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季节性时间序列分析方法
第七章季节性时间序列分析方法
由于季节性时间序列在经济生活中大量存在，故将季节时间序列从非平稳序列中抽出来，单独作为
一章加以研究，具有较强的现实意义。
本章共分四节：
简单随机时间序列模型、乘积季节模型、季节型
时间序列模型的建立、季节调整方法 X-11 程序。
本章的学习重点是季节模型的一般形式和建模。
§1简单随机时序模型
在许多实际问题中，经济时间序列的变化包含很多明显的周期性规律。
比如：
建筑施工在冬季的月
份当中将减少，旅游人数将在夏季达到高峰，等等，这种规律是由于季节性（seasonality）变化或周期性
变化所引起的。
对于这各时间数列我们可以说，变量同它上一年同一月（季度，周等）的值的关系可能
比它同前一月的值的相关更密切。
、、季节性时间序列
1．含义：
在一个序列中，若经过 S 个时间间隔后呈现出相似性，我们说该序列具有以 S 为周期的周
期性特性。
具有周期特性的序列就称为季节性时间序列，这里 S 为周期长度。
注：
①在经济领域中，季节性的数据几乎无处不在，在许多场合，我们往往可以从直观的背景及物
理变化规律得知季节性的周期，如季度数据（周期为 4）、月度数据（周期为 12）、周数据（周期为 7）；
②有的时间序列也可能包含长度不同的若干种周期，如客运量数据（S=12，S=7）
2．处理办法：
（1）建立组合模型；
（1）将原序列分解成 S 个子序列（Buys-Ballot 1847）
周期
…… S 总和 平均
1X1X2X3……XST*1A*1
2XS+1XS+1XS+3……X2ST*2A*2
3XS+1X2S+2X2S+3……X3ST*3A*3
……………………………………………………………………………………
nX（n-1）S+1X（n-1）S+2X（n-1）S+3……XnST*nA*1n
总和T1*T2*T3*……TS*TT/S
平均A1*A2*A3*……AS*T/NT/SN
对于这样每一个子序列都可以给它拟合 ARIMA 模型，同时认为各个序列之间是相互独立的。
但是这
种做法不可取，原因有二：
（1）S 个子序列事实上并不相互独立，硬性划分这样的子序列不能反映序列
x
{ t }的总体特征；
（2）子序列的划分要求原序列的样本足够大。
启发意义：
如果把每一时刻的观察值与上年同期相应的观察值相减，是否能将原序列的周期性变化
消除？
（或实现平稳化），在经济上，就是考查与前期相比的净增值，用数学语言来描述就是定义季节差
分算子。
定义：
季节差分可以表示为Wt = ∇ S X t = （1 - B S ） X t = X t - X t-S 。
、、随机季节模型
1．含义：
随机季节模型，是对季节性随机序列中不同周期的同一周期点之间的相关关系的一种拟合。
AR
（1）：
Wt = ϕ1Wt-S + et ⇔ （1 - ϕ1B S ）Wt = et ，可以还原为：
（1 - ϕ1B S ）∇ S X t = et 。
MA
（1）：
Wt = et - θ1et-S ⇔ Wt = （1 - θ1B S ）et ，可以还原为：
∇ S X t = （1 - θ1B S ）et 。
2．形式：
广而言之，季节型模型的 ARMA 表达形式为
U （B S ）Wt = V （B S ）et
⎪SS
12q
注：
（1）残差 et 的内容；
（2）残差 et 的性质。
§2乘积季节模型
、、乘积季节模型的一般形式
由于 et 不独立，不妨设 et ~ ARIMA（n, d , m） ，则有
（1）
φ（B）∇d et = Θ（B）at
（2）
式中， at 为白噪声；φ（B） = 1 - ϕ1B1 - ϕ2 B 2 - L - ϕn B n ； Θ（B） = 1 - θ1B1 - θ2 B 2 - L - θm B m 。
在
（1）式两端同乘φ（B）∇d ，可得：
S
φ（B）U （B S ）∇dWt = φ（B）U （B S ）∇d ∇ D X t = V （B S ）φ（B）∇d et = V （B S ）Θ（B）at
（3）
S
注：
（1）这里U （B S ）∇ D X t 表示不同周期的同一周期点上的相关关系；φ（B）∇d X t 则表示同一周期
内不同周期点上的相关关系。
二者的结合就能同时刻划两个因素的作用，仿佛是显像管中的电子扫描。
（2）从结构上看，它是季节模型与 ARIMA 模型的结合形式，称之为乘积季节模型，阶数用
（n, d , m） ⨯ （ p, D, q）S 来表示。
（3）将乘积季节模型展开便会得到一般的 ARIMA 模型。
例如：
（1 - B） X t = （1 - θ1B）（1 - V1B S ）at ，
可以展开为 （1 - B） X t = （1 - θ1B - V1B S + θ1V1B S+1）at ，此时也有 X t ~ ARIMA（0,1, S + 1） ，并且其中有许多
系数为 0。
但其参数并不独立。
所以尽管模型的阶数可能很高，然而真正独立的参数不多，我们称这类模
型为疏系数模型（带有一定约束条件的疏系数模型）。
、、常用的两个模型
1． （1 - B12 ）（1 - B） X t = （1 - θ1B）（1 - θ12 B12 ）at
2． （1 - B12 ） X t = （1 - θ1B）（1 - θ12 B12 ）at
类型为：
（0,1,1） ⨯ （0,1,1）S
类型为：
（0,0,1） ⨯ （0,1,1）S
（4）
（5）
（1 - B） yt = （1 -θ1B - V1B S +θ1V1B S+1）at = （1 - ∑θ*j B j ）at
、、乘积季节模型与 ARIMA 模型的关系
我们可以将乘积季节模型
S
φ（B）U （B S ）∇dWt = φ（B）U （B S ）∇d ∇ D X t = V （B S ）φ（B）∇d et = V （B S ）Θ（B）at
展成 ARIMA 模型形式。
例如， （1 - B） yt = （1 - θ1B）（1 - V1B S ）at 是 （0,1,1） ⨯ （0,0,1） 季节模型，将式子的右边展成：
S+1
j=1
这是一个 （0,1, S + 1） 阶 ARIMA 模型，但是其参数不是独立的，有下面的约束关系
*****
θ1 = θ1,θ2 = L = θS-1 = 0,θS = V1,θS+1 = -θ1V1
尽管模型的阶数很高，然而真正独立的参数并不多，有许多参数取值为零
（3）
（6）
（7）
§3季节性时间序列模型的建立
季节性时间序列模型的建立也包含这样几个过程：
模型的识别、模型的定阶、参数估计、诊断检验
等。
基本上采用的是 BOX-JENKINS 方法，也就是立足于考察数据序列的样本自相关、偏自相关函数。
如果样本自相关、偏自相关函数既不截也不拖尾，而且也不呈线性衰减趋势，相反地，在相应于周
期 S 的整数倍点上，自相关（或偏自相关）函数出现绝对值相当大的峰值并呈现振荡变化，我们就可以
判明原数据序列适合于乘积季节模型。
、、季节性 MA 模型的自相关函数
{X t }是一个季节性时间序列，如果 X t ~ MA
（1）S ，则
X t = （1 - θ S B S ）et
et 不平稳，设 et ~ MA
（1） ，则
et = （1 - θ1B）at
我们就能得到一个乘积季节模型
X t = （1 - θ1）（1 - θ S B S ）at
X t = at - θ1at-1 - θ S at-S + θ1θ S at-S-1
当 S=12 时，有
X t = at - θ1at-1 - θ12at-12 + θ1θ12at-13 ~ MA（13）
可以计算出：
γ 0 = （1 + θ12 ）（1 + θ12 ）σ 2
γ 1 = （-θ1 - θ1θ12 ）σ 2
γ 2 = γ 3 = L = γ 10 = 0
γ 13 = θ1θ12
γ 14 = γ 15 = L = 0
因此有：
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
ρ1 =
- θ1
1 + θ12
≠ 0
ρ2 = ρ3 = L = ρ10 = 0
ρ11 = θ1θ12 [（1 + θ12 ）（1 + θ12 ）] ≠ 0
ρ12 =
- θ12
1 + θ12
≠ 0
ρ11 = θ1θ12 [（1 + θ12 ）（1 + θ12 ）] ≠ 0
ρ14 = ρ15 = L = 0
注：
（1） ρ1 为 et = （1 - θ1B）at 的一阶自相关系数， ρ12 为 X t = （1 - θ S B S ）et 的一阶自相关系数；
（2）θ1 与θ12 比较容易求解；
（3）可以推广到更一般的形式。
、、季节性 AR 模型的偏自相关函数
{X t }是一个季节性时间序列，如果 X t ~ AR
（1）S ，则
（1 - ϕS B S ） X t = et
et 不平稳，设 et ~ AR
（1） ，则
（1 - ϕ1B）et = at
我们就能得到一个乘积季节模型
（1 - ϕ1B）（1 - ϕS B S ） X t = at
（1 - ϕ1B - ϕS B S + ϕ1ϕS B S+1） X t = at
当 S=12 时，有
X t - ϕ1 X t-1 - ϕ12 X t-12 + ϕ1ϕ12 X t-13 = at ~ AR（13）
（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
可以根据 YULE-WORK 方程求出偏自相关函数。
注：
（1）根据它在周期点上的偏自相关函数的截尾性和拖尾性识别模型的类型和定阶；
（2）可以推广到更一般的形式。
、、季节性时间序列模型的建模方法
利用 B-J 建模方法：
判别周期性，即 S 的取值；根据 SACF 和 SPACF 提供的信息识别模型类型和阶
数，最后进行估计和诊断检验。
具体做法：
{
第一步：
对时间序列 {X t }进行普通差分 ∆ 和季节差分 ∆ S ，以得到平稳的序列 Wt }，Wt = ∆d ∆DS X t ；
第二步：
计算差分后序列的 SACF 和 SPACF，选择一个暂定的模型；
第三步：
由 SACF 和 SPACF 函数的值，利用矩估计法得到的值作为初始值，对模型参数作最小二乘
估计；
第四步：
模型的诊断与检验。
注：
（1）关于差分阶数 d 和季节差分阶数 D 的选取可采用试探的方法 1；也可使用差分后序列均方
差的大小挑选；
1 详见备课笔记。
（2）季节差分算子的阶数不宜过高。
、、应用实例
【例 6-1】试用 1987 年到 1996 年甲地某商品各月销售量资料为例建立季节性时间序列模型 2。
建模型过程：
1．时间序列图
800
700
600
500
400
300
200
SPXL
87888990919293949596
明显存在着季节性变化，并且以 12 为周期。
2．SACF 和 SPACF 函数图
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
SACF
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 1314 1516 1718 19 2021 2223 2425 2627 2829 30 3132 3334 3536 3738 3940 4142 43 4445 4647 48
2 资料来源王振龙：
《时间序列分析》，中国统计出版社，P189。
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
SPACF
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11121314 15161718 19202122 23242526 27282930 31323334 35363738 39404142 43444546 4748
-0.4
再次证明，时间序列存在着以 S=12 为周期的季节性变动。
3．进行差分变换
需要进行一阶普通差和以 12 为周期的季节差分，得到
Yt = （1 - B） X t
X t = （1 - B12 ）Yt = （1 - B12 ）（1 - B） X t = Wt
计算其自相关系数。
一阶普通差分图
400
300
200
100
0
-100
-200
-300
（17）
（16）
DSPXL
87888990919293949596
一阶普通差分和一阶季节差分序列图
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
SDSPXL
87888990919293949596
4．模型的识别与定阶
5．参数估计
6．诊断检验
7．模型应用
预测结果
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
Forecast:
SPXLF
Actual:
SPXL
Forecast sample:
1987:
01 1997:
12
Adjusted sample:
1988:
02 1997:
12
Included observations:
107
Root Mean Squared Error 16.11253
Mean Absolute Error 14.32569
Mean Abs. Percent Error 2.514184
Theil Inequality Coefficient 0.012983
Bias Proportion 0.790503
Variance Proportion 0.006491
Covariance Proportion 0.203006
88899091929394959697
SPXLF
【例 6-2】表显示了我国 1990 年 1 月至 1997 年 12 月工业总产值的月度资料（1990 年不变价格），记作
IPt，共有 96 个观测值，对序列 IPt 建立 ARMA 模型 3，在建模过程中将 1997 年 12 个月的观测值留出作
为评价预测精度的参照对象。
1990 年 1 月至 1997 年 12 月我国工业总产值单位：
亿元
月/年19901991199219931994199519961997
11421.4001757.8001984.2002179.1002903.3002996.7003476.6003843.840
21367.4001485.7001812.4002408.7002513.8002740.3002790.3003181.260
31719.7001893.9002274.7002869.4003409.0003580.9003942.6004404.490
41759.6001969.8002328.9002916.7003499.5003746.3004067.6004520.180
51795.7002033.7002373.1003022.1003642.6003817.9004746.8994638.990
61848.1002103.0002515.8003274.5003871.4004046.6004417.2994969.930
71637.3001836.3002288.0002862.9003373.0003483.9003806.8004146.899
81670.9001914.7002321.0002864.2003463.4003510.6003746.3004198.700
91760.1002022.2002441.1002908.0003663.7403703.1004011.1004536.839
101789.5002045.1002502.6002911.8003753.3803810.7004129.6004718.910
111888.6002069.2002608.8003101.3003973.1704091.0004372.8995034.939
121981.4002136.0002823.8003664.3004469.0204650.7994991.5005545.740
1．时间序列图
6000
5000
4000
3000
2000
1000
IP
1990199119921993199419951996
表明数据或者序列是非平稳的。
2．进行相应的差分变换
为消除趋势同时减小序列的波动，对原序列做一阶自然对数并逐期差分，即是差分运算与对数运算的结
合。
3 资料来源易丹辉：
《数据分析与 EVIEWS 应用》，P125。
.4
.3
.2
.1
.0
-.1
-.2
-.3
-.4
-.5
DLIP
1990199119921993199419951996
由时间序列图可以看到，序列的趋势已经基本消除，但可能存在着季节性变化，这一点可以从序列的自
相关图看出。
由图形可以看出，在 12 的整数倍上，样本的偏自相关系数显著不为零，因此需要做季节差
分处理。
.2
.1
.0
-.1
-.2
-.3
SDLIP
1990199119921993199419951996
此时差分后序列的自相关图为
可以对序列进行零均值的检验，详见易丹辉：
《数据分析与 EVIEWS 应用》，P128。
3．模型识别与定阶
因为经过一阶逐期差分，序列趋势基本消除，故 d=1；经过一阶季节差分，季节性基本消除，故
D=1。
所以选用 ARIMA（p,d,q）×（P,D,Q）S 模型。
由上图的偏自相关函数图得 p=2 或 p=3 比较合适；自相关
函数图 q=1 比较适合。
考虑到 AR 模型是线性方程估计，相对于 MA 和 ARMA 模型的非线性估计容易，
且参数意义便于解释，故实际建模时常希望用高阶的 AR 模型替换相应的 MA 或 ARMA 模型。
综合考虑，
可供选择的（p,q）组合有：
（3,1）、（4,0）、（2,1）和（3,0）。
由于 K=12 时，样本自相关和偏自相关系数都显著不
为 0，所以，P=Q=1。
4．模型估计
在命令主窗口输入：
D（LOG（IP）,1,12） AR
（1） AR
（2） AR（3） MA
（1） SAR（12） SMA（12）
5．检验和预测
包括模型的适应性检验和评价精度的检验，对未来进行预测。
【例 6-3】时间序列资料 ARIMA 季节乘积模型及其应用，资料来源于张蔚等：
时间序列资料 ARIMA 季
节乘积模型及其应用，《第三军医大学学报》。
§4季节调整
、、对时间序列季节调整的几点认识 4
西方国家开展时间序列的季节调整已有几十年的历史，在他们的公开出版物中经常会看到经过季节
调整后的数据，在经济分析和国民核算中，也经常会遇到关于国内生产总值时间序列季节调整的方法研
究。
结合本人在加拿大学习了解到的情况，本文谈一点对这个问题的粗浅认识。
1．为什么要对时间序列进行季节调整
季节调整是对时间序列中隐含的由于季节性因素造成的季节变化的影响加以纠正的过程。
时间序列
是指在规定的时间间隔内，对所发生的经济活动进行连续测算而形成的数据。
一般根据测算是一年一次，
三个月一次，还是每月一次，而区分为年度序列、季度序列或月度序列。
一般认为，季节性因素是指在
正常年度情况下，季度或月度序列（统称为子年度序列）中表现出来的有规律的波动变化。
为什么子年
度序列中包含有季节性因素？
子年度序列相对于年度序列而言，其特点是指标的核算期或指标所对应的
时期少于一年。
年度序列与日历年度的周期相对应，而人类传统经济活动的运作起始也一般与日历年度
相对应，因此年度序列能够反映一个日历年度内经济活动的一个完整的周期，如果将不同年度的指标进
行比较，具有可比性。
但是子年度序列则不同，由于其对应的时期只是日历年度中的某一部分，因此不
同时期的子年度指标所对应的季节相互之间各不相同。
由于不同的季节对经济活动的影响程度不同，相
同的经济活动在不同季节里产生的经济效果不同，因此不同的子年度指标之间存在不可比因素。
如春季
和冬季这两个不同的季节对建筑业的影响明显不同，建筑业的活动规模和由此产生的与建筑业有关的指
标建筑业产值、建筑业就业人数等在这两个季节也就大不相同。
在宏观经济环境都相同的情况下，这其
中最主要的一个原因就是季节性因素的影响。
季节性因素的影响对季节变化比较明显的国家和地区尤为
突出。
随着经济发展的迅速以及人们对经济关注程度的提高，子年度指标在经济分析和宏观调控中的作
用越来越重要，利用子年度时间序列做经济模型和分析问题成为经济研究中的一个重要内容。
为了使不
同季节的指标之间具有可比性，满足经济分析和管理的需要，季节调整的理论及方法应运而生。
2．季节调整的理论依据
研究表明子年度指标的时间序列中隐含有周期、趋势、季节性因素、交易日因素和偶然因素等构成
成分。
周期是指标的时间序列所表现出的持续的周期性的波动，一个完整的周期具有扩张阶段、转折点、
衰退阶段和恢复阶段四个不同的阶段。
趋势反映的是经济现象的长期演变方向。
周期与趋势比较，趋势
4 资料来源于国家统计局国民经济核算司 刘丽萍的文章。
主要是反映经济发展的总体方向，如是上升、持平还是下降。
而周期侧偏重于瞬间的经济变化。
由于测
算趋势在实际工作中有一定的难度，因此一般把趋势与周期放在一起不再进行区分。
季节性因素是时间
序列围绕趋势和周期年复一年的重复出现的一种有规律的波动。
产生季节性因素的原因有多方面，如气
候的原因使建筑业和农业在冬季生产量减少，也使失业的人数多于其他季节。
社会因素也可以产生季节
性因素，如由于传统的节假日而产生的节假日期间销售额的增长。
季节性的影响还可使一些食品工业的
生产具有季节性因素。
实际上在许多情况下季节性因素是由气候、社会等原因综合在一起而产生的，如
失业。
交易日因素是由于一个星期里每一天的数量在一个月里出现的次数不同，而一个星期里不同的日
期所发生的经济活动不同引起的某些变量的变化。
如，如果人们大多在星期五集中购物，那么这一天的
商品零售额必然高于一星期里的其他日子。
如果一个月有 30 天，那么 30 天在一个星期中的分布有可能
星期一和星期二是五天余下的星期三到星期日是四天，也可能是其他的组合。
如果在某一个月里星期五
的天数是五天，那么这个月的商品零售额就会多于星期五只有四天的月份，这时如果以星期五有五天的
月份与星期五只有四天的月份相比就存在不可比因素。
这个不可比因素就是交易日因素。
交易日因素
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