
∴DG=EF=6.
命题点3 中心对称与中心对称图形
【例3】 (毕节中考)如图,将四个“米”字格的正方形内涂上阴影,其中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(B)
【方法归纳】 判断一个图形是不是轴对称图形,可以对折,看是否存在一条直线(对称轴),使得这个图形沿这条直线对折后两边能完全重合;判断一个图形是不是中心对称图形,还可把试卷倒过来看(相当于旋转180°),如果看到的图形与原来的图形完全相同,就是中心对称图形,否则就不是.
6.(青岛中考)下列四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(B)
7.如图,已知菱形ABCD与菱形EFGH关于直线BD上某个点成中心对称,则点B的对称点是(D)
A.点E
B.点F
C.点G
D.点H
命题点4 三角形的中位线
【例4】 如图所示,点D,E分别在AB,AC上,BD=CE,BE,CD的中点分别是M,N,直线MN分别交AB,AC于点P,Q.求证:
AP=AQ.
【思路点拨】 取BC的中点H,连接MH,NH.根据中位线定理及角度转化得证.
【解答】 取BC的中点H,连接MH,NH.
∵M,H分别为BE,BC的中点,
∴MH∥EC,MH=
EC.
∵N,H分别为CD,BC的中点,
∴NH∥BD,NH=
BD.
∵BD=CE,∴MH=NH.
∴∠HMN=∠HNM.
∵MH∥EC,∴∠HMN=∠PQA.
同理:
∠HNM=∠QPA.
∴∠APQ=∠PQA,∴AP=AQ.
【方法归纳】 已知中点时,常取另一中点,构造三角形的中位线.
8.(泰安中考)如图,在矩形ABCD中,M,N分别是边AD,BC的中点,E,F分别是线段BM,CM的中点.若AB=8,AD=12,则四边形ENFM的周长为20.
9.(宿迁中考)如图,在△
ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,AH是边BC上的高.
(1)求证:
四边形ADEF是平行四边形;
(2)求证:
∠DHF=∠DEF.
证明:
(1)∵点D,E是AB,BC的中点,∴DE∥AC.
同理:
EF∥AB.
∴四边形ADEF是平行四边形.
(2)∵四边形ADEF是平行四边形,
∴∠DAF=∠DEF.
∵在Rt△AHB中,D是AB中点,
∴DH=
AB=AD.∴∠DAH=∠DHA.
同理:
∠FAH=∠FHA.
∴∠DAF=∠DHF.
∴∠DHF=∠DEF.
命题点5
特殊平行四边形的性质与判定
【例5】 在▱ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上,DF=BE,连接AF,BF.
(1)求证:
四边形BFDE为矩形;
(2)若AE=3,BF=4,AF平分∠DAB,求BE的长.
【思路点拨】
(1)首先根据对边平行且相等,证明四边形BFDE是平行四边形,再结合平行四边形
中有一个内角为90°,即可证明四边形BFDE为矩形;
(2)由四边形BFDE为矩形可得,DF=BE,DF∥EB.又因AF平分∠DAB,从而易证得AD=DF,即AD=BE.故要求BE的长度,只需要在Rt△ADE中运用勾股定理求出AD的长即可.
【解答】
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DF∥BE.
又∵DF=BE,
∴四边形BFDE是平行四边形.
又∵DE⊥AB,
∴∠DEB=90°.
∴平行四边形BFDE是矩形.
(2)∵四边形BFDE是矩形,
∴DF∥AB,DE=BF=4,DF=BE.
∴∠DFA=∠FAB,
又∵AF平分∠DAB,
∴∠DAF=∠FAB.
∴∠DFA=∠DAF.
∴DA=DF.
又∵DE⊥AB,
∴∠DEA=90°.
在Rt△ADE中,AD=
=
=5,
∴BE=DF=DA=5.
【方法归纳】 判定矩形
的基本思路:
(1)若已知一个直角,则可以证该四边形是平行四边形或其他角中有两个是直角;
(2)若对角线相等,则可以证该四边形是平行四边形;
(3)若已知四边形是平行四边形,则需要证明一个内角是直角或对角线相等.
应用矩形性质计算的一般思路:
根据矩形的四个角都是直角,一条对角线将矩形分成两个直角三角形,用勾股定理求线段的长是常用的方法,又根据对角线相等且互相平分,故可借助对角线得到全等三角形.矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形,在矩形性质相关的计算和证明中要注意这个结论的运用,建立线段和角度的等量关系.
10.如图,在△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,过点D作DE∥BC交AB于点E,DF∥AB交BC于点F,连接EF.
(1)求证:
四边形BFDE是菱形;
(2)若AB=8,AD=4,求BF的长.
解:
(1)证明:
∵DE∥BC,DF∥AB,
∴四边形BFDE是平行四边形.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
∵DE∥BC,
∴∠CBD=∠EDB.
∴∠ABD=∠EDB.
∴EB=ED.
∴平行四边形BFDE是菱形.
(2)∵ED∥BF,∠C=90°,
∴∠ADE=90°.
设BF=x,
∴DE=BE=x.
∴AE=8-x.
在Rt△ADE中,AE2=DE2+AD2,
∴(8-x)2=x2+42.
解得x=3.
∴BF=3.
11.如图,在正方形ABCD中,动点E在AC上,AF⊥AC,垂足为A,AF=AE.
(1)求证:
BF=DE;
(2)当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变),问四边形AFBE是什么特殊四边形?
说明理由.
解:
(1)证明:
在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°.
∵AF⊥AC,∴∠EAF=90°.
∴∠BAD=∠EAF.
∴∠BAF=∠EAD.
在△ADE和△ABF中,
∴△ADE≌△ABF(SAS).
∴
BF=DE.
(2)当点E运动到AC的中点时,四边形AFBE是正方形.理由:
∵点E运动到AC的中点,
∴∠AEB=90°,BE=DE=AE=CE.
∵△ADE≌△ABF,∴AE=AF,DE=BF.
∴AF=BF=BE=AE.
∴四边形AFBE是菱形.
又∵∠AEB=90°,
∴四边形AFBE是正方形.
整合集训
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.已知一个多边形的内角和是900°,则这个多边形是(D)
A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形
2.(安顺中考)下列四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的有(B)
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.(益阳中考)下列判断错误的是(D)
A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B.四个内角都相等的四边形是矩形
C.四条边都相等的四边形是菱形
D.两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
4.如果△ABC的两边长分别为3和5,那么连接△ABC三边中点D,E,F,所得的△DEF的周长可能是(D)
A.3B.4C.5D.6
5.如图,四边形ABCD的对角线交于点O,下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形(D)
A.OA=OC,OB=OD
B.∠BAD=∠B
CD,AB∥CD
C.AD∥BC,AD=BC
D.AB=CD,AO=CO
6.(黔东南中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若AB=2,∠ABC=60°,则BD的长为(D)
A.2B.3C.
D.2
7.(荆门中考)如图,在矩形ABCD中(AD>AB),点E是BC上一点,且DE=DA,AF⊥DE,垂足为点F,在下列结论中,不一定正确的是(B)
A
.△AFD≌△DCEB.AF=
AD
C.AB=AFD.BE=AD-DF
8.如图,P为正方形ABCD的对角线AC上任意一点,PE⊥AB于E,PF⊥BC
于F,若AC=
,则四边形PEBF的周长为(C)
A.
B.2
C.2D.1
9.(曲靖中考)如图,分别以线段AC的两个端点A,C为圆心,大于
AC的长为半径画弧,两弧相交于B,D两点,连接BD,AB,BC,CD,DA.以下结论:
①BD垂直平分AC;②AC平分∠BAD;③AC=BD;④四边形ABCD是中心对称图形.其中正确的有(C)
A.①②③B.①③④
C.①②④D.②③④
10.如图,在▱ABCD中,∠A=70°,将▱ABCD折叠,使点D,C分别落在点F,E处(点F,E都在AB所在的直线上),折痕为MN,则∠AMF等于(B)
A.70°B.40°C.30°D.20°
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.(巴中中考)若正多边形的一个外角为30°,则这个多边形为正十二边形.
12.(大连中考)如图,在▱ABCD中,AC,BD相交于点O,AB=10cm,AD=8cm,A
C⊥BC,则OB=
cm.
13.已知点E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,若AC⊥BD且AC≠BD,则四边形EFGH的形状是矩形(填“矩形”“菱形”或“正方形”).
14.(陇南中考)如图,四边形ABCD是菱形,O是两条对角线的交点,过O点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为6和8时,则阴影部分的面积为12.
15.(黄冈中考)如图,在正方形ABCD中,点F为CD上一点,BF与AC交于点E.若∠CBF=20°,则∠AED等于65度.
16.(广州中考)如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=3
,AD=3,点M,N分别为线段BC,AB上的点(含端点,但点M不与点B重合),点E,F分别为DM,MN的中点,则EF长度的最大值为3
.
三、解答题(共52分)
17.(8分)如图所示模板,按规定AB,CD的延长线相交成80°的角,因交点不在板上不便测量,工人师傅测得∠BAE=122°,∠DCF=155°,此时AB,CD的延长线相交所成的角是否符合规定?
为什么?
解:
不符合.∵五边形的内角和是540°,
∴∠G=540°-122°-155°-180°=83°.
∴不符合规定.
18.(8分)(邵阳中考)如图所示,点E,F是平行四边形ABCD对角线BD上的点,BF=DE,求证:
AE=CF.
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC.
∴∠EDA=∠FBC.
在△AED和△CFB中,
∴△AED≌△CFB(SAS).
∴AE=CF.
19.(12分)已知:
如图,在△ABC中,O是边BC的中点,E是线段AB延长线上一点,过点C作CD∥BE,交线段EO的延长线于点D,连接BD,CE.
(1)求证:
CD=BE;
(2)如果∠ABD=2∠BED,求证:
四边形BECD是菱形.
证明:
(1)∵CD∥BE,∴∠CDE=∠DEB.
∵O是边BC的中点,∴CO=BO.
在△COD和△BOE中,
∴△COD≌△BOE(AAS).∴CD=BE.
(2)∵CD∥BE,CD=BE,
∴四边形BECD是平行四边形.
∵∠ABD=2∠BED,∠ABD=∠BED+∠BDE,∴∠BED=∠BDE.
∴BD=BE.∴四边形BECD是菱形.
20.(12分)已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的一条角平分线,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E.
(1)求证:
四边形ADCE为矩形;
(2)连接DE,交AC于点F,请判断四边形ABDE的形状,并证明;
(3)线段DF与AB有怎样的关系?
请直接写出你的结论.
解:
(1)证明:
∵在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.
∴∠ADC=90°.
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线,
∴∠MAN=∠CAN.
∴∠DAE=90°.
∵CE⊥AN,
∴∠AEC=90°.
∴四边形ADCE为矩形.
(2)四边形ABDE是平行四边形.
证明:
由
(1)知,四边形ADCE为矩形,则AE=CD,AC=DE.
又∵AB=AC,BD=CD,
∴AB=DE,AE=BD,
∴四边形ABDE是平行四边形.
(3)DF∥AB,DF=
AB.
21.(12分)如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CF于点F.请你认真
阅读下面关于这个图的探究片段,完成所提出的问题.
探究1:
小强看到图1后,很快发现AE=EF.这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等,但△ABE和△ECF显然不全等(一个是直角三角形,一个是钝角三角形).考虑到点E是边BC的中点,因此可以选取AB的中点M,连接EM后尝试着去证明△AEM≌△EFC就行了.随即小强写出了如下的证明过程:
证明:
如图2,取AB的中点M,连接EM.
∵∠AEF=90°,∴∠FEC+∠AEB=90°.
又∵∠EAM+∠AEB=90°,
∴∠EAM=∠FEC.
∵点E,M分别为正方形的边BC和AB的中点,
∴AM=EC.
∵△BME是等腰直角三角形,
∴∠AME=135°.
又∵CF是正方形外角的平分线,
∴∠ECF=135°.
∴△AEM≌△EFC(ASA).∴AE=EF.
(1)探究2:
小强继续探索,如图3,若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”,其余条件不变,发现AE=EF仍然成立,请你证明这一结论;
(2)探究3:
小强进一步还想试试,如图4,若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”,其余条件不变,那么结论AE=EF是否成立呢?
若成立,请你完成证明过程给小强看;若不成立,请你说明理由.
解:
(1)证明:
在AB上截取AM=EC,连接ME.
由小强的证明知∠EAM=∠FEC.
∵AM=EC,AB=BC,∴BM=BE.
∴∠BME=45°.
∴∠AME=∠ECF=135°.
∴△AEM≌△EFC(ASA).∴AE=EF.
(2)成立.
证明:
延长BA到M,使得AM=CE,连接ME.
∴BM=BE.∴∠BME=45°.
∴∠BME=∠ECF.
又∵AD∥BE,∴∠DAE=∠BEA.
∴∠MAE=∠CEF.
∴△MAE≌△CEF(ASA).
∴AE=EF.