七年级数学华师大版上册能力培优专题训练状元笔记.docx
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七年级数学华师大版上册能力培优专题训练状元笔记
2.12科学记数法
专题一用科学记数法表示数
1.(﹣5)4×40000用科学记数法表示为( )
A.25×106B.﹣25×106C.﹣2500×105D.2.5×107
2.据科学家测算,用1吨废纸造出的再生好纸相当于0.3~0.4亩森林木材的造纸量.我市今年大约有6.7×104名初中毕业生,每个毕业生离校时大约有12公斤废纸,若他们都把废纸送到回收站生产再生好纸,则至少可使森林免遭砍伐的亩数为亩.
3.光的速度是3×105千米/秒,1年约为3.15×107秒,则1光年(光1年所走的路程)约为多少米?
(用科学记数法表示)
专题二把用科学记数法表示的数还原
4.2.040×105表示的原数为( )
A.204000B.0.000204C.204.000D.20400
5.1.18×104的倒数( )
A.是﹣3B.是
C.≤2D.<2
状元笔记
【知识要点】
1.科学记数法:
把一个数记成
的形式,其中:
是整数,这种记数法叫做科学记数法.
2.把用科学记数法表示的数还原时,要利用乘方、乘法运算.
【温馨提示(针对易错)】
对
中的a、n要正确理解,防止出现错误.
【方法技巧】
用科学记数法表示一个数,一般分两步:
(1)确定a,必须是1≤|a|<10;
(2)确定n,n比整数位数少一.
答案
1.D【解析】(﹣5)4×40000=25000000=2.5×107.故选D.
2.241.2【解析】6.7×104×12=804000公斤=804吨,804×0.3=241.2亩.则至少可使森林免遭砍伐的亩数为241.2亩.
3.解:
3×105千米/秒=3×108米/秒,
(3×108)×(3.15×107)=(3×3.15)×(108×107)=9.45×1015.
答:
1光年约为9.45×1015米.
4.A【解析】把2.040的小数点向右移动5位就可以得到.故选A.
5.D【解析】∵1.18×104=11800,∴11800的倒数是
<2.故选D.
2.13有理数的混合运算
专题一有理数的混合运算
1.2013+(﹣2013)﹣2013×(﹣2013)÷2013=()
A.﹣4026B.﹣2013C.2013D.4006
2.下列计算中,正确的是( )
A.
B.
C.
D.
3.计算机将信息转换成二进制数来处理.二进制是“逢二进一”,如二进制数
转换成十进制数是1×23+1×22+0×21+1×1=13,那么二进制数
转换成十进制数是()
A.22012+1B.22013C.22013-1D.22013+1
专题二与有理数混合运算有关的探究题
4.如果有理数
,
使得
,那么()
A.
是正数B.
是负数
C.
是正数D.
是负数
5.已知xy3z2是一个负数,则下列各式的值一定是正数的是( )
A.x4y5z6B.﹣
C.﹣x3yz5D.xy2z
6.你能确定出算式20138+82013的个位数字吗?
说说你是怎么做的.
状元笔记
【知识要点】
1.有理数的混合运算:
含有有理数的加、减、乘、除、乘方等多种运算的算式,称为有理数的混合运算.
2.有理数混合运算的顺序:
(1)先算乘方,再算乘除,最后算加减;
(2)同级运算,按照从左到右的顺序进行;(3)如果有括号,就先算小括号里的,再算中括号里的,然后算大括号里的.
【温馨提示(针对易错)】
进行有理数的混合运算,常见错误是未准确理解运算顺序、混淆运算顺序.
【方法技巧】
在有理数的混合运算中,如果含有多重括号,去括号的方法一般是由内到外,即依次去掉小、中、大括号,也可以由外到内去括号,要灵活运用.
答案
1.C【解析】2013+(﹣2013)﹣2013×(﹣2013)÷2013=0﹣2013×(﹣2013)×
=2013.
选C.
2.B【解析】A的结果是﹣1,B的结果是9,C的结果是﹣9,D的结果是81.只有B
正确.
3.C【解析】
=1×22012+1×22011+…+1×21+1×1=22012+22011+…+
21+1,设A=22012+22011+…+21+1,则2A=22013+22012+…+22+21,所以A=22013-1.选C.
4.D【解析】由题意知a=﹣1,b≠1,又b2≥0,所以一定有a-b2≤0.故选D.
5.B【解析】由xy3z2是一个负数,得到xy3z2<0,∵z2>0,∴xy3<0,即x与y异号,
当x=1,y=﹣1,z=1,x4y5z6=﹣1<0,选项A不一定成立;
由x与y异号,得到
<0,即﹣
>0,又∵z4>0,∴﹣
>0,选项B一定成立;
若x=1,y=﹣1,z=﹣1时,﹣x3yz5=﹣1<0,选项C不一定成立;
当x=1,y=﹣1,z=﹣1时,xy2z=﹣1<0,选项D不一定成立,
∴选项B中式子的值一定是正数的.
故选B.
6.解:
算式20138+82013的个位数字是9.
理由是:
20132的个位数字是9、20134的个位数字是1、20138的个位数字也是1;
81=8,82=64,83=512,84=4096,85=32768,…,可见8的正整数次幂的个位数字按8、4、2、6的顺序每4个一循环.∵2013÷4=503……1,所以82013的个位数字是8.
因此算式20138+82013的个位数字是1+8=9.
2.14近似数
2.15用计算器进行计算
专题一近似数
1.对于近似值4.8万,下列说法正确的是()
A、精确到万位B、0.1C、精确到百分位D、精确到千位
2.已知689□□□20312≈690亿(四舍五入),那么其中的三位数□□□有()种填写的
方法.
A.1000B.999C.500D.499
3.如果一个数由四舍五入得到的近似数是35,那么在下列各数中不可能是这个数的是()
A.34.49B.34.51C.34.99D.35.01
专题二用计算器进行有理数的计算
4.用计算器求(3.2﹣4.5)×32﹣
的按键顺序是.
5.用计算器计算:
(﹣3.75)2+4.83÷(﹣2.76)≈12.3.(精确到十分位).
状元笔记
【知识要点】
1.近似数:
与准确数非常接近的数,称为近似数.
2.近似数的精确度:
近似数与准确数的近似程度,称为精确度.一个近似数四舍五入到哪一位,就说它精确到哪一位.
3.取近似数的方法:
四舍五入法、进一法、去尾法.
4.用计算器进行计算:
计算器由键盘、显示器两部分组成,键盘上的每个键都标有这个键的功能.按有理数运算算式的书写顺序输入,计算器会按算式规定的运算顺序算出结果.
【温馨提示(针对易错)】
1.如果这个数的整数数位不比要求精确到的位数多,则可以直接用四舍五入表示出来;如果整数数位比要求精确到的位数多,一定要先用科学记数法表示,然后四舍五入表示.
例如15876保留两位有效数字是1.6×10
,而不能写成16000.
2.用计算器计算时,要按对按键、弄对顺序.
【方法技巧】
1.对带单位的近似数,应先将它还原成不带单位的数,再看带单位的数的最后一位数字位于还原后的数的哪个数位.
2.用计算器输入小于1的小数时,可以把前面的0省略.
答案
1.D
2.C【解析】可填500,501,…,999,共500种填法.
3.A【解析】由于34.51,34.99,35.01四舍五入的近似值都可能是35,而只有34.49不可能是真值.故选A.
4.
5.12.3【解析】原式=14.0625﹣1.75=12.3125≈12.3.
第3章整式的加减
3.1列代数式
专题一代数式、列代数式
1.如图是一个长为a,宽为b的长方形.两个阴影图形都是一对长为c的底边在长方形对边上的平行四边形.则长方形中未涂阴影部分的面积为()
A.ab-(a+b)cB.ab-(a-b)c
C.(a-c)(b-c)D.(a-c)(b+c)
2.对下列代数式作出解释,其中不正确的是()
A.a﹣b:
今年小明b岁,小明的爸爸a岁,小明比他爸爸小(a﹣b)岁
B.a﹣b:
今年小明b岁,小明的爸爸a岁,则小明出生时,他爸爸为(a﹣b)岁
C.ab:
长方形的长为acm,宽为bcm,长方形的面积为abcm2
D.ab:
三角形的一边长为acm,这边上的高为bcm,此三角形的面积为abcm2
3.如图,啤酒瓶高为h,瓶内酒面高为a,若将瓶盖好后倒置,酒面高为a′(a′+b=h),则酒瓶的容积与瓶内酒的体积之比为( )
A.1+
B.1+
C.1+
D.1+
专题二用代数式表示数图规律
4.下列是有规律排列的一列数:
1,
,
,
,
…,其中从左至右第n个数是.
5.如图是与杨辉三角有类似性质的﹣三角形数垒,a、b、c、d是相邻两行的前四个数(如图所示),那么当a=8时,c=9,d=37.
6.观察下列图形及所对应的算式,根据你发现的规律计算1+8+16+24+…+8n(n是正整数)的结果为( )
A.(2n+1)2B.1+8nC.1+8(n﹣1)D.4n2+4n
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【知识要点】
1.代数式:
由数和字母用运算符号连接所成的式子,称为代数式.
2.代数式的书写要求:
(1)式子中出现的乘号,通常写作“•”或省略不写;
(2)数字与字母相乘时,数字通常写在字母前面;
(3)除法运算写成分数形式.
3.列代数式:
把问题中有关的数量用代数式表示出来,叫列代数式.
【温馨提示(针对易错)】
1.单独的一个数或一个字母也是代数式.
2.列实际问题中的代数式,要注意单位,若结果是和或差的形式,则应先把列出的代数式用括号括起来、再加单位.
【方法技巧】
列代数式的关键是正确分析数量关系,咬文嚼字,抓住“的”字,分清运算顺序.
答案
1.C
2.D
3.C【解析】设啤酒瓶的底面积为x,酒瓶的容积为1,则ax=1﹣bx,解得x=
,
∴酒的体积为
×a=
,∴酒瓶容积与瓶内酒的体积之比为1︰
=1+
.
故选C.
4.
【解析】第1个数1=
,第2个数
=
,第3个数
=
,…,
∴第n个数可表示为
.
5.37【解析】观察发现:
第n行的第一个数和行数相等,第二个数1+1+2+…1=
+1.
所以当a=8时,则c=9,d=9×4+1=37.
6.A【解析】图
(1):
1+8=9=(2×1+1)2;图
(2):
1+8+16=25=(2×2+1)2;图(3):
1+8+16+24=49=(3×2+1)2;…;那么图(n):
1+8+16+24+…+8n=(2n+1)2.故选A.
3.2代数式的值
专题一代数式的值的意义与求值
1.a为有理数.下列说法中正确的是()
A.(a+1)2的值是正数B.a2+1的值是正数
C.-(a+1)2的值是负数D.-a2+1的值小于1
2.如果1<x<2,则代数式
的值是()
A.1B.-1C.2D.3
专题二与代数式的值有关的探究题
3.已知代数式
,当x=1时,值为1,那么该代数式当x=
时的值是()A.1B.
C.0D.2
4.已知y=ax7+bx5+cx3+dx+e,其中a,b,c,d,e为常数,当x=2时,y=23;当x=-2时,y=-35,那么e的值是()
A.6B.-6C.12D.-12
5.QQ是一种流行的中文网络即时通讯软件.注册用户通过累积“活跃天数”就可获得相应的等级,如果用户当天(0:
00~24:
00)使用QQ在2小时以上(包括2小时),其“活跃天数”累积为1天.一个新用户等级升到1级需要5天的“活跃天数”,这样可以得到1个星星,此后每升1级需要的“活跃天数”都比前一次多2天,每升1级可以得到1个星星,每4个星星可以换成一个月亮,每4个月亮可以换成1个太阳.网名是“未来”的某用户今天刚升到2个月亮1个星星的等级,那么他可以升到1个太阳最少还需经过的天数是多少天?
状元笔记
【知识要点】
1.代数式的值:
一般地,用具体数值代替代数式中的字母,按照代数式中的运算关系计算得出的结果,叫代数式的值.
2.求代数式的值的步骤:
一代入,二求值.
【温馨提示(针对易错)】
求代数式的值时,要注意书写格式;代入负数或分数时,要注意适时添加括号.
【方法技巧】
求代数式的值,有时求不出其字母的值,需要利用技巧,利用“整体”代入.
答案
1.B【解析】不论a为何值,总有(a+1)2≥0,a2+1≥1>0,-(a+1)2≤0,-a2+1≤1.
故只有B正确.
2.B
3.B【解析】代数式
当x=1和当x=
时的值互为相反数.
4.B【解析】由题设知,当x=2时,23=a·27+b·25+c·23+d·2+e;①
当x=-2时,-35=a·(-2)7+b·(-2)5+c·(-2)3+d·(-2)+e,
即-35=-a·27-b·25-c·23-d·2+e②
①+②,则得2e=-12,所以e=-6.故选B.
5.解:
1级需要5天,2级需要12天;3级需要21天;四级需要32天…
所以若级数为N,天数为M,则M=N(N+4),
所以升到1个太阳即到16级,则天数M=16(16+4)=320(天);
升到2个月亮1个星星即到第9级,所用天数为:
9(9+4)=117(天),
所以320﹣117=203(天).即至少还需要203天.
3.3整式
专题一整式
1.下列说法:
①x的系数是1,次数是0;
②式子﹣0.3a2,5x2y2,﹣5,m都是单项式;
③单项式﹣7x2y2z的系数是﹣7,次数是4;
④﹣3лa5的系数是﹣3л.
其中正确的是( )
A.①和②B.③和④C.①和③D.②和④
2.要使多项式mx3﹣2x2+3x﹣4x3+5x2﹣nx不含三次项及一次项,则m=,n=.
专题二与整式有关的探究题
3.有一组单项式:
a2,﹣
,
,﹣
,….观察它们构成规律,用你发现的规律写出第10个单项式为.
4.多项式(x+
)2﹣4,当x=时,有最小值,且最小值是.
5.已知有理数a和b满足多项式A.A=(a﹣1)x5+x|b+2|﹣2x2+bx+b是关于x的二次三项式.
当x<﹣7时,化简:
|x﹣a|+|x﹣b|.
状元笔记
【知识要点】
1.单项式:
由数与字母的乘积组成的代数式叫单项式.
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数;一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
2.多项式:
几个单项式的和叫多项式.其中每个单项式叫做这个多项式的项.多项式中不含字母的项叫做常数项.多项式里次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数.
3.整式:
单项式和多项式统称整式.
4.升幂排列与降幂排列:
把一个多项式各项的位置按照其中某一字母指数的从大到小(或从小到大)的顺序来排列,叫做这个多项式按这个字母的升幂排列(或降幂排列).
【温馨提示(针对易错)】
1.π是常数,不是字母.
2.单项式的由系数、字母、字母的指数构成的,其中系数不能用带分数表示;当系数是1或﹣1时,“1”通常省略不写.
3.单项式的次数与多项式的次数容易混淆,要搞清它们的异同.
4.升(降)幂排列时每项移动时要带上前面的符号.
【方法技巧】
将含多个字母的多项式进行升(降)幂排列时,其它的字母都看作常数;重新排列只改变多项式中各项的位置,其它都不改变.
答案
1.D【解析】①x的系数是1,次数是0;②符合单项式定义;③单项式﹣7x2y2z的系数是﹣7,次数是5;④符合单项式系数的定义.故选D.
2.4,3【解析】要使多项式mx3﹣2x2+3x﹣4x3+5x2﹣nx不含三次项及一次项,则要求这两项的系数为0,所以两个三次项的系数互为相反数、两个一次项的系数也互为相反数,所以m﹣4=0,3﹣n=0,得m=4,n=3.
3.﹣
【解析】通过数字的特点可以找到以下规律:
分母为自然数,偶数项符号为负号,字母指数比分母大1.据此推测,第十项的系数为﹣
、次数为11.所以第十个单项式为﹣
4.﹣
,﹣4【解析】∵(x+
)2≥0,∴(x+
)2﹣4≥﹣4.当x=﹣
时此多项式取得最小值,且最小值为﹣4.
5.【解析】根据有理数a和b满足多项式A.A=(a﹣1)x5+x|b+2|﹣2x2+bx+b是关于的二次三项式,求得a、b的值,然后对|x﹣a|+|x﹣b|化简即可.
解:
∵有理数a和b满足多项式A.A=(a﹣1)x5+x|b+2|﹣2x2+bx+b是关于x的二次三项式,
∴a﹣1=0,解得a=1.
当|b+2|=2时,解得b=0,此时A不是二次三项式;
当|b+2|=1时,解得b=﹣1或b=﹣3,
∴当a=1,b=﹣1,x<﹣7时,|x﹣a|+|x﹣b|=|x﹣1|+|x+1|=1﹣x﹣x﹣1=﹣2x,
当a=1,b=﹣3,x<﹣7时,|x﹣a|+|x﹣b|=|x﹣1|+|x+3|=1﹣x﹣x﹣3=﹣2x﹣2.
3.4整式的加减
专题一同类项与去(添)括号
1.若5a|x|b2与—0.2a3b|y|是同类项,则x、y的值分别是( )
A.x=±3,y=±2B.x=3,y=2
C.x=—3,y=—2D.x=3,y=—2
2.已知代数式—
xa+bya﹣1与3x2y的和是单项式,则a﹣b的相反数为( )
A.2B.0
C.﹣2D.1
3.已知a—b=—3,c+d=2,则(a﹣d)—b+c)的值为( )
A.﹣5B.1
C.5D.﹣1
专题二整式的加减运算
4.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,式子|a|+|b|+|a+b|+|c-b|化简结果为()
A.2a+3b-cB.3b-c
C.c-bD.3b+c
5.现规定一种运算:
a※b=ab+a-b,其中a、b为有理数,化简a※b+(b-a)※2,并求出当a=—
b=2时该式的值.
状元笔记
【知识要点】
1.同类项:
所含字母相同、并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.几个常数项也是同类项.
2.合并同类项:
把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.
合并同类项的法则是:
同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变.
3.去括号法则:
(1)括号前面是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项都改变正负号.
(2)括号前面是“-”号,把括号和它前面的“-”号去掉,括号里各项都改变正负号.
4.添括号法则:
(1)所添括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不改变正负号.
(2)所添括号前面是“-”号,括到括号里的各项都改变正负号.
5.整式的加减运算的一般步骤:
(1)去括号;
(2)合并同类项.
【温馨提示(针对易错)】
1.辨认同类项时要注意:
(1)同类项与系数大小没有关系;
(2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系.
2.去(添)括号要严格按照法则进行,防止出现符号错误.
【方法技巧】
1.添括号是否正确,可以用去括号检验一下.
2.在进行整式的加减求值时,除了化简后直接代入求值外,有时可以用整体代入、变形代入等特殊方法.
答案
1.A【解析】∵5a|x|b2与—0.2a3b|y|是同类项,∴|x|=3,|y|=2,解得x=±3,y=±2.故选A.
2.C【解析】∵代数式—
xa+bya﹣1与3x2y的和是单项式,
∴代数式—
xa+bya﹣1与3x2y是同类项,
∴a+b=2,a—1=1,解得:
a=2,b=0.
∴a—b=2,即a﹣b的相反数是—2.
故选C.
3.A【解析】根据题意有(a—d)—(b+c)=(a—b)—(c+d)=—3—2=—5,故选A.
4.B【解析】由已知得a<0、b>0、a+b>0、b-c<0,所以|a|+|b|+|a+b|+|b-c|=
-a+b+(a+b)+(b-c)=-a+b+a+b+b-c=3b—c.
5.解:
a※b=ab+a-b,(b-a)※2=(b-a)×2+(b-a)-2,a※b+(b-a)※2=ab+a-b+2b-2a+b-a-2=ab—2a+2b-2.当a=﹣
b=2时,原式=(—
)×2—2×(—
)+2×2-2=-1+1+4-2=2.