立体几何训练及答案docx.docx
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立体几何训练及答案docx
空间几何体的结构及其三视图和直观图
一、选择题
1.下列命题中正确的个数是（）
1由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②用一个平面去截棱锥便可得到棱台；③仅有一组对面平行的五面体是棱台；④有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥.
A.0个B.1个
C.2个D.3个
【解析】对于①，五个面围成的多面体也可以是三棱柱或三棱台，故①错;
对于②，当平面与棱锥底面不平行时，截得的几何体不是棱台，故②错；
对于③，仅有一组对面平行的五面体也可能是三棱柱，故③错；
对于④，当三角形面没有一个公共顶点时，也不是棱锥，故④错.
【答案】A
2.（2013-青岛质检）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图7-1-11
所示，则该几何体的侧视图为（
图7-1-11
@@sa
ABCD
【解析】如图所示，点Di的投影为Ci，点D的投影为C,点/的投影为
B,
故选D.
【答案】D
3.如图7-1-12所示正三棱柱ABC—AXBXCX的主视图（又称正视图）是边长为4的正方形，则此正三棱柱的侧视图（又称左视图）的面积为（）
图7-1-12
A.16B.2^3
C.4^3D.8^3
【解析】由主视图知，正三棱柱底面边长为4,侧棱长为4,则正三棱柱的侧视图是高为4,底边长为2羽的矩形，从而侧视图的面积为5«=4X2^3=8书.
【答案】D
4.（2013-武汉模拟）如图7-1-13是一正方体被过棱的中点M、N和顶点&、
D、Ci的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为（）
图7-1-13
【解析】由几何体知，边界线可视，DCi不可视，且点M在正方体后侧面上的射影是边的中点，故选B.
【答案】B
5.（2013-郑州模拟）已知正三棱锥V—ABC的主视图、俯视图如图7-1-14所示，其中以=4,AC=2y[3,则该三棱锥的左视图的面积为（）
C.3^3D.V39
【解析】由主视图和俯视图知，正三棱锥的底面边长为2羽，侧棱长为4,由俯视图知，正三棱锥的左视图是以BC为底边的等腰三角形，其高为正三棱锥的高，因为正三棱锥的高h=2y[3,故左视图的面积S左=gx2迈X2羽=6.
【答案】B
6.对于长和宽分别相等的两个矩形，给出下列三个命题：
①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如图7-1-15所示；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如图7—1—15所示;③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如图7—1—15所示.其中真命题的个数是（）
正（主）视图
俯视图
图7-1-15
A.3B.2
C.1D.0
【解析】只要把底面为等腰直角三角形的直三棱柱的一个侧面放在水平面上，就可以使得这个三棱柱的正视图和俯视图符合要求，故命题①是真命题；把一个正四棱柱的一个侧面放置在水平面上，即可使得这个四棱柱的正视图和俯视图符合要求，命题②是真命题；只要把圆柱侧面的一条母线放置在水平面即符合要求，命题③也是真命题.
【答案】A
二、填空题
7.如图7-1-16,在正方体ABCD—AiBGDi中，点P是上底面佔皿
内一动点，则三棱锥P—ABC的主视图与左视图的面积的比值为•
图7-1-16
【解析】三棱锥P—ABC的主视图与左视图为底边和高均相等的三角形，故它们的面积相等，面积比值为1.
【答案】1
8.已知AABC是边长为a的等边三角形，则其直观图△/'B'C'的面积为•
【解析】如图所示，设△/'B'C'ABC的直观图，
O'为川B'的中点.
由直观图的画法知才B
■■■S.A'B'c=^A'B'（O'C'・sin45°）丄洱X迟卫2
2I42丿16*
即边长为a的等边三角形的直观图的面积为
r■处玄、
9.（2013•长春模拟）已知一几何体的三视图如图7—1—17所不，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是（写出所有正确结论的编
号）
图7-1-17
1矩形；
2不是矩形的平行四边形；
3有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；
4每个面都是等腰三角形的四面体；
5每个面都是直角三角形的四面体.
【解析】由该几何体的三视图可知该几何体为底面边长为a,高为b的长方体，这四个顶点的几何形体若是平行四边形，则一定是矩形，故②不正确.
【答案】①③④⑤
三、解答题
10.已知：
图①是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图②是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成.
俯视图
①
图7-1-18
【解】图①几何体的三视图为：
图②所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体.
11.如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在下面画出（单位：
cm）.
AB
—
H2-H
□
正视图侧视图
图7-1-19
（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;
（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
【解】
（1）如图.
（2）所求多面体的体积
v=V*牙件-V正三核律=4X4X6-jX（*X2X2）X2=^|^（cm3）.
12.如图7—1—20是一个几何体的正视图和俯视图.
俯视图
图7-1-20
（1）试判断该几何体是什么几何体；
（2）画出其侧视图，并求该平面图形（侧视图）的面积.
【解】⑴由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥.
⑵该几何体的侧视图，如图.
其中AB=AC,40丄BC,且BC的长是俯视图正六边形对边间的距离，即
BC=\[3a,/D是正棱锥的高，AD=y[3a,所以该平面图形（侧视图）的面积为S=gx羽qX羽Q=討.
课后作业（四十一）空间几何体的表
面积与体积
一、选择题
1.（2012课标全国卷）如图7-2-11,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）
A.6B.9
C.12
D.18
【解析】
由题意知，此几何体是三棱锥，其高h=3,相应底面面积为S
1
巧X6X3=9,
11
.■■V=^Sh=^X9X3=9.
【答案】
B
2.长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6,这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的面积为（）
Cab=2
【解析】设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为q,b,c，贝be=3
令球的半径为R,则（2^）2=22+I2+32=14,
•■R"=2>S球=4兀/?
2=14兀
【答案】C
3.如图7-2-12所示，已知三棱柱ABC~A\BXCX的所有棱长均为1,且
4.
441丄底面MC,则三棱锥BX—ABCX的体积为（）
图7-2-12
【解析】在公ABC中，PC边长的高为爭，即棱锥4—BBG上的高为¥，
又SABB\C\~2?
【答案】A
5.（2013-西安八校联考）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图7-2
—13所示，其顶点都在一个球面上，则球的表面积为（）
-—1——1—H
图7-2-13
1971
DP
【解析】如图所示，F、H是正三棱柱上下底面的中心，则球心0是
的中点、,
由三视图冻口A8=2,FH=1,则AE=yf3,
4F=字,0F=*，
••OA=
19
12,
【答案】C
6.（2013-潍坊模拟）如图7-2-14为某个几何体的三视图，则该几何体的侧
面积为（）
俯视图
图7-2-14
B.
A.16+4）1
C.16+8兀
12+4兀
D.12+871
【解析】易知该几何体是一个半圆柱和一个三棱柱的组合体，其侧面积为
4兀+6+10=16+471.
【答案】A
7.（2013-广州模拟）如图7-2-15,某几何体的正视图（主视图），侧视图（左
8.
视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）
图7-2-15
.••50=^22-12=^3>贝»AO=7ab2_BO2=3,因此Va—bcde=2'AOS四边形BCDE=|x3X2X^=2V3.
【答案】C
二、填空题
9.（2012•辽宁高考）一个几何体的三视图如图7-2-16所示，则该几何体的
表面积为
图7-2-16
【解析】根据三视图可知几何体是一个长方体挖去一个圆柱，所以S=
2X（4+3+12）+2兀-2；1=3&
【答案】38
10.圆锥的全面积为1571cm2,侧面展开图的圆心角为60。
，则该圆锥的体积为cm3.
【解析】设底面圆的半径为r,母线长为a,则侧面积为^X（2jtr）a=Tira.
15
T
36X15
7
5羽，所以体积为7=*兀/力=*7iX学＞＜5羽=^¥^r（cm‘）.
【答案】笄71
11.
一个几何体的三视图如图7—2—17,该几何体的表面积为
图7-2-17
【解析】该几何体的直观图如图所示，将小长方体的上底面补到大长方体被遮住的部分，则所求的表面积为小长方体的侧面积加上大长方体的表面积,
••S=S^+S表=6X8X2+2X8X2+（2X8+2X10+8X10）X2=360.
【答案】360
三、解答题
io.若一个底面边长为平，侧棱长为谚的正六棱柱的所有顶点都在一个球
面上，求该球的体积和表面积.
【解】在底面正六边形ABCDEF中，连接BE、/D交于O,连接则BE=2OE=2DE,:
.BE=&,
1
FiEi
4b.zZ字
°
A
BC
在R2BEE、中，
BEl=^BE2+ElE2=2yl3,
■■■2R=2y[3,贝']R=\[3,
・••球的体积7球=专兀P=4寸5兀,
球的表面积S球=4兀7?
2=12兀.
11.如图7-2-18,已知某几何体的三视图如下（单位：
cm）.
图7-2-18
（1）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）;
（2）求这个几何体的表面积及体积.
【解】⑴这个几何体的直观图如图所示.
（2）这个几何体可看成是正方体AQ及直三棱柱ByCxQ—AxDyP的组合体.由R4i=PDi=&,AxDi=AD=2,可得PAXLPDX.
故所求几何体的表面积
5=5X23+2X2X^2+2x|x（^2）2
=（22+4迈Xcn?
）,
所求几何体的体积K=23+|x（^2）2X2=10（cm3）.
12.如图7-2-19,已知平行四边形/BCD中，BC=2,BDLCD,四边形4DEF为正方形,平面ADEF丄平面ABCD,G,H分别是DF,BE的中点.记CD^x,7（对表示四棱锥F—4BCD的体积.
⑴求7（x）的表达式；
⑵求住）的最大值.
【解】
（1）丫平面ADEF丄平面ABCD,交线为/£＞且E4丄AD,.'.FA丄平面ABCD.
•:
BD丄CD,BC=2,CD=x,
■■■E4=2,5D=^/4-x2（0•'•ScAbcd=CDBD=x\]4-x2,
•■-K（x）=^SaABcD-FA=|x\/4-x2（0⑵住）=|r\/4-x2=-x4+4x2
=討_（亠2尸+4.
TO_4
=3-
课后作业（四十二）空间点、直线、平面之
间的位置关系
一、选择题阿
1.（2013•台州模拟）以下四个命题中
1不共面的四点中，其中任意三点不共线；
2若点/、B、C、D共面，点宜、B、C、E共面，则点/、B、C、D、E共面；
3若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；
4依次首尾相接的四条线段必共面.
正确命题的个数是（）
A.0B.1
C.2D.3
【解析】①中显然是正确的；②中若/、B、C三点共线则/、B、C、D、
E五点不一定共面.③构造长方体或正方体，如图显然b、c异面故不正确.④中空间四边形中四条线段不共面，故只有①正确.
【答案】B
2.已知异面直线a,b分别在平面a,0内，且aC0=c,那么直线c一定（）
A.与a,b都相交
B.只能与a,b中的一条相交
C.至少与a,b中的一条相交
D.与a,b都平行
【解析】若c与a,b都不相交，则c与a,b都平行，则aIIb与a,b异面相矛盾.
【答案】C
3.如图7-3-8所示，4BCD—A[B\CiD\是长方体，0是的中点，直
线/C交平面ABXD,于点M,则下列结论正确的是（）
A.A,M,0三点共线
B.A,M,0,/不共面
C.A,M,C,0不共面
D.B,Bi，O,M共面
【解析】连接£Ci，AC,则AiCiIIAC,
■■■Ai，Ci，A,C四点共面，.-.AXCU平面ACCiAu
■:
M^AxC,...MW平面/CCMi，又平面AB^Dr，
•••M在平面ACCiAi与平面ABxDx的交线上，
同理O在平面ACCXAX与平面ABXDX的交线上.
■■■A,M,O三点共线.
【答案】A
4.如图是正方体或四面体，P,Q,R,S分别是所在棱的中点，这四个点
不共面的一个图是（）
【解析】在A图中分别连接PS,QR,
易证PSIIQR,.-P,Q,R,S共面；
在C图中分别连接PQ,RS,
易证PQIIRS,.'-P,Q,R,S共面.
如图，在B图中过P,Q,R,S可作一正六边形，故四点共面；
D图中PS与07?
为异面直线，•••四点不共面，故选D.
【答案】D
5.
（2013-青岛质检）如图7-3-9,正三棱柱ABC—AXBXCX的各棱长（包括底面边长）都是2,E,F分别是48,/Ci的中点，则EF与侧棱GC所成的角的余弦值是（）
图7-3-9
【解析】如图，取/C中点G,连FG、EG,则FGIICiC,FG=CiC;EGIIBC,EG=*C,故ZEFG即为EF与CiC所成的角，在RtA£FG中，cosZ
【答案】B
6.设B,C,D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是（）
A.若/C与共面，则/D与BC共面
B.若/C与BD是异面直线，则/D与BC是异面直线
C.若4B=4C,DB=DC,则AD=BC
D.若DB=DC,则AD丄BC
【解析】由公理1知，命题A正确.
对于B,假_设/£＞与BC共面，由A正确得/C与共面，这与题设矛盾，故假设不成立，从而结论正确.
对于C,如图，当AB=AC,DB=DC,
使二面角A—BC—D的大小变化时，
/D与BC不一定相等，故不正确.
对于D,如图，取BC的中点、E,连接/E,DE,则由题设得BC丄/E,BC丄DE.
根据线面垂直的判定定理得BC丄平面ADE,
从而ADLBC.故D正确.
【答案】C
二、填空题
7.（2013-合肥质检）如图7-3-10是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，
图7-3-10
1GH与EF平行；
2与MV为异面直线；
3GH与成60。
角；
4DE与垂直.
以上四个命题中，正确命题的序号是•
【解析】还原成正四面体知GH与EF为异面直线，与7W为异面直线，GH与成60。
角，DE丄MN.
【答案】②③④
8.（2013-杭州模拟）设a,b,c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：
1若a//b,b//c,则a〃c；
2若a丄b,b丄c,则a〃c；
3若a与b相交，b与c相交，贝Ua与c相交；
4若aU平面a,bU平面〃，则a,b—定是异面直线；
5若a,b与c成等角，贝tla〃b.
上述命题中正确的命题是（只填序号）.
【解析】由公理4知①正确；
当a丄b,b丄c时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；
当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；
aUa,bU/3,并不能说明a与b"不同在任何一个平面内"，故④不正确；当a,b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确.【答案】①
9.如图7-3-11所示，在正三棱柱ABC—AxBvCx中,D是/C的中点:
AB=y[2:
1,则异面直线曲1与所成的角为•
图7-3-11
【解析】取/Cl的中点D1，连接BQ1，因为D是/C的中点，所以BiDrIIBD,
所以ZABiD}即为异面直线/Bi与BD所成的角.连接ADi，i§LAB=a,贝》AA\=迈a,
所以AB\=\f3a,B\Di=2a,
所以ZABiDi=60°.
【答案】60°
三、解答题
10.如图7-3-12所示，在正方体ABCD—ArBiCiDi中，E,F分别为CCi，
441的中点，画出平面BEDXF与平面45CD的交线.
图7-3-12
【解】在平面AAXDXD内，延长DXF,
■■■D}F与DA不平行，
■■■D\F与D4必相交于一点，设为P,
则P€DXF,P€DA.
又TDiFU平面BEDrF,4DU平面ABCD,
:
.P€平面BED”P€平面ABCD.
又B为平面ABCD与平面BEDiF的公共点，连接PB,
:
-PB即为平面BEDiF与平面ABCD的交线.如图所示.
11.如图7-3-13所示，在正方体ABCD—AXBXC\DXE,F分别为宜必,CiC的中点，求证：
四边形EBFDi是菱形.
图7-3-13
【证明】如图所示，取的中点G,连接GCi,EG,-.-GBIICiF,且GE=CiF,•••四边形CiFBG是平行四边形，
C1
&'、、、00
F
m
G/\
C
人B
■■■FBIIC]G,且FB=C\G,
■■'DiCiIIEG,且D1Cl=EG,
•••四边形DiCiGE为平行四边形.
•••GCiIIDXE,且GCi=D}E,
.'.FBIIDXE,且FB=DiE,
•••四边形EBFDx为平行四边形.
ZFB=FD\,•••四边形EBEDi是菱形.
12.已知正方体ABCD—A}BXCXDX中,E、F分别为DXCX.CXBX的中点,AC^BD
—P,AiC\C\EF—Q.求证：
（1）D、B、F、E四点共面；
（2）若4C交平面DBFF于R点，则P、0、R三点共线.
【证明】⑴如图所示，因为肪是厶D1BG的中位线，所以EF\\BXDX.
在正方体AC\中，B\D}IIBD,所以EFIIBD.
所以EF,BD确定一个平面，即£>、B、F、E四点共面.
（2）在正方体/Ci中，设平面AXACCX确定的平面为a,久谏平面BDEF为0.因为Q€£Ci，所以Q€a.又Q€EF,所以°€0.
则。
是a与“的公共点，
同理，P点也是a与〃的公共点.所以an“=PQ.
又/iCn〃=R,所以R€41C,R€a且R€0.
则R€PQ,故P、0、R三点共线.
课后作业（四十三）直线、平面平行的判定
及其性质
一、选择题
1.
（2013-威海模拟）设a、〃是两个不同的平面，刃、"是平面a内的两条不同直线，Z1，?
2是平面〃内的两条相交直线，则a〃0的一个充分而不必要条件是（）
【解析】mIIh，且nIIZ2=>«IIp,但aIIIIh且”％
umIIh，且nIIli"是"a的一个充分不必要条件.
【答案】D
2.在空间四边形4BCD中，E、F分别是48和BC上的点，若AE：
EB=
CF:
FB=1:
2,则对角线AC和平面DEF的位置关系是（
B.相交
A.平行
C.在平面内
D.不能确定
【解析】如图，由厉=丽得ACIIEF.
又因为EFU平面DEF,/CQ平面DEF,所以&C"平面DEF.
【答案】A
3.（2013-西安模拟）设刃，"是两条不同的直线，a,B，y是三个不同的平面,给出下列四个命题：
1若m丄a,n//a,则刃丄"；
2若a//0〃y,刃丄a,则刃丄y；
3若刃〃a,n//a,则m//n-,
4若a丄y,0丄卩,贝lla///3.
其中正确命题的序号是（）
A.①和②B.②和③
C.③和④D.①和④
【解析】对于①，由线面平行的性质及线面垂直的定义可知正确；
对于②，由aIIP，0IIy知aIIy,由加丄a知刃丄y,故②正确；
对于③，刃与"可能平行，相交或异面，故③错；
对于④，a与〃可能相交，故④错.
【答案】A
4.（2013-石家庄模拟）给岀下列关于互不相同的直线/、刃、"和平面a、队y的三个命题：
1若/与加为异面直线，/Ua,mUB，贝Ua〃0；
2若a//fi,lUa,mUp,贝ljZ//m；
3若an〃=/,y「la=",I//y,贝\\m//n.
其中真命题的个数为（）
B.2
A.3
C.1D.0
【解析】①中当a与0不平行时，也可能存在符合题意的/、m.
2中/与刃也可能异面.
i\\y]
3中lupIIm,同理则mIIn,正确.
/3C\y=mj
【答案】C
5.如图7-4-10所示，若Q是长方体ABCD—A/iCiDi被平面EFGH截去几何体EFGHBC后得到的几何体，其中E为线段力/1上异于E的点，F为线段上异于Bi的点，且EH//AXDX,则下列结论中不丰礪敢是（）
图7-4-10
A.EH//FG
B.四边形EFGH是矩形
C.Q是棱柱
D.Q是棱台
【解析】TEHllAiDi，.••EHllBiCi，
■■■EHW平面BBxCxC.由线面平行性质，EHWFG.
同理EF"GH.且bCi丄面EBiF.
由直棱柱定义知几何体BXEF—CXHG为直三棱柱，
•••四边形EFGH为矩形，Q为五棱柱.故选D.
【答案】D
6.在三棱锥P—ABC中，点D在刃上，且PD=*DA,过点D作平行于底
面4
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