集合论图论重要习题100.docx

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集合论图论重要习题100

例：

1、设A,B是两个集合,B≠¢,试证:

若A×B=B×B,则A=B。

2、设A,B,C,D是任意四个集合，证明：

（A∩B）×（C∩D）=（A×C）∩（B×D）

3、某班30名学生中学英语有7人，学日语有5人，这两科都选有3人，问两科都不选的有多少人？

（|AC∩BC|+|A∪B|=30,|AC∩BC|=21人）

4、令N={1,2,3,…}，S:

N→N，则

（1）nN,S（n）=n+1,Ｓ称为自然数集N上的后继函数。

（2）S

（1）=1,nN,S（n）=n-1,n≥2,Ｓ称为自然数集N上的前仆函数。

5、设f:

N×NN,f（（x,y））=xy。

则

（1）说明f是否是单射、满射或双射？

（2）求f（N×{1}）,f-1（{0}）。

（1,4）≠（2,2）,f（（1,4））=f（（2,2））=4；

yN,f（（1,y））=1·y=y,任一元都有原象；

[f不是单射,f是满射]

f（N×{1}）={n·1|nN}=N；

f-1（{0}）={（x,y）|xy=0}={N×{0}}⋃{{0}×N}。

6、设R、I、N是实数、整数、自然数集合，下面定义映射f1,f2,f3,f4,f5,f6，试确定它们的性质。

（0N）

（1）f1:

RR,f1（x）=2x；

（2）f2:

IN,f2（x）=|x|；

f1单射，不是满射。

f2不是单射，满射。

（3）f3:

NN,f3（n）=n（mod3）；

（4）f4:

NN×N,f4（n）=（n,n+1）；

f3不是单射，不是满射；f4单射，不是满射。

（5）f5:

RR,f5（x）=x+2；

（6）f6:

RR,f6（x）=x2,x≥0,f6（x）=-2,x<0；

f5是双射（单射,满射）；f6不是单射,不是满射。

7、证明：

在52个正整数中，必有两个整数，使得这两个整数之和或差能被100整除。

8、已知m个整数a1，a2，…，am，试证：

存在两个整数k,l,0kim，使得ak+1+ak+2+…+al能被m整除。

9、设N={1,2,3,…},试构造两个映射f,g:

NN，使得fg=IN，但gfIN。

10、设N={1,2,3,…},试构造两个映射f,g:

NN，使得gf=IN，但fgIN。

11、设f:

XY，证明：

（1）f是单射F2X，f–1（f（F））=F；

（2）f是满射E2Y，f（f–1（E））=E。

12、设f:

XY，则

（1）若存在唯一的一个映射g:

YX,使得gf=IX,则f是可逆的吗？

（2）若存在唯一的一个映射g:

YX,使得fg=IY,则f是可逆的吗？

13、

（1）设X={1,2,3},Y={a,b},求X到Y满射的个数;

（2）设X={1,2,3,4,5},Y={a,b},求X到Y的满射的个数;

（3）设X={1,2,…,n},Y={a,b}，求X到Y的满射的个数;

（4）设X={1,2,…,n},Y={y1,y2,…,ym},nm,若f:

XY，求X到Y的满射的个数。

14、设X是一个集合，|X|＝n，求：

（7）X上既不是自反的也不是反自反的关系有多少？

（9）X上自反的或对称的关系有多少？

（12）X上既不是对称的也不是反对称的关系有多少？

15、设A={1,2,3}，R是A的幂集2A上的二元关系且R={（a,b）|a∩b≠¢}，则R不满足下列哪些性质？

为什么？

[aRba∩b≠¢]

（1）自反性

（2）反自反性（3）对称性

（4）反对称性（5）传递性

16、设R是复数集合C上的一个二元关系且满足

xRyx-y=a+bi，a,b为非负整数，试确定R的性质。

17、设R为X上的二元关系，显然若R＝¢，则R是反自反的、对称和传递的；但若R≠¢且R是反自反的和对称的，则R不是传递的。

此题可变形为：

但若R≠¢且R是反自反的和传递的,则R是反对称的。

18、设R是集合A上的反对称关系，则t（R）一定是反对称的吗？

19、设R是集合A上的一个自反的和传递的关系；

T是A上的一个关系，使得（a,b）∈T（a,b）∈R且（b,a）∈R。

证明：

T是A上的等价关系。

20、设R是A上的二元关系，S={（a,b）|c∈A,使得（a,c）∈R且（c,b）∈R}。

证明：

若R是等价关系，则S也是等价关系。

说明：

本题可以证明R＝S。

21、设{A1,A2,…,An}是集合A的划分，若Ai∩B≠φ，1≤i≤n，证明：

{A1∩B,A2∩B,…,An∩B}是集合A∩B的划分。

22、设S={1,2,3,4},并设A＝S×S,在A上定义关系R为:

（a,b）R（c,d）a+b=c+d。

证明:

（1）R是A上的等价关系；

（2）计算A/R。

23、设集合A={a,b,c,d,e}上关系R定义如下：

R={（a,a）,（a,b）,（a,c）,（a,d）,（a,e）,（b,b）,（b,c）,（b,e）,

（c,c）,（c,e）,（d,d）,（d,e）,（e,e）}。

1.写出R的关系矩阵；

2.验证（A,R）是偏序集;

3.画出Hasse图;

4.若A上的关系如下：

R={（a,a）,（a,b）,（a,c）,（a,d）,（a,e）,（b,b）,（b,c）,（b,e）,

（c,c）,（c,d）,（c,e）,（d,d）,（d,e）,（e,e）}，则有如何？

24、用对角线方法证明：

若A是可数集，则2A是不可数集。

25、用对角线方法证明：

所有0,1的无穷序列所构成的集合是不可数集。

26、设T是一棵树,T有3个度为3顶点,1个2度顶点，其余均是1度顶点。

则

（1）求T有几个1度顶点？

（2）画出满足上述要求的不同构的两棵树。

27、设T是一棵树且△（T）≥k，证明T中至少有k个度为1顶点。

28、设G是一棵树且Δ（G）≥k，证明：

G中至少有k个度为1的顶点。

29、一棵树T有n2个度为2的顶点，n3个度为3的顶点，…，nk个度为k的顶点，则T有多少个度为1的顶点？

30、如图所示是彼德森图，回答问题：

（1）图是否是自补图？

（2）图是否是偶图？

（3）图是否是欧拉图？

（4）图是否是哈密顿图？

（5）图是否是平面图？

（6）图的色数是多少？

31、证明：

若每个顶点的度数大于等于3时，则不存在有7条边的平面连通图。

（等价命题：

证明：

不存在7条棱的凸多面体）

32、设G是顶点p≥11的平面图，证明：

G的补图Gc是非平面图。

（设G是顶点p≥11的图，证明：

G与G的补图Gc至少有一个是非平面图。

）

33、设G是边数q<30的平面图,证明:

G中存在顶点v，使得degv≤4。

34、设G是（p,q）平面连通图，f个面，证明：

（1）若p≥3，则f≤2p-4；

（2）若δ（G）=4，则G中至少有6个顶点的度数

小于等于5。

证:

（1）p-q+f=2,q≤3p-6,从而有:

f≤2p-4。

（2）假设G中至多含有5个顶点的度数≤5，又δ（G）=4,所以5×4+6×（p-5）≤2q，得q≥3p-5。

而q≤3p-6，从而有：

3p-5≤3p-6，矛盾。

故假设不成立，因此G中至少有6个顶点的度数≤5

35、把平面分成n个区域，每两个区域都相邻,问n最大为多少？

证：

在每个区域放一个顶点，当两区域相邻时，就在相邻的两个顶点间连一条边，如此构造了一个平面图且是完全平面图，而最大的完全平面图为K４，所以n最大为4。

36、证明:

当每个顶点的度数大于等于3时，不存在有7条边的简单连通平面图。

证：

设G=（n，m）为简单连通平面图，有r个面。

若m=7，由欧拉公式知n+r=m+2=9

（1）而每个面至少由3条边围成，有3r≤2m，则r≤2m/3，因r是整数,故r≤４。

又对任意得顶点v∈V，degv≥3，有3n≤2m，故n≤2m/3，因为n是整数，故n≤４。

所以n+r≤４＋４=８与（１）矛盾，所以结论正确。

37、设G是一个没有三角形的平面图，则

（1）证明：

G中存在一个顶点v，使得degv≤3；

（2）证明：

G是4-可着色的。

38、设树T中有2n个度为1的顶点,有3n个度为2的顶点,有n个度为3的顶点,则这棵树T有几个顶点和几条边？

39、设T是一棵树且△（T）≥k,证明:

T中至少有k个度为1的顶点。

40、设G是一个（p,q）图,若q≥p,证明G中必有圈。

41、证明:

任一非平凡树最长路的两个端点都是树叶。

（任一非平凡树中至少有两个度为1的顶点。

）

42、证明:

恰有两个顶点度数为1的树必为一条通路。

43、设T=（V,A）是一个有根树,其每个顶点的出度不是0就是2。

若T有n0个叶子，试求T的弧的条数。

44、设T=（V,A）是一个正则二元树,若T有n0个叶子，试求的弧的条数。

45、设T是有n0个叶子的正则二元树，n2个出度为2的顶点，证明：

n0=n2+1。

46、设T是有n0个叶子的二元树，出度为2的顶点为n2，证明：

n0=n2+1。

47、设T是一个有p个顶点的正则二元树，求T的叶子数，其中p奇数。

48、证明：

任一棵正则（满）二元树必有奇数个顶点。

49、菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？

50、设G=（V,E）是连通图且顶点数为p,最小度数为δ，若p>2δ,则G中有一长至少为2δ的路。

51、设G=（V,E）是p（p>3）个顶点的简单无向图,设G中最长路L的长度为l（l≥2），起点与终点分别为u,v，而且degu+degv≥p。

证明：

G中必有与L不完全相同但长度也为L的路。

52、已知a,b,c,d,e,f,g7个人中，a会讲英语；b会讲英语和汉语；c会讲英语、意大利语和俄语；d会讲汉语和日语；e会讲意大利语和德语；f会讲俄语、日语和法语；g会讲德语和法语。

能否将他们的座位安排在圆桌旁，使得每个人都能与他身边的人交谈？

53、设G为p个顶点的简单无向图。

则

（1）若G的边数q=（p-1）·（p-2）/2+2，证明G为哈密顿图。

（2）若G的边数q=（p-1）·（p-2）/2+1，则G是否一定为哈密顿图？

54、已知9个人v1,v2,…,v9，其中v1和两个人握过手，v2,v3,v4,v5各和3个人握过手，v6和4个人握过手，v7,v8各和5个人握过手，v9和6个人握过手。

证明:

这9个人中一定可以找出3个人互相握过手。

55、

（1）一棵无向树有ni个度数为i的顶点,i=1,2,…,k。

n2,n3,….nk均为已知数，问n1应为多少？

（2）在

（1）中，若nr（3≤r≤k）未知，nj（j≠r）均为已知数，问nr应为多少？

56、设G是平面连通图，顶点为p面数f，证明:

（1）若p≥3，则f≤2p-4。

（2）若δ（G）=4,则G中至少有6个顶点的度数≤5。

57、设d=（d1,d2,…,dn）,其中di为非负整数，i=1,2,…,n。

若存在n个顶点的（简单）无向图,使得顶点vi的度为di，则称d是可图解的。

下面给出的各序列中哪些是可图解的？

哪些不是，为什么？

（1）（1,1,1,2,3）；（6）（1,3,3,3）；

（2）（0,1,1,2,3,3）；（7）（2,3,3,4,5,6）；

（3）（3,3,3,3）；（8）（1,3,3,4,5,6,6）；

（4）（2,3,3,4,4,5）；（9）（2,2,4）；

（5）（2,3,4,4,5）；（10）（1,2,2,3,4,5）。

58、设G是有个p顶点，q条边的