高考全国卷Ⅰ理科数学试题及答案 2doc.docx

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高考全国卷Ⅰ理科数学试题及答案2doc

-1-2018年普通高等学校招生全国统一考试

（新课标Ⅰ卷）理科数学注意事项

1答题前先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上并将准考证

号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2选择题的作答每小题选出答案后用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标

号涂黑写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3非选择题的作答用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题

卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4考试结束后请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题本题共12小题每小题5分共60分在每小题给出的四个选项中只有一

项是符合题目要求的

1设1

2

1

i

zi

i





则z

A0B1

2C1D2

2已知集合2|20

Axxx则ARð

A|12

xxB|12xx≤≤

C|1|2

xxxxD|1|2xxxx≤≥

3某地区经过一年的新农村建设农村的经济收入增加了一倍实现翻番为更好地了解该

地区农村的经济收入变化情况统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例得

到如下饼图

-2-则下面结论中不正确的是

A新农村建设后种植收入减少

B新农村建设后其他收入增加了一倍以上

C新农村建设后养殖收入增加了一倍

D新农村建设后养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

4记nS为等差数列na的前n项和若3243SSS

12a则3a

A12

B10C10D12

5设函数321

fxxaxax若fx为奇函数则曲线yfx在点00处的切线

方程为

A2

yxByxC2yxDyx

6在ABC

△中AD为BC边上的中线E为AD的中点则EB



A31

44

ABAC

B13

44

ABAC



C31

44

ABAC

D13

44

ABAC



7某圆柱的高为2底面周长为16其三视图如右图所示圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B则

在此圆柱侧面上从M到N的路径中最短路径的长度为

A217B25C3D2

8设抛物线

24

Cyx的焦点为F过点20且斜率为2

3的直线与C交于MN两点

则FMFN





A5B6C7D8

9已知函数

0

ln0xex

fx

xx











≤

gxfxxa

若gx存在2个零点则a的取值范

围是

A10

B0C1D1

10下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成三个半圆

的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC直角边ABACABC

△的三边所围成的区域

-3-记为Ⅰ黑色部分记为Ⅱ其余部分记为Ⅲ在整个图形中随机取一点此点取自ⅠⅡ

Ⅲ的概率分别记为1p2p3p则

A12pp

B13ppC23ppD123ppp

11已知双曲线2

21

3

x

CyO为坐标原点F为C的右焦点过F的直线与C的两条渐

近线的交点分别为MN若OMN

△为直角三角形则MN

A3

2B3C23D4

12

已知正方体的棱长为1每条棱所在直线与平面所成的角都相等则截此正方体所得

截面面积的最大值为

A33

4B233C324D3

2

二、填空题本题共4小题每小题5分共20分

13若xy

满足约束条件220

10

0

xy

xy

y















≤

≥

≤则32

zxy的最大值为________

14记nS为数列na的前n项和若21nnSa

则6S________

15从2位女生4位男生中选3人参加科技比赛且至少有1位女生入选则不同的选法共

有________种用数字填写答案

16已知函数2sinsin2

fxxx则fx的最小值是________

三、解答题共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题

每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题考生根据要求作答。



一必考题共60分。

1712分

在平面四边形ABCD中90

ADC∠45A∠2AB5BD

⑴求cosADB

∠

⑵若22

DC求BC

-4-

1812分

如图四边形ABCD为正方形EF分别为ADBC的中点以DF为折痕把DFC

△折起使点C到达点P的位置且PFBF⊥

⑴证明平面PEF⊥平面ABFD⑵求DP与平面ABFD所成角的正弦值

1912分

设椭圆2

21

2

x

Cy的右焦点为F过F的直线l与C交于AB两点点M的坐标为20

⑴当l与x轴垂直时求直线AM的方程

⑵设O为坐标原点证明OMAOMB

∠∠

-5-

2012分

某工厂的某种产品成箱包装每箱200件每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验如

检验出不合格品则更换为合格品检验时先从这箱产品中任取20件作检验再根据检验

结果决定是否对余下的所有产品作检验设每件产品为不合格品的概率都为01

pp且

各件产品是否为不合格品相互独立

⑴记20件产品中恰有2件不合格品的概率为fp求fp的最大值点0p

⑵现对一箱产品检验了20件结果恰有2件不合格品以⑴中确定的0p作为p的值已知每

件产品的检验费用为2元若有不合格品进入用户手中则工厂要对每件不合格品支付25元

的赔偿费用

i若不对该箱余下的产品作检验这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X求EX

ii以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据是否该对这箱余下的所有产品作检验

-6-

2112分

已知函数1

lnfxxax

x



⑴讨论fx的单调性

⑵若fx存在两个极值点1x2x证明12

122

fxfx

a

xx







-7-

二选考题共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做则按所做的第

一题计分。

22[选修4—4坐标系与参数方程]10分

在直角坐标系xOy中曲线1C的方程为2

ykx以坐标原点为极点x轴正半轴为极轴

建立极坐标系曲线2C的极坐标方程为2

2cos30

⑴求2C的直角坐标方程

⑵若1C与2C有且仅有三个公共点求1C的方程

-8-

23[选修4—5不等式选讲]10分

已知

11fxxax

⑴当1

a时求不等式1fx的解集

⑵若

01x∈时不等式fxx成立求a的取值范围

-9-2018年普通高等学校招生全国统一考试

（新课标Ⅰ卷）理数答案一、选择题

1.答案

C

解答1

2

1

i

zii

i





∴1

z∴选C.

2.答案

B

解答{|2

Axx或1}x则{|12}RCAxx.

3.答案

A

解答

假设建设前收入为a则建设后收入为2a所以种植收入在新农村建设前为60%a

新农村建设后为37%2a

其他收入在新农村建设前为4%a新农村建设后为5%2a养殖收入在新农村建设前为30%a新农村建设后为30%2a

故不正确的是A.

4.答案

B

解答1111113243

3（3）249967320

22

adadadadadad



6203

dd∴51424（3）10aad.

5.答案

D

解答

∵（）

fx为奇函数∴（）（）fxfx即1a∴3（）fxxx∴'（0）1f∴

切线方程为yx

∴选D.

6.答案

A

解答

-10-11131

（）

22244

EBABAEABADABABACABAC

.

7.答案

B

解答

三视图还原几何体为一圆柱如图将侧面展开最短路径为,

MN连线的距离

所以224225

MN所以选B.

8.答案

D

解答

由题意知直线MN的方程为2

（2）

3

yx设1122（,）,（,）

MxyNxy与抛物线方程联

立有22

（2）

3

4

yx

yx













可得1

112

x

y









或2

24

4

x

y











∴

（0,2）,（3,4）FMFN

∴03248

FMFN

.

9.答案

C

解答

∵（）（）

gxfxxa存在2个零点即（）yfx与yxa有两个交点）（xf的

图象如下

要使得yxa

与）（xf有两个交点则有1a即1a∴选C.

10.答案

A

解答

-11-取2

ABAC,则22BC

∴区域Ⅰ的面积为11

222

2

S区域Ⅲ的面积为2

31

（2）22

2

S

区域Ⅱ的面积为2

2312

SS故12pp.

11.答案

B

解答

渐近线方程为2

20

3

x

y即3

3

yx∵OMN

为直角三角形假设2

ONM如图∴3NMk直线MN方程为3

（2）

yx.联立3

3

3

（2）

yx

yx













∴33

（,）

22

N即3

ON∴3

MON

∴3MN故选B.

12.答案

A

解答

由于截面与每条棱所成的角都相等所以平面中存在平面与平面11ABD平行如

图而在与平面11ABD平行的所有平面中面积最大的为由各棱的中点构成的截

面EFGHMN而平面EFGHMN的面积122333

6

22224

S.

-12-

二、填空题

13.答案6

解答

画出可行域如图所示可知目标函数过点（2,0）时取得最大值max32206

z.

14.答案63



解答

依题意1121,

21,nnnnSaSa







作差得12nnaa所以{}na为公比为2的等比数列又因

为11121

aSa所以11a所以12n

na所以6

61（12）

63

12

S





.

15.答案16

解答

-13-恰有1位女生有12

2412

CC种

恰有2位女生有21

244

CC种∴不同的选法共有12416种.

16.答案3

3

2



解答

∵（）2sinsin2

fxxx∴（）fx最小正周期为2T∴2'（）2（coscos2）2（2coscos1）fxxxxx令'（）0fx即22coscos10xx∴1

cos

2

x或cos1

x.

∴当1

cos

2

为函数的极小值点即3

x或5

3

x,

当cos1,

xx

∴53

（）3

32

f.3

（）3

32

f（0）

（2）0

ff（）0f

∴（）

fx最小值为3

3

2

.

三、解答题

17.

答案

123

525.

解答

-14-

1在ABD

中由正弦定理得52

sin45sinADB



,∴2

sin

5

ADB,∵90

ADB,∴223

cos1sin

5

ADBADB.

22

ADBBDC,∴coscos（）sin

2

BDCADBADB∴coscos（）sin

2

BDCADBADB,∴222cos

2

DCBDBC

BDC

BDDC





,∴22825

5

2522

BC



.∴5

BC.

18.

答案

1略23

4.

解答

1,

EF分别为,ADBC的中点则//EFAB∴EFBF

-15-又PFBF

EFPFF∴BF平面PEFBE平面ABFD∴平面PEF平面ABFD.

2PFBF

//BFED∴PFED

又PFPD

EDDPD∴PF平面PED∴PFPE

设4

AB则4EF2PF∴23PE

过P作PHEF

交EF于H点

由平面PEF平面ABFD

∴PH平面ABFD连结DH

则PDH

即为直线DP与平面ABFD所成的角

由PEPFEFPH

∴232

3

4

PH





而4

PD∴3

sin

4

PH

PDH

PD



∴DP与平面ABFD所成角的正弦值3

4.

19.

答案

12

（2）

2

yx2略.

解答

1如图所示将1

x代入椭圆方程得21

1

2

y得2

2

y∴2

（1,）

2

A

∴2

2AMk∴直线AM的方程为2

（2）

2

yx.

2证明当l斜率不存在时由1可知结论成立当l斜率存在时设其

-16-方程为

（1）

ykx1122（,）,（,）AxyBxy联立椭圆方程有2

2

（1）

1

2

ykx

x

y













即2222（21）4220

kxkxk∴2

12

2

4

21

k

xx

k



2

12

2

22

21

k

xx

k





121212

1212[（23（）4]22

（2）

（2）AMBMyykxxxx

kk

xxxx





22

22

124412

（4）

2121

0

（2）

（2）

kk

k

kk

xx









∴AMBMkk

∴OMAOMB.

20.

答案

略

解答

1由题可知2218

20（）

（1）

fpCpp01p.

∴218217217

2020（）[2

（1）18

（1）

（1）]2

（1）（110）

fpCppppCppp

∴当1

（0,）

10

p时（）0

fp



即（）fp在1

（0,）

10上递增当1

（,1）

10

p时（）0

fp





即（）

fp在1

（,1）

10上递减.

∴（）

fp在点1

10

p处取得最大值即01

10

p.

2i设余下产品中不合格品数量为Y则4025

XY由题可知1

（180,）

10

YB∴1

18018

10

EYnp.

∴（4025）4025402518490

EXEYEY元.

ii由i可知一箱产品若全部检验只需花费400元若余下的不检验则要490元所以应该对余下的产品作检验.

21.

答案

1见解析2见解析.

解答

1①∵1

（）lnfxxax

x

∴2

21

'（）

xax

fx

x



∴当22

a时0'（）0fx∴此时（）fx在（0,）上为单调递增.

-17-②∵0

即2a或2a此时方程210xax两根为22

1244

22

aaaa

xx



当2

a时此时两根均为负∴'（）fx在（0,）上单调递减.当2a时0此时（）fx在24

（0,）

2

aa上单调递减（）fx在2244

（,）

22

aaaa上单调递增（）fx在24

（,）

2

aa

上单调递减.∴综上

可得2

a时（）fx在（0,）上单调递减2a时（）fx在24

（0,）

2

aa24

（,）

2

aa

上单调递减（）

fx在2244

（,）

22

aaaa上单调递增.

2由1可得210

xax两根12,xx得2a1212,1xxaxx令120xx

∴1

21

x

x

121122

1211

（）（）ln（ln）fxfxxaxxax

xx

21122（）（lnln）

xxaxx.∴1212

1212（）（）lnln

2

fxfxxx

a

xxxx





要证12

12（）（）

2

fxfx

a

xx





成立即要证12

12lnln

1

xx

xx





成立∴1

12

2

2

12ln

0

（1）

x

xx

x

x

xx





22

2

121

2ln

0

xx

x

xx







即要证22

21

2ln0xx

x

（21

x）

令1

（）2ln

（1）gxxxx

x

可得（）

gx在（1,）上为增函数∴（）

（1）0gxg

∴12

12lnln

1

xx

xx





成立即12

12（）（）

2

fxfx

a

xx





成立.

22.

答案

122

（1）4

xy24

2

3

yx

-18-解答

1由22cos30可得22230

xyx化为22

（1）4xy.

21C与2C有且仅有三个公共点说明直线2（0）

ykxk与圆2C相切圆2C圆

心为（1,0）

半径为2则22

2

1

k

k





解得4

3

k故1C的方程为42

3

yx.

23.

答案

11

{|}

2

xx

2（0,2].

解答

1当1

a时21

（）|1||1|211

21

x

fxxxxx

x

















∴（）1

fx的解集为1

{|}

2

xx.

2当0

a时（）|1|1fxx当（0,1）x时（）fxx不成立.

当0

a时（0,1）x∴（）1

（1）

（1）fxxaxaxx不符合题意.

当01

a时（0,1）x（）1

（1）

（1）fxxaxaxx成立.

当1

a时1

（1）,1

（）

1

（1）2,

axx

a

fx

axx

a



















∴

（1）121

a即2a.

综上所述a的取值范围为（0,2].