概率论与数理统计知识点总结.docx
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概率论与数理统计知识点总结
《概率论与数理统计》
第一章概率论的基本概念
§2•样本空间、随机事件
1•事件间的关系AB则称事件B包含事件A,指事件A发生必然导致事件B发生
AB{xxA或xB}称为事件A与事件B的和事件，指当且仅当A，
B中至少有一个发生时，事件AB发生
AB{xxA且xB}称为事件A与事件B的积事件，指当A，B同时
发生时，事件AB发生
A—B{xxA且xB}称为事件A与事件B的差事件，指当且仅当A发生、B不发生时，事件A—B发生
AB，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件A与事件
B不能同时发生，基本事件是两两互不相容的
ABS且AB，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件
2.运算规则交换律ABBAABBA
结合律（AB）CA（BC）（AB）CA（BC）
分配律A（BC）（AB）（AC）
徳摩根律A―BABA―BAB
§3.频率与概率
定义在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为
事件A发生的频数，比值nAn称为事件A发生的频率
概率：
设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P
（A），称为事件的概率
1.概率P（A）满足下列条件：
（1）非负性：
对于每一个事件A0P（A）1
（2）规范性：
对于必然事件SP（S）1
n
P（Ak）（n可以
n
（3）可列可加性：
设A1,A2,,An是两两互不相容的事件，有P（Ak）
k1
2.概率的一些重要性质:
（i）P（）0
n
（ii）若A1,A2,,An是两两互不相容的事件，则有P（Ak）
k1
（iii）设A,B是两个事件若AB，则P（BA）P（B）P（A），P（B）P（A）
（iv）对于任意事件A，P（A）1
（vi）对于任意事件A,B有P（AB）P（A）P（B）P（AB）
§4等可能概型（古典概型）
等可能概型：
试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同
若事件A包含k个基本事件，即A何}{ei2}{eik}，里
kA包含的基本事件数
~nS中基本事件的总数
k
，i2,，ik是1,2,n中某k个不同的数，则有P（A）P{eij}
3可列可加性：
设Bi，B2,
§5•条件概率
（1）
定义：
设A,B是两个事件，且P（A）0，称P（B|A）
需）为事件A发生的条件下
事件B发生的条件概率
（2）
条件概率符合概率定义中的三个条件
1。
非负性：
对于某一事件B,有P（B|A）0
2
。
规范性：
对于必然事件S,P（S|A）1
是两两互不相容的事件，则有P（BiA）P（BiA）
i1i1
（3）乘法定理设P（A）0,则有P（AB）P（B）P（A|B）称为乘法公式
n
（4）全概率公式：
P（A）P（Bi）P（A|Bi）
i1
贝叶斯公式：
P（Bk|A）nP（Bk）P（A|Bk）
P（Bi）P（A|Bi）
i1
§6.独立性
定义设A,B是两事件，如果满足等式P（AB）P（A）P（B），则称事件A,B相互独立
定理一设A,B是两事件，且P（A）0,若A,B相互独立，则P（B|A）PB
定理二若事件A和B相互独立，则下列各对事件也相互独立：
A与B,A与B,A与B
第二章随机变量及其分布
§1随机变量
定义设随机试验的样本空间为S{e}.XX（e）是定义在样本空间S上的实值单值函数,
称XX（e）为随机变量
§2离散性随机变量及其分布律
1.离散随机变量：
有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随
机变量称为离散型随机变量
P（XXk）Pk满足如下两个条件
（1）Pk0,
（2）Pk=1
k1
2.三种重要的离散型随机变量
（1）（0-1）分布
设随机变量X只能取0与1两个值，它的分布律是
P（Xk）pk（1-p）1-k,k0,1（0p1），则称X服从以p为参数的（0-1）分布或两点分布。
（2）伯努利实验、二项分布
设实验E只有两个可能结果：
A与A，则称E为伯努利实验.设P（A）p（0p1），
此时P（A）1-p.将E独立重复的进行n次，则称这一串重复的独立实验为n重伯努利实验。
P（Xk）°pkqn-k，k0,1,2，n满足条件
（1）pk0,
（2）Pk=1注意到npkqn-k
kk1k
是二项式（pq）n的展开式中出现pk的那一项，我们称随机变量X服从参数为n，p的二项
分布。
（3）泊松分布
设随机变量
X所有可能取的值为
0,1,2
…，而取各个值的概率为
P（X
k-
k）—^,kk!
0,1,2,其中
0是常数，
则称
X服从参数为的泊松分布记为
X〜
（）
§3随机变量的分布函数
定义设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F（x）P{Xx},
称为X的分布函数分布函数F（x）P（Xx），具有以下性质
（1）F（x）是一个不减函数
（2）
§4连续性随机变量及其概率密度
连续随机变量：
如果对于随机变量X的分布函数F（x），存在非负可积函数f（x），使对
x
于任意函数x有F（x）-f（t）dt,则称x为连续性随机变量，其中函数f（x）称为X的概
率密度函数，简称概率密度
f（x）dx1；
1概率密度f（x）具有以下性质，满足
（1）f（x）0,
（2）
（3）P（xiXX2）2f（x）dx；（4）若f（x）在点x处连续，则有F，（x）f（x）
Xi
2,三种重要的连续型随机变量
（1）均匀分布
1
若连续性随机变量X具有概率密度f（x）
b^，axb，则成X在区间（a,b）上服从均
0，其他
匀分布.记为X~U（a，b）
（2）
指数分布
0，其他
从参数为的指数分布
（3）正态分布
1l^J2
若连续型随机变量X的概率密度为f（x）1e2,x,
其中，（0）为常数，则称X服从参数为，的正态分布或高斯分布，记为
X~N（，2）
特别，当0，1时称随机变量X服从标准正态分布
§5随机变量的函数的分布
fxh（y）h（y）,y
0，其他
定理设随机变量X具有概率密度fx（x）,-x,又设函数g（x）处处可导且恒有
g'（x）0,则Y=g（X）是连续型随机变量，其概率密度为fY（y）
第三章多维随机变量
§1二维随机变量
Y（e）是定义在S上的
定义设E是一个随机试验，它的样本空间是S{e}.XX（e）和Y
随机变量，称XX（e）为随机变量，由它们构成的一个向量（X，Y）叫做二维随机变量
我们称P（Xx,丫yj）
Y）是离散型的随机变量
Pij，i，j1,2，为二维离散型随机变量（X,Y）的分布律。
对于二维随机变量（X,Y）的分布函数F（x,y）,如果存在非负可积函数f（x,y）,
yx
使对于任意x,y有F（x,y）--f（u,v）dudv,则称（X,Y）是连续性的随机变量，函
数f（x，y）称为随机变量（X,Y）的概率密度，或称为随机变量X和丫的联合概率密度。
§2边缘分布
二维随机变量（X,丫）作为一个整体，具有分布函数F（x,y）.而X和丫都是随机变量，各自也有分布函数，将他们分别记为Fx（x）,FY（y），依次称为二维随机变量（X,丫）关于X和关于丫的边缘分布函数。
Pi?
PjP{XXi},i1,2,p?
jPjP{Yyi},j1,2,分别称
j1i1
Pi?
p?
j为（X,丫）关于X和关于丫的边缘分布律。
fx（x）f（x,y）dyfy（y）f（x,y）dx分别称fx（x）,fy（y）
为X,丫关于X和关于丫的边缘概率密度。
§3条件分布
定义设（X,丫）是二维离散型随机变量，对于固定的j，若P{Yyj}0,
P{XxYy.}pi.
则称P{Xjp{yyj}p?
.
P{XxiYy■}p“
量X的条件分布律，同样P{Yy.XX}■巴，j1,2,为在X人条
P{X洛}b?
件下随机变量X的条件分布律。
设二维离散型随机变量（X,丫）的概率密度为f（x,y）,（X,丫）关于丫的边缘概率密度为fY（y），若对于固定的y,fY（y）〉o,则称丄心卫为在丫二y的条件下X的条件概率密
fY（y）
§4相互独立的随机变量
定义设F（x,y）及Fx（x）,FY（y）分别是二维离散型随机变量（X,Y）的分布函数
及边缘分布函数•若对于所有x,y有P{Xx,Yy}P{Xx}P{Yy}，即
F{x,y}Fx（x）Fy（y），则称随机变量X和丫是相互独立的。
对于二维正态随机变量（X,Y），X和丫相互独立的充要条件是参数0
§5两个随机变量的函数的分布
1，Z=X+Y的分布
设（X,Y）是二维连续型随机变量，它具有概率密度f（x,y）.则Z=X+Y仍为连续性随
机变量，其概率密度为fxY（z）f（zy,y）dy或fxy（z）f（x,zx）dx
又若X和丫相互独立，设（X，丫）关于X，丫的边缘密度分别为fx（x）,彳丫卜）则
fxy（z）fx（zy）fY（y）dy和fx丫⑵fx（x）fy（zx）dx这两个公式称为fx,彳丫的
卷积公式
有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布
2Z丫的分布、ZXY的分布
，X
丫
设（X,Y）是二维连续型随机变量，它具有概率密度f（x,y），则Z丄，ZXY
X
1z
仍为连续性随机变量其概率密度分别为fYX（z）xf（x,xz）dxfxY⑵一f（x,-）dx又
xx
若x和丫相互独立，设（x,Y）关于x,丫的边缘密度分别为fx（x）,fY（y）则可化为
fY.x（z）fx（x）fY（xz）dxfxY（z）-lfx（x）fY（-）dx
冈x
3Mmax{x，Y}及Nmin{X,Y}的分布
设x，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为Fx（x）,FY（y）由于
Mmax{x，Y}不大于z等价于X和Y都不大于z故有P{Mz}P{X乙丫z}又由于
x和丫相互独立，得到Mmax{X，Y}的分布函数为Fmax（z）Fx（z）Fy（z）
Nmin{X,Y}的分布函数为Fmin（z）11Fx（z）1Fy（z）
第四章随机变量的数字特征
§1•数学期望
定义设离散型随机变量X的分布律为P{XXk}Pk，k=1,2，…若级数xkpk绝对收
k1
敛，则称级数XkPk的和为随机变量X的数学期望，记为E（X），即E（X）XkPk
k1i
设连续型随机变量X的概率密度为f（x），若积分xf（x）dx绝对收敛，则称积分
xf（x）dx的值为随机变量X的数学期望，记为E（X），即E（X）xf（x）dx
定理设丫是随机变量X的函数Y=g（X）（g是连续函数）
（i）如果X是离散型随机变量，它的分布律为P{XXk}Pk，k=1,2，…若g（xJPk绝
k1
对收敛则有E（Y）E（g（X））g（xQPk
k1
（ii）如果X是连续型随机变量,它的分概率密度为f（x），若g（x）f（x）dx绝对收敛则有
E（Y）E（g（X））g（x）f（x）dx
数学期望的几个重要性质
1设C是常数，则有E（C）C
2设X是随机变量，C是常数，则有E（CX）CE（X）
3设X,Y是两个随机变量，则有E（XY）E（X）E（Y）；
4设X，丫是相互独立的随机变量，则有E（XY）E（X）E（Y）
§2方差
定义设X是一个随机变量，若E{XE（X）2}存在，则称E{XE（X）2}为X的方差，
2J
记为D（x）即D（x）=E{XE（X）}，在应用上还引入量...D（x），记为（x），称为标准差或均方差。
方差的几个重要性质
1设C是常数，则有D（C）0,
2设X是随机变量，C是常数，则有D（CX）C2D（X），D（XC）D（X）
3设X,Y是两个随机变量，则有D（XY）D（X）D（Y）2E{（X-E（X））（Y-E（Y））}特别，若
X,Y相互独立，则有D（XY）D（X）D（Y）
4D（X）0的充要条件是X以概率1取常数E（X），即P{XE（X）}1
切比雪夫不等式：
设随机变量X具有数学期望E（X）2，则对于任意正数，不等式
2
P{X-}—成立
§3协方差及相关系数
定义量E{[XE（X）][YE（Y）]}称为随机变量X与丫的协方差为Cov（X,Y），即
Cov（X,Y）E[（XE（X））（YE（Y））]E（XY）E（X）E（Y）
而XYC0V（X，丫）称为随机变量X和丫的相关系数
Jd（x）厲芮
对于任意两个随机变量X和丫，D（XY）D（X）D（Y）2Cov（X,Y）
协方差具有下述性质
1Cov（X,Y）Cov（Y,X）,Cov（aX,bY）abCov（X,Y）
2Cov（X1X2,Y）Cov（X1,Y）Cov（X2,Y）
定理1XY1
2xy1的充要条件是，存在常数a,b使P{Yabx}1
附：
几种常用的概率分布表
分布
参数
分布律或概率密度
数学
期望
方差
两点分
布
P{Xk）pk（1p）1k,k0,1，
二项式
分布
kknk
P（Xk）CnP（1p）,k0,1,n，
泊松分
布
几何分
布
均匀分
布
1.—、,axb
f（x）ba，
0，其他
指数分
布
正态分
布
第五章大数定律与中心极限定理
§1.大数定律
§2中心极限定理
n
Xk）Xk
i1
=Tn，
nn
nXkE（
Xk标准化变量，Ynk1nk1i1:
D（°Xk）
Ik1
1）的二
定理三（棣莫弗-拉普拉斯定理）设随机变量n（n1,2,）服从参数为n,p（0p
项分布，则对任意x，有limP{『nnp一x}X-^e"Qdt（x）
nJnp（1p）V2
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