三角形各种心的性质归纳资料.docx
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三角形各种心的性质归纳资料
三角形各种心的性质研究
一、基础知识
三角形的心是指重心、外心、垂心、旁心和界心•三角形的心是三角形的重要几何点•在数学竞赛中，有关三角形的心的几何问题是竞赛的热点问题，因此，我们对三角形的心的几何性质做概括归纳，对有关的证明方法和解题技巧做深入探讨.
1•重心：
设G是
ABC的重心，AG的延长线交BC于D，则，
（1）BD
DC,
（2）AG:
AD
2:
3；
2
2AB22AC2
BC2
SARC
（3）AD
（4）
SGBC
4
3
2.外心：
设O
0（
R）是ABC的外接圆，
0D
BC于D交O0于E，则
（1）0A
0B
0CR；
（2）B0C
2A或2（180°A）；
（3）BD
DC
厂、'厂、
BE=EC；
（4）SABC
abc
2RsinAsinBsinC（正弦定理）
4R
3.内心:
设
ABC的内心圆O
I（r）切边AB于P
AI的延长线交外接圆于
D，则
（1）BIC
90-A；
2
1
Abc
a1/,
r（ab
c）
⑵APrcot一
A
（ab
c）
a；（3）DBDIDC；
⑷SABC
5
2
2
2
2
4•垂心：
设O,G,H分别是ABC的外心，重心，垂心，ODBC于D,AH的延长线交外接圆于比，则，
（1）
AH20D;
（2）H与Hi关于BC成轴对称；（3）0BCHOABC;（4）0,G,H,三点共线，且0G:
GH1:
2;
tantan—
22
6•三角形中内切圆、旁切圆和外圆半径的几个关系
在厶ABC中，内切圆OO分别与三边相切于点
M,KL,BC边上的帝切圆OOa与BC边切于点H，且分别与AB
边和AC这的延长线相切于点Q、点P•设三边BC、CA、AB分别为a,b,c,A,B,C分别为
1
p-（abc），内切圆半径为r，旁切圆半径分别为ra,rb,rc，外接圆半径为R，三角形面积为S，则有如下
2
关系式：
（1）APp,AKpa,LHbc；
（2）嘉rp；（3）直角三角形斜边上的旁切圆的半径等
Pa
11111
于三角形周长的一半；（4）ra（pb）（pc）；（5）；（6）ra
rGrgL
7.界心
如果三角形一边上的一点和这边对的顶点把三角形的周界分割为两条等长的折线，那么就称这一点为三角形的周界中点.其中三角形的周界是指由三角形的三边所组成的
围.由于三角形的任意两边之和大于第三边，可知三角形任一边上的周界中点必介于这
边两端点之间.
三角形的顶点与其对边的周界中点的连线，叫三角形的周界中线（有时也称周界中
线所在直线为三角形的周界中线）•三角形的周界中线交于一点.
定义：
称三角形的周界中线的交点为三角形的界心.二、例题分析
C,A的外角平分线交圆0于E,
例1•设厶ABC的外接圆0的半径为R,内心为I,B60,A
证明：
（1）10AE;
（2）2RIOIAIC（1,3）R.
【证明】
（1）延长BI交外接圆于M，连结0A,0M,Am，易知AOMB60，故△A0M为正三角形,
•••0M0AAMCM•易证MIAMAI,二MAMI.
设AI的延长线交BC于F，则AF、
AE分别为
A的内、外角平分线,
EAF90,
即EF为O0的直
径，•OAI
又在OM
中,
1
OFI-AOE•
2
1
OAI丄OMI,•
2
A0E
0MI,
M与O0为等圆，故AE
0I•
同理，MCMI，即代0,l,C在以M为圆心，R为半径的圆上，
•••AFE1AOE
1
OMI
1
-（AMI
AMO）
丄（C
60）,
记
AFE为
2
2
2
2
•IOIAIC
AE
IA
AF
AEAF
2Rsin
2Rcos
2R（sin
cos）
2、一2Rsin（
45
）22Rsin（C15
）
由AC知，
60
C
120
，从而有30
丄C
60，即45
1
C1575
2
2
•22Rsin45
IO
IA
IC2...2Rsin75
又sin75丘
■■、6
4
故2RIOIA
IC
（1
3）R•
例2•锐角
△ABC
的外
心为O
线段
OA,BC
的中
占
八、、
分别为M、N
ABC4OMN
ACB
6
OMN•
求OMN
IFC为等边三角形,
（2）连接
FC
IFC
ABC
60
又
则
【
设
0MN
ABC
ACB
6
解】
ICIF
同上易证IFFC,
4,
BAC
180
（ABC
ACB）180
10
又NOC-
2
B0C
BAC180
10
M0C
A0C
ABC
从而MON
8（18010）180
ONM180
（M0N
0MN）
180
（1802
0MN
即OMN为等腰三角形，ON
0M
^OA
2
^OC
2
•/ONC90,•NOC
又•••NOC18010,•
60,
OMN
12
例3•如图0,1分别为△ABC的外心和内心，AD是BC边上的高。
求证：
△ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径。
证明
（1）记ABc,BCa,CAb，设AI的延长线交△ABC的外接圆O于K，则OK
I在线段OD
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是圆0的半径，记为R，因为0K丄BC，所以0K//AD，从而
AIcsinB
IK
2sinBsinC
ABI=
由
（1）、
A
CAK,ZAKB=Z
2
1B-ABBIsin
22
1
BKBI
2
BC
2sinsin
（2）得2sinBsinC2A2：
sin
2
IBC
AI
所以一
IK
CBK=
ACB
Sabi
SKBI
设厶ABC的BC边上的旁切圆半径为
所以
bcsinA
2R
si4
所以
AB
BK
.B
sin
2
C
cos
2
4sinAcos-cos-
222
1bcsinA
2
sinAsinBsinC
ra,
.BsinCsin°.AC
sincos22
BC
2sinsin
22
.A
sin
2
（2）
1
SABC勺「a（b
2RsinAsinBsinC
BCBC
cos—
22
ca）。
o.BCBCQ.
2sincos2sin
22
ABC
4Rsin—cos—cos—
sinBsinCsinA
RsinAsinBsinC
.BCB.C222
sin2sinsin
222
即△ABC的外接半径等于BC边上的旁切圆半径。
c,BCa,CAb,△ABC的BC边上的旁切圆半径为
证明
（2）记AB
AI交BC于P,
交外接圆于K,
连BK,
OK丄BC,OKR,PC
又由AD丄BC,
知OK//AD,
有如
OK
AK
△ABC的BC边上的高为
ha，设
ra,
ab
b
AK
BKIK,△AKB
ACP,
AIiK，
ha
R
ACb
PCabbc
即△ABC的外接半径等于BC边上的旁切圆半径。
证明（3）ABc,BC
BK
bc
，代入上式，得
a
即ADOK
OK
bc
a
AK
IK
BKaha
，但△AKBACP，有
2SABC
bca
ra
接半径R，作lb丄BC于h,
•••ZOAC=^3C
2
/^A1AD
ZOAI,•••——
AO
•••Z
DAI
DI1
BI1
BD
11O1
BO1
BI1
证明
1/
ABC—「a（b
2
（4）记AB
OK丄BC，作II1
a,CAb,△ABC的BC边上的旁切圆半径为ra,△ABC的外
OO1丄BC于O1。
a）
c,BC
丄BC于
90°
DI
IO
ZABCZBAD
D11
11O1
cosB
2
•AD
"AO
（bc）（bca）
a,CA
I1，则
ra（b
b
b,
AD
a）
「a。
2a
a
AO
2a
ADa
bca
ca
设AI的延长线交
//I11//OK,由D,I,O三点共线,
△ABC的外接圆
2S
bca
ABC
连OK交BC于O1，则
D11
DI
AD
-DIBIBDacbccosB
acb
a2b2c2
（bc）（bca）
1i0i
I0
0K，
ii
2
2
2a
2a
aa
c
bbc
bc
aAD
Ii0i
B0i
Bli
2
2
2
a
R
故R
AD
a
2SABC
又SABC
i
ra（bc
a），…R
ra（bca）
bc
a
bc
a
2
bca
证明
（5）连AI并延长交△ABC的外接圆
O于K,设0旁切圆圆心，则
延长线上，连0K，过0作OM丄BC于M。
连0M,MK,BI,CI,OB,0C,
则OK,0M分别为外接圆半径及旁切圆半径。
又B,l,C,0四点共圆。
BKIKCK,设K为BIC0的外接圆的圆心，即IK0K。
又APPKBPPCIP0P,•••巴，又AD//0M,IPAP
0在AK的
PK0P
IPAP
MP
DP
MK//ID,
•0K//0M，故/I0K=/KM0，/0KI=/M0K,
而D,I,0共线，0K丄BC,0M丄BC,
IK0K,•0IKMK0，故0K=0M,
即Rra
4•设M是厶ABC的AB边上作一内点，r1,r2,r分别是△
△ABC的内切圆半径；q「q2,q分别是这些三角形在
ACM、
的旁切圆半径•试证:
ri
qi
「2£
q2q
【证明】设CAB
ABC
BCA
AMC
又设△ABC的内切圆的圆心为R，且与
AB切于
（如图）
APRBPR从而有：
AB
2,
rcot—
2
rcot—
2
由于三角形的角的内、外平分线互
相垂直
r（cot
因
曰疋
ABqtanqtanq（tantan）
2222
tan—tan—
进而有：
22tantan；类似的结论对于△AMC和厶BMC也成立，故有
q++22
cot—cot—
22
旦tantan和
qi22q2
riQ
qiq2
tantan，以上式子相乘即可得结论:
22
M
L
I
B
K
C
S
例5.设IABC的内心，其厶ABC内切圆切三边BC、CA和AB于
点K、L、M，过点B平行于MK的直线分别交直线LM和IK于点R和
S.求证：
RIS为锐角.
【证明】为了证RIS为锐角.由余弦定理，只要证
RI2SI2RS22RISIcosRIS0.为此我们来计算
RI2SI2RS2。
由MK//RS，考虑△BMR及△
BSK
是MRBLMK
C）•同理:
RMBAML
2（
A）
而MBR
MRB
RMB
2（C
1（
B），同理:
KSB
LKM-（
2
SKBLKC
1
2（
C），
KSB
1
2（
B）
sinRMB
sin
MRB
sin
KSB
sin
BKS
BM
又BI
MK
，所以
BI
RS.又
MI
AB，所以考虑直角△
IRB,
△ISB,△
BIM有
RI2
si2
RS2
（BI2
RB2）
（IB2
BS2）
（BR
BS）2
2
2（BI）2BR
BS
注意到
BK
BM,
因此
BRBS
BM
2
.所以，
RI2
si2
RS2
2
2[（BI）
2
（BM）]
BR
BR
BM
BK
由正弦定理，有,
因此
F面讨论界心的两个性质.
2
2（IM）
BS
A
cos——
2
C
cos——
2
BK
o
BS
例6•设D,E,F分别为△ABC的BC,CA,AB边上的周界中点,
R、r分别为△ABC的外接圆和内切圆半径，则
（1）注
SABC
r
；
（2）S
2R
DEF
1S
ABC-
4
【证明】设BCa,
CA
AB
c,2p
则由题设条件易知,
BD
AE
P
c
CD
AF
P
b
CE
BF
P
a
由三角形面积比的性质,
有,
AEF
SABC
AEAF
AC
AB
（Pb）（pc）
bc
同理有：
SABC
（P
C）（pa）；
ca
CDE
SABC
（P
a）（Pb）
ab
从而：
•怡
SABC
（SAEF
SABC
SBFD
SABC
SCDE
SABC
[（Pb）（pc）
bc
（Pc）（pa）
ca
（Pa）（p
ab
把三角形恒等式
2p22（abbc
abc
ca）p2abc
abbccap2
S
4Rrr2和abc2pRr代入并整理，得，叵
SABC
2R
由欧拉不等式R2r，得，SDEF
1S
ABC-
三、训练题
1.已知H是ABC的垂心，且AH
BC，试求A的度数.
三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形
外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理
三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分
简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）。
重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即（
燕尾定理：
因此图类似燕尾而得名，旦
为BC、CA、AB上的中点，满足
S△ABC中，SAAOB:
SAAOC=S△BDO:
S△CDO=BD
同理，SAAOC:
SABOC=S△AFO:
SAAEO=EC:
AE。
二、三角形外心定理：
三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若0是厶ABC的外心，则/BOC=2/A（/A为锐角或直角）或/BOC=360-2/A（/A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：
d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量
的点乘。
c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2;c=c1+c2+c3。
外心坐标：
（（c2+c3）/2c,（c1+c3）/2c,（c1+c2）/2c）。
重心定理，
1。
即重心到三条边的距离与三条边长成反比。
是
AD、
个关于三角形的定理（如图
BE、CF交于同一点
O）。
:
CD;
SABFO=AF:
BF;SABOC:
（X1+X2+X3）/3,（Y1+Y2+Y3）/3。
△ABC,D、E、F
外心的性质有:
SABOA=S△CEO:
2.D,E,F分别为ABC的边BC,CA,AB上的点，且FDEA,DEFB，又设△AEF、△BDF、
△CED均为锐角三角形，其垂心依次为比屮2屮3，求证：
（1）H2DH3FH1E；
（2）H1H2H3DEF.
3.已知OO内切于ABC的外接圆OO，并且与AB,AC分别相切于P,Q.证明ABC的内心I平分PQ.
4.已知ABC中，高AD在其内部，过△ABD、△ACD的内心丨仆^引直线分别交AB,AC于E,F.
（1）若BAC90，则AEAF;
（2）若AEAF，则BAC90也成立吗？
若成立，请证明；若不成立，请说明理由，并指出不成立的情形.
5.已知ABC的内切圆OI与BC边切于D,DE是OI的直径，AE的延长线交BC于F，求证：
BDCF.
6.在等腰ABC中，ACBC,O是它的外心，I是它的内心，点D在BC边上，使得OD与BI垂直，证明：
直线ID与AC平行.
三角形五心定理
5、外心到三顶点的距离相等外心公式：
三、三角形垂心定理：
三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心0、重心G和垂心H三点共线，且0G:
GH=1:
2。
（此线称为三角形的欧拉线（Eulerline））
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
定理证明：
已知：
△ABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点0,连接C0并延长交AB于点F,求证：
CF丄AB
证明：
连接DEI/ADB=/AEB=90度/•A、B、D、E四点共圆ADE=/ABE
•••/EAO=/DAC/AEO=/ADC/•△AEOs△ADC
•••AE/AO=AD/AC/•△EADs△OAC/•/ACF=/ADE=/ABE
又•••/ABE+/BAC=90度ACF+/BAC=90度•CF丄AB,因此，垂心定理成立！
垂心坐标公式：
ci-BC.b-CAx-ABa-（a・i}（a'C）
fi
/=（c
F二必;4■外汕
a+p*y
鏡P用x*屮工弋■
四、三角形内心定理：
三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
内心的性质：
1、三角形的三条内角平分线交于一点。
该点即为三角形的内心。
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
3、P为△ABC所在空间中任意一点，点0是△ABC内心的充要条件是：
向量PO=（aX向量PA+bK向量
PB+cX向量PC）/（a+b+c）.
4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N,则有AO:
ON=AB:
BN=AC:
CN=（AB+AC）:
BC
5、点O是平面ABC上任意一点，点I是厶ABC内心的充要条件是：
a（向量OA）+b（向量OB）+c（向量
OC）=向量0.
6、、（欧拉定理）"ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，贝UOIA2=RA2-2Rr.
7、（内角平分线分三边长度关系）：
△ABC中，0为内心，/A、/B、/C的内角平分线分别交BC、
AC、AB于Q、P、R,贝UBQ/QC=c/b,CP/PA=a/c,BR/RA=a/b.
8、内心到三角形三边距离相等。
三角形内心坐标公式:
五、三角形旁心定理
三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。
旁心的性质：
1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
2、每个三角形都有三个旁心。
3、旁心到三边的距离相等。
如图，点M就是△ABC的一个旁心。
三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。
一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。
附：
三角形的中心：
只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
有关三角形五心的诗歌
三角形五心歌（重外垂内旁）
三角形有五颗心，重外垂内和旁心，
重心
三条中线定相交，交点位置真奇巧，
重心分割中线段，数段之比听分晓；
外心
三角形有六元素，三个内角有三边.
此点定义为外心，用它可作外接圆.
垂心
三角形上作三高，三高必于垂心交.直角三角形有十二，构成六对相似形,内心
三角对应三顶点，角角都有平分线，点至三边均等距，可作三角形内切圆,
五心性质很重要，认真掌握莫记混.
交点命名为重心”重心性质要明了，长短之比二比一，灵活运用掌握好.
作三边的中垂线，三线相交共一点.
内心外心莫记混，内切外接是关键.
高线分割三角形，出现直角三对整，
四点共圆图中有，细心分析可找清
三线相交定共点，叫做’内心”有根源;
此圆圆心称’内心”如此定义理当然.
五心性质别记混，做起题来真是好。
五心的性质
三角
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