中央电大《数学建模》试题第二.docx
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中央电大《数学建模》试题第二
《数学模型》模拟试题1
一、填空题（每题5分，满分20分）：
1.设开始时的人口数为
，时刻
的人口数为
，若允许的最大人口数为
，人口增长率由
表示，则人口增长问题的罗捷斯蒂克模型为.
2.设年利率为0.05，则20万元10年后的终值按照复利计算应为.
3.一家服装店经营的某种服装平均每天卖出110件，进货一次的批发手续费为200元，存储费用为每件0.01元/天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别为.
4.设某种物资有两个产地
，其产量分别为10、20，两个销地
的销量相等均为15。
如果从任意产地到任意销地的单位运价都相等为
则最优运输方案与运价具有两个特点.
二、分析判断题（每题10分，满分20分）：
1.一条公路交通不太拥挤，以至人们养成“冲过”马路的习惯，不愿意走临近的“斑马线”。
交管部门不允许任意横穿马路，为方便行人，准备在一些特殊地点增设“斑马线”，以便让行人可以穿越马路。
那末“选择设置斑马线的地点”这一问题应该考虑哪些因素？
试至少列出3种。
2.在文字教材4.1中我们给出了营养配餐问题的数学模型
minZ=4x1+3x2
s.t.
其中
表示参与配餐的两种原料食品的采购量，约束条件
（1）、
（2）、（3）依次表示铁、蛋白质和钙的最低摄入量。
并用图解法给出了其最优解
，试分析解决下述问题：
（1）假如本题的目标函数不是求最小而是求最大值类型且约束条件不变，会出现什么结果？
（2）本题最后定解时，只用了直线
（1）与直线（3），而直线
（2）未用上，这件事说明了什么？
试从实际问题背景给以解释.
三、计算题（每题20分，满分40分）：
1.某公司自国外A厂家进口一部分精密机器.由厂家到出口港有三个港口B1、B2、B3供选择，运费依次为20，40和30；而进口港也有三个可供选择，代号为C1，C2和C3，运费为：
B1到C1、C2、C3依次为70、40、60，B2到C1、C2、C3依次为30、20、40，B3到
依次为40、10、50；进口后可经由两个城市D1、D2运抵目的地E，从C1、C2、C3到D1、D2的运费为10和40，60和30，30和30；从D1、D2到E的运费则为30和40.试利用图模型协助策划一个运输路线，使总运费最低.
2.某工程队承担一座桥梁的施工任务.由于施工地区夏季多雨，需停工三个月.在停工期间该工程队可将施工机械搬走或留在原处.如搬走，需搬运费1800元.如留原处，一种方案是花500元筑一护堤，防止河水上涨发生高水位的侵袭.若不筑护堤，发生高水位侵袭时将损失10000元.如下暴雨发生洪水时，则不管是否筑护堤，施工机械留在原处都将受到60000元的损失.据历史资料，该地区夏季高水位的发生率是25%，洪水的发生率是2%.试用决策树法分析该施工队要不要把施工机械搬走及要不要筑护堤？
四、综合应用题（本题满分20分）：
试建立确定情形下允许缺货的存储问题的数学模型。
提示：
所谓的确定情形下的存储模型是指文字教材第一章提到过的不允许缺货的存储模型；所谓允许缺货是在不允许缺货模型假设条件下，再考虑因缺货造成的损失建立相应的模型。
（要求按照五步建模法进行建模工作，本题应给出五个步骤。
）
《数学模型》模拟试题2
一、填空题（每题5分，满分20分）：
1.设开始时的人口数为
，时刻
的人口数为
，若人口增长率是常数
，那麽人口增长问题的马尔萨斯模型应为.
2.设年利率为0.05，则10年后20万元的现值按照复利计算应为.
3.所谓数学建模的五步建模法是指下列五个基本步骤，按一般顺序可以写出为
.
4.设某种商品的需求量函数是
而供给量函数是
，其中
为该商品的价格函数，那麽该商品的均衡价格是
.
二、分析判断题（每题10分，满分20分）：
1.从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，需要哪些数据资料（至少列举3个），要做些甚麽建模的具体的前期工作（至少列举3个），建立何种数学模型：
一座高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决。
2.某公司经营的一种产品拥有四个客户，由公司所辖三个工厂生产，每月产量分别为3000，5000和4000件.公司已承诺下月出售4000件给客户1，出售3000件给客户2以及至少1000件给客户3，另外客户3和4都想尽可能多购剩下的件数.已知各厂运销一件产品给客户可得到的净利润如表1所示，问该公司应如何拟订运销方案，才能在履行诺言的前提下获利最多？
表1单位：
元/件
客户
利润
工厂
1234
1
2
3
65636264
68676562
63605960
上述问题可否转化为运输模型？
若可以则转化之（只需写出其产销平衡运价表即可），否则说明理由。
三、计算题（每题20分，满分40分）：
1.有一批货物要从厂家A运往三个销售地B、C、D，中间可经过9个转运站
从A到
的运价依次为3、8、7；从
到
的运价为4、3；从
到
的运价为2、8、4；从
到
的运价为7、6；从
到
的运价为10、12；从
到
的运价为13、5、7；从
到
的运价为6、8；从
到
的运价为9、10；从
到
的运价为5、10、15；从
到
的运价为8、7。
试利用图模型协助厂家制定一个总运费最少的运输路线。
2.试求如表2所示运输问题的最优运输方案和最小运输费用：
表2单位：
百元/吨
销地
运价
产地
B1B2B3B4
产量
A1
A2
A3
3529
47512
691011
20
15
25
销量
10201515
四、综合应用题（本题满分20分）：
试建立方桌问题在四条腿脚呈长方形情形时的数学模型，以说明方桌能否在地面上放稳的问题。
（提示：
要求按照五步建模法进行建模工作，本题至少应给出前四个步骤。
）
《数学模型》模拟试题3
一、简答题（20分*2）
1.试举出两个实例说明建立数学模型的必要性。
包括实际问题的背景。
建模的目的，需要大体上什么样的模型以及怎样应用这种模型等。
2.从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，需要哪些数据资料（至少列举3个），要做些甚麽建模的具体的前期工作（至少列举3个），建立何种数学模型：
“一座高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决”。
二、综合应用题（60分）
试建立方桌问题在四条腿脚呈长方形情形时的数学模型，以说明方桌能否在地面上放稳的问题。
（提示：
要求按照五步建模法进行建模工作，本题至少应给出前四个步骤。
）
《数学模型》模拟试题4
A题：
（60分）
21世纪，各个大学都在扩招扩建，这样很多学校就有几个不同的校区。
随着校区的增多，相应的管理成本，运行成本也增加。
各个高校在几个校区的管理上也是费尽心思，但总存在各种各样的问题。
同样，我们工商职业学院也存在同样的问题。
现在已经有石桥铺校区和二郎校区，再加上正在建的合川校区。
三个校区如何管理，如何运营？
请你们根据我校实际情况，收集诸如交通费用、管理费用等相关数据，并据此通过数学建模的方法，就学校在三个校区的管理成本、校车路线安排、各专业在三个校区如何分配进行定量分析，得出明确、有说服力的结论。
数据的收集和分析是你们建模分析的基础和重要组成部分。
你们的论文必须观点鲜明、分析有据、结论明确。
最后，根据你们建模分析的结果，给学校有关部门写一份报告，提出具体建议。
数学基础题：
（40分）
1、一个顶角为900的锥体状雪堆，其体积融化的速率与锥面面积S成正比，其比例系数为
.假设雪在融化过程中始终保持锥状.已知高为
的雪堆在开始
融化的1小时内，融化了其体积的
.试求雪堆全部融化需要的时间.
2、中国人民银行经过几次下调存款利率，目前银行整存整取的年利率如下表：
存期
一年期
二年期
三年期
五年期
年利率%
2.25%
2.43%
2.70%
2.88%
现有一位刚升入初一的学生，家长欲为其存一万元，以供6年后上大学使用。
若此期间利率不变，请为其设计一种存款方案，使6年后所获收益最大.并求出最大收益.
《数学模型》模拟试题5
购房贷款问题
李四夫妇计划贷款30万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。
目前，银行的贷款利率是0.6%／月。
他们采用等额本息还款的方式（即每月的还款额相同）偿还贷款。
1.在上述条件下，李四夫妇每月的还款额是多少？
共计需要付多少利息？
2.在贷款10年零7个月后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在已支付第10年的第7个月的还款额后的某天，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？
3.如果在第4年初，银行的贷款利率由0.6%／月调到0.5%／月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的17年内将贷款还清，那么在第4年后，每月的还款额应是多少？
4.又如果在第8年初，银行的贷款利率由0.5%／月调到0.8%／月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的13年内将贷款还清，那么在第8年后，每月的还款额应是多少？
5.（在第三问四问假设的基础上）银行调整利率以后，在贷款10年零7个月时，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在已支付第10年的第7个月的还款额后（第8个月应还款前）的某天，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？
6.李四夫妇发现银行提供了6种不同的还款方式：
①等额本息还款法：
是指在贷款期内每月以相等的金额平均偿还贷款本息的还款方法；
②等额本金递减法：
是指在贷款期内每月等额偿还本金，贷款利息随本金逐月递减的还款方法；
③等额递增还款法：
是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额有一个固定增加额，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法；
④等额递减还款法：
是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额有一个固定减少额，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法；
⑤等比递增还款法：
是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额呈一固定比例递增，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法；
⑥等比递减还款法：
是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额呈一固定比例递减，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法。
李四夫妇认为，随着他们工作经历的增长，家庭收入也会随着增长，因此，打算采用③等额递增还款法的还款方式来偿还贷款，具体的办法是：
每5年为一个时间段，后一个时间段比前一个时间段每月多还400元。
在此情况下，如果贷款利率还是0.6%／月，那么，第1个时间段的每月还款额是多少？
以后各时间段的每月还款额又是多少？
共计付了多少利息？
在贷款10年零7个月后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在已支付第10年的第7个月的还款额后的某天，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？
7.在6提出的等额递增还款法方式下，在第4年初，银行的贷款利率由0.6%／月调到0.5%／月，又如果在第8年初，银行的贷款利率由0.5%／月调到0.8%／月，那么以后各时间段的每月还款额分别是多少？
在贷款10年零7个月后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在已支付第10年的第7个月的还款额后的某天，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？
8.综合上述问题，请你们为李四夫妇（实际上是打算贷款购房的人）写一份短文，帮助他们分析各种方法的利弊，和偿还贷款的计划。
《数学模型》模拟试题6
压气机叶片排序
由于加工出的压气机叶片的重量和频率不同，安装时需要按工艺要求重新排序。
1．压气机24片叶片均匀分布在一圆盘边上，分成六个象限，每象限4片叶片的总重量与相邻象限4片叶片的总重量之差不允许超过一定值（如8g）。
2．叶片排序不仅要保证重量差，还要满足频率要求，两相邻叶片频率差尽量大，使相邻叶片频率差不小于一定值（如6Hz）。
3．当叶片确实不满足上述要求时，允许更换少量叶片。
请按上述要求给出：
1．按重量排序算法；
2．按重量和频率排序算法；
3．叶片不满足要求时，指出所更换叶片及新叶片的重量和频率值范围；
4．当叶片保证了重量差和频率差时，按排列顺序输出。
下面是两组叶片数值：
重量单位：
g,频率单位：
Hz
序号
重量
频率
序号
重量
频率
1
696
203
1
717
206
2
704
204
2
715
206
3
694
210
3
710
206
4
698
211
4
702
207
5
695
212
5
711
206
6
694
208
6
714
204
7
660
188
7
682
192
8
658
196
8
684
193
9
658
201
9
680
191
10
655
197
10
688
194
11
658
196
11
685
191
12
663
198
12
687
193
13
697
209
13
715
205
14
694
210
14
710
206
15
693
215
15
707
207
16
696
209
16
713
207
17
695
208
17
712
207
18
696
209
18
705
208
19
666
194
19
685
196
20
660
194
20
688
193
21
665
198
21
679
196
22
663
196
22
683
192
23
663
193
23
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24
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矿井水灾事故专项应急演练方案
1应急演练目的、意义和目标
1.1应急演练目的
①评估我矿水灾事故的应急准备状态，发现并修改我矿水灾事故专项应急预案和执行程序中存在的缺陷和不足；
②评估我矿在发生水灾事故时的应急能力，识别处理水灾事故的资源需求，澄清相关单位和人员的应急职责，改善水灾事故应急救援中的组织协调问题；
③检验应急响应人员对水灾事故应急预案及执行程序的了解程度和实际操作技能；同时，通过调整演练难度，进一步培训和提高应急响应人员的业务素质和能力；
④提高全员安全意识。
1.2应急演练意义：
为了进一步增强煤矿应对水灾事故的快速反应能力、应急处理能力和协调作战能力，提高米田煤矿的应急救援水平，切实保障人民生命和公司财产的安全，米田煤矿特组织本次应急救援演练。
1.3应急演练目标
1.3.1报警
当发生水灾事故时，由现场施工单位当班第一责任者采用电话报警的方式进行报警。
1.3.2接警处警
调度室接到事故报警后，调度室调度员立即向当天矿值班长和应急救援领导小组组长（矿长）汇报，同时通知水灾应急演练指挥部有关人员到调度室待命，根据指挥部意见，启动水灾应急救援预案。
1.3.3应急指挥
①基层单位：
一旦发生矿井水灾事故，现场施工单位立即成立水灾事故现场处置小组，掘进队当班第一责任者为小组长。
②矿级应急指挥：
矿调度室接到事故报警后，矿成立矿井水灾事故应急演练小组，指挥部设在矿调度室。
1.3.4应急行动
①基层单位应急行动
现场组织人员按照避灾路线撤离至安全地点。
模拟底板涌水的疏、排；
②矿级应急行动
矿调度室通知相关泵房，由开泵人员立即开动工作、备用水泵开始排水；同时检查检修水泵的完好状况，保证检修水泵能够随时投入运转。
2应急演练原则
①安全第一、以人为本的原则。
②统一领导、分级负责的原则。
③反应迅速、措施果断的原则。
④部门配合、分工协作的原则。
3应急演练类型和时间地点
3.1应急演练类型
本次演练演练为实战检验性演练
3.2应急演练时间
本次演练时间2012年3月10日八点班9：
00－10：
35。
如果演练当日出现特殊情况，应急预案演练可顺延或提前。
3.3应急演练地点
①110401运输巷工作面
②矿调度室
4应急演练组织机构
4.1应急演练领导小组
组长:
陈 仕
副组长:
董永海
成员：
孔家稳何兴八张蛮敖成卫胡荣兴
黄志党李登学牛建毕封志平
职责：
负责水灾事故应急演练活动全过程的组织领导，审批决定演练的重大事项。
4.2策划部
①总策划：
彭家福
职责：
负责演练准备、演练实施、演练总结的组织实施。
②文案组
组长：
孔家稳
③协调组
组长：
陈 仕
④控制组
组长：
董永海
4.3评估组
共设四个评估组，每组2人。
（评估组建议由安监队人员组成，每组2人，1人评估，1人记录）
第一组：
位置：
110401运输巷工作面
记录和评估水灾演练现场报警、现场处置小组成立及现场应急处置情况
第二组：
位置：
调度室记录和评估主井采区工作。
记录和评估调度室接警、处警、矿井水灾应急演练小组成立、应急指挥部人员到位、应急指挥、协调情况。
5演练情景设计
5.1应急演练概述：
110401运输巷工作面，目前已施工28m，煤层平均厚度2.62米，110401运输巷工作面安设有一部能直通调度室的电话。
2013年3月10日下午3:
00时，安全矿长组织召开矿井水灾应急演练预备会议，进一步确认各演练情景准备情况，确认准备完毕后，安全副矿长要求各参演单位及装备务必于2012年3月10日上午8:
30分准时到位，2013年3月10日上午9:
00时准时开始演练。
2013年3月10日上午9:
00时，该巷工作面后138m，发生掘进工作面滞后突水，突水水量60m³/h。
2013年3月10日9：
00，演练总指挥宣布应急演练开始。
5.2演练情景1报警、现场处置小组成立及现场处置
地点:
110401运输巷工作面
总指挥宣布演练开始后，调度室用电话通知110401运输巷工作面评估组人员，评估人员通知当班第一责任者演练开始。
5.2.1水灾事故发生撤人
9：
05分，当班第一责任者在掌子头后130m处发现巷道顶板地鼓，随后发生巷道顶板突水，当班第一责任者喊“顶板出水了，人员赶快撤离”，并且立即通知班长，班长带领全部人员撤离到运输石门盘口，当班第一责任者最后撤离，由当班第一责任者在运输石门盘口清点人数。
5.2.2报警
当班第一责任者清点人数后，当班第一责任者立即向调度室汇报模拟水灾的具体情况。
汇报内容为：
顶板突水位置、顶板突水大致水量、顶板突水人员撤出情况、支援需要以及现场处置方法。
5.2.3现场处置小组成立
当班第一责任者报警后，立即着手成立水灾事故现场处置小组
组长：
当班第一责任者
副组长：
当班班长
成员：
当班全体人员
5.2.4水灾事故现场处置
110401运输巷顶板突发性涌水，突水点不易堵，应采取疏导措施，现场人员应尽量使涌水沿水沟流入水仓，同时清理水沟及两侧的浮煤、杂物，减少进入水仓的杂物。
5.3演练情景2调度室接警、处警、矿井水灾应急演练小组成立、应急指挥、协调情况。
地点：
调度室
5.3.1接警、处警
9时10分，调度室接到现场报警后，迅速向值班矿长和应急救援领导小组组长（矿长）汇报，同时通知水灾应急演练指挥部有关人员到调度室待命，根据指挥部意见，启动水灾应急演练方案。
5.3.2矿井水灾应急演练小组成立
9时20分，矿井应急演练领导小组成员接到通知后到达调度室，矿井应急演练小组随即成立。
5.3.3应急指挥
调度室电话通知各井下人员撤离。
5.6应急结束：
①10时00分，中央水仓向救援小组汇报：
中央水仓工作、备用水泵工作正常。
②10时20分，1191机巷汇报：
排水路线（自流）沿途浮渣、浮煤、杂物已清理干净，机巷底板突水沿水沟流入井底水仓。
④调度室接到各处水灾应急演练情况汇报，立即报告应急演练小组，应急救援小组经过认真研究分析，认为本次水灾应急演练目标已全部实现，宣布水灾应急演练全部结束，恢复正常状态。
6演练工作准备
6.1分析演练需求
①人力资源需求
掘进队20人（其中一名跟班干部，三名班长，井下11名职工，井上5名职工），机电队2人，安检队10人，调度室3人、机电队中央水仓水泵司机2人。
②场地资源需求
110401运输巷
调度室
③物资器材需求
A、110401运输巷掌子头后5m，供水管路安装三通一个，演练开始后，打开阀门作为模仿水灾水源；
B、铁锨、镐各5把（1191机巷演练挖水沟、请浮渣用）
④文件资料准备
采掘工程平面图1套
6.2确定演练范围
本次应急演练为矿一级应急演练，包括：
①1191机巷水灾事故现场，掘进队处理水灾事故的应急演练；
②调度、指挥系统处理水灾事故应急演练；
7演练实施
7.1演练过程控制
①演练启动方式
2013年3月10日9：
00，演练总指挥宣布应急演练开始，调度室电话通知通知110401运输巷演练开始，掘进队接到通知后，开动预先准备的演练水源，演练正式启动。
7.2演练实施的步骤
①演练启动；
②掘进队通知调度室：
110401运输巷发生老窑突水位置、突水大致水量、老窑突水人员撤出情况、支援需要以及现场处置方法；
③掘进队突水现场疏、堵、排措施的落实；
④调度室的应急响应调度、指挥系统成立；
⑤应急演练小组根据各演练场地汇报决定演练是否结束
7.3、应急演练记录的要求
演练记录由演练评估组人员填写，演练评估组人员可根据演练具体情况增加内容，演练记录要求做到客观真实，演练记录由调度室负责保存。
应急演练记录表格如下：
应急演练记录（场景1）
演练时间
2013年3月10日
地点
110401机巷
参演单位
掘进队
水灾事故发生撤人：
1、当班第一责任者发现老窑突水，立即通知班长撤人，通知的时间；
2、班长带领全部人员撤离到回风石门，撤人的速度及时间；
3、当班第一责任在人员全部撤出后，最后撤离，当班第一责任者撤至运输石门盘口的时间；
4、由当班第一责任者在运输石门盘口清点人数，清点人数后，记录撤人所用的时间及人员撤出情况；
报警：
当班第一责任制在人员全部撤出后，立即电话报警，记录报警的时间及内容：
1、老窑突水位置；
2、老窑突水大致水量；
3、老窑突水人员撤出情况；
4、支援需要以及现场处置方法。
现场处置小组成立：
当班第一责任者报警后，负责成立水灾事故现场处置小组：
组长：
当班第一责任者
副组长：
当班班长
成员：
当班全体人员
水灾事故现场处置
现场处置小组分两队，第一队由当班第一责任者带领，第二队由当班班长带领。
1、第一队负责从老窑突水位置至回风上山段清理。
2、第二队负责从回风石门交叉口至水仓入水口段清理。
记录现场处置小组的分队情况，水沟的清理情况及水灾演练涌水流入
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