概率论期末考试试题北京大学数学科学学院_精品文档.doc

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《概率论》期末考试试题

1.一本书共有1,000,000个印刷符号,排版时每个符号被排错的概率为0.0001,校对时每个排版错误被改正的概率为0.9,求在校对后错误不多于15个的概率.

2.某赌庄有资产100,000元.另有一赌徒拥有无穷大的赌资,试图使该赌庄破产.他每次压注1000元,每次赢钱的概率为0.49而输钱的概率为0.51.问该赌徒能使赌庄破产的概率为多大?

3.考虑[0,∞]上的Poisson过程,参数为λ.T是与该Poisson过程独立的随机变量,服从参数为μ的指数分布.以表示[0,T]中Poisson过程的增量,求的概率分布.

4.设ξ1ξ2……ξn是独立同分布随机变量,且三阶中心矩等于零,四阶矩存在，求和的相关系数.

5.设X是连续型随机变量,密度函数fX（x）=（1/2）exp（-|x|）,-∞

a.证明特征函数φX（t）=1/（1+t2）.

b.利用上述结果和逆转公式来证明

6.设随机变量序列ξn依概率收敛于非零常数a,而且ξn≠0.证明1/ξn依概率收敛于1/a.

7.假设X与Y是连续型随机变量.记Var[Y|X=x]为给定X=x的条件下Y的方差.如果E[Y|X=x]=μ与X无关,证明EY=μ而且VarY=.

8.设{ξn}为独立随机变量序列,且ξn服从（-n,n）上的均匀分布,证明对{ξn}中心极限定理成立.

9.设X,Y和Z的数学期望均为0,方差均为1.设X与Y的相关系数为ρ1,Y与Z的相关系数为ρ2,X与Z的相关系数为ρ3.证明.

10.用概率方法证明如下Weierstrass定理:

对区间[0,1]上任何连续函数f（x）,必存在多项式序列{bn（x）},使在区间[0,1]上一致地有bn（x）→f（x）.

附:

常用正态分布函数值:

Φ（1.28）=0.9,Φ

（2）=0.977,Φ（2.33）=0.99,Φ（2.58）=0.995

Φ（1.64）=0.95,Φ（1.96）=0.975,