普通高等学校招生全国统一考试文科数学全国2卷.docx
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普通高等学校招生全国统一考试文科数学全国2卷
1.[ID:
4005113】集合A=||；r|<3,；reZ},B={;c||;c|>l,rr€Z},那么AnB=（
A.0
B.{-3,—2,2,3}
C.{-2©2}
D.{-2,2}
【答案】D
【解析】解：
集合X={x||a:
|<3,xeZ}={x|-3B=[x\\x\>l,xeZ]={x\x<—1或①>1,t€Z},
:
AC\B={-2,2}.
应选：
D.
2.[ID:
4005114]（l-i）4=（）
A.-4
B.4
C.-4i
D.4i
【答案】A
【解析】解：
（l-i）4=[（l-i）2]=（—2i）2=—4.
应选：
A.
3.[ID:
4005115]如图，将钢琴上的12个键依次记为如，a2,…，刚.设
^12.假设k-j=3且）一2=4,那么称偽，丐,咬为原位大三和弦：
假设k—j=4且
J-2=3,12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）
IIIII
di心似％心％r/|2
A.5
B.8
C.10
D.15
【答案】C
【解析】解：
假设Ar—j=3且j-i=4,那么偽，如，血:
为原位大三和弦，
即有?
=1,）=5,k=8；i=2,j=6,血=9；i=3»）=7,上=10；i=4,j=8,血=11；
£=5,j=9,k=12,共5个；
假设k—j=4且jT=3,那么血，如，为原位小三和弦，
可得?
=1,）=4,鸟2;>=2,j=5,沧=9；£=3,）=6,上=10；?
=4,j=7,k=ll:
£=5,j=8,k=12,共5个，
总计10个.
应选：
C.
4.[ID:
4002671]在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当口订单的配货的概率不小于0.95,那么至少需要志愿者（）
A.10名
B.18名
C.24名
D.32名
【答案】B
【解析】解：
第二天的新订单超过1600份的概率为0.05,就按1600份计算，
第二天完成积压订单及当口订单的配货的概率不小于就按1200份计算，
因为公司可以完成配货1200份订单，那么至少需要志愿者为1600+警—1200=辽名，
5（）
应选：
B.
5.[ID:
4005117】单位向量万，〒的夹角为60°，那么在卞列向量中，与〒垂直的是（）
A.万+2了
B-2万+了
C.7i—2~b
D.2万—〒
【答案】D
【解析】解：
单位向量|=|6|=1,«*-T=lxlxcos60°=|,
对于A,〔万+2可•万=万.了+2亍2=扌+2=|,所以〔万+2牙〕与〒不垂直；对于B・〔27?
+T〕•~b=27t•T+T2=2xi+1=2,所以〔2万+了〕与〒不垂直;对于c,〔-•t-2~b2=|-2=-|,所以〔才一2了〕与〒不垂直;对于D,-~b=27t-T-T2=2x--1=0,所以〔2才—了〕与〒垂直.
应选：
D.
6.[ID:
4005]记5,为等比数列｛q“｝的前沱项和，假设05—03=12,a8-a4=24,那么〔〕
A.2,1-1
B.2-2—
C.2—2"一1
D.2-"—I
【答案】B
【解析】解：
设等比数列的公比为4
。
5—a：
＜=12,
・.他一。
4=?
@5一。
3〕，
•.q=2,
\%-Qiq2=12,
*.12ai=12,
\©=1,
l_2n
•.Sn=—=T~1,an=2-1,
Sn=r-1
=2_2—
应选：
B.
7.[ID:
4005119]执行如图的程序框图，假设输入的Ar=0,a=0,那么输出的上为〔〕
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】C
【解析】解：
模拟程序的运行，可得
k—0,Q=（）,
执行循环体，
a=l,
执行循环体，
a=3,
k—2；
执行循环体，
a=79
k—Z；
执行循坏体，
a=15
此时，满足判断框内的条件«>10,退出循坏，输出A*的值为4.
应选：
C.
&【ID:
4002673】假设过点〔2,1〕的圆与两坐标轴都相切，那么圆心到直线2—2/-3=0的距离为〔
A.迈
5
B陋
5
C.M
5
D./
5
【答案】B
【解析】解：
由题意可得所求的圆在第一彖限，设圆心为（a,a）,那么半径为a,故圆的方程为仗―a）?
+仿―a）2=a'2,再把点（2,1）代入,求得a=5或1,故要求的圆的方程为（；r-5）2+（"—5）2=25或（工一1）2十（“一I）?
=1•故所求圆的圆心为（5,5）或（1.1）；
2y/5
0.6>0）的两条渐
故圆心到直线2x-y-^0的距离d==学或d=2：
1出创:
应选：
B.
9.[ID:
4002676]设O为坐标原点，直线与双曲线C：
a-卜
近线分别交于Q,E两点,假设厶ODE的面枳为8,那么C的焦距的最小值为（
A.4
B.8
C.16
D.32
【答案】B
【解析】解：
由题意可得双曲线的渐近线方程为“=±-x,a
分别将代入可得y=±b,
即D（a.6）,E（a,-b）,
那么S、ode=2ax2b=ab=8,
/.c2=a2+62>2ab=16,当且仅当q=6=2辺时取等号,
.•.C的焦距的最小值为2x4-8,
应选：
B.
10.[ID:
4005120]设函数/（©）=?
-*,那么f（x）（）
A.是奇函数，且在（0?
-boo）单调递增
B.是奇函数，且在（0,+oo）单调递减
C•是偶函数，且在（O.+oo）单调递增
D.是偶函数，且在〔0,+oo〕单调递减
【答案】A
【解析】解：
因为/3〕=4存
那么f〔p〕=_/+1_=_f〔1〕,即f3〕为奇函数，
根据幕函数的性质可知，y=x^在〔0,+oo〕为增函数，故如=占在〔0,+oo〕为减函数，7/2=-^3
在〔O.+oo〕为增函数,
所以当©＞〔〕时,
f（z）=x3-
1
单调递增,
应选：
A.
11.[ID:
4002678]△ABC是面积为出的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上，假设
4
球O的外表积为167T,那么O到平面ABC的距离为〔〕
A.並
C.1
D.空
2
【答案】C
【解析】解：
由题意可知图形如图：
是面积为也的等边三角形，可得
4
44
.\AI3=BC=AC=39
可得：
片o=|x祟x3=爸，
球O的外表积为167T,
外接球的半径为：
4ttR2=i6,解得R=2,所以O到平面ABC的距离为：
^4^3=1-应选：
C.
A.lu（7/—a:
4-1）>0
B.1一⑦十1）<0
C.ln|z—3/|>0
D・In\x—y\<0
【答案】A
【解析】解：
由2Z-2V<3^-3^,可得2之—37<2"—3一匚
令/@）=2〞-3巴那么/（龙）在R上单调递增,且f（x）所以①09由于y-x-Vl>1,故ln（y-x+l）>In1=0,
应选：
A.
2
13.[ID:
4005121]假设sinx=--,那么cos2rr=
o
【答案】t
2
【解析】解:
•/sinrr=--,
O
cos2jt=1—2sin2x=l—2x
故答案为：
14.[ID:
4005122]为等差数列｛◎｝的前几项和.假设叭=一2,a2+a^=2,那么跖=
【答案】25
【解析】解：
因为等差数列｛血｝中，«1=-2,©+如=25=2,
所以a‘4=l,
3r/=a，i—«1=3,即d—1,
10x9
那么5io=10ft]+——rf=10x（-2）+45x1=25・
乙
故答案为：
25.
（®+"2-1
15.[ID:
4005123]假设匚，"满足约束条件＜x-y-1,那么z=x-^-2y的最大值是.
I2x-yW1
【答案】8
【解析】解：
作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=x-\-2y得y=-尹+*z,
平移直线y=-由图象可知当直线y=-经过点4时，直线y=-的截
距最人，
此时z最人，
由｛貫二解得月（2,3）,
此时z=2+2x3=8,
故答案为：
8・
16.[ID:
4002684]设有以下四个命题:
P1：
两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
2>2：
过空间中任意三点有且仅有一个平面.
P3：
假设空间两条直线不相交，那么这两条直线平行.
Pi：
假设直线2U平面Q，直线m丄平面Q,那么m丄
那么下述命题中所有真命题的序号是.
®PlAPl②AP2③->P2vP3④"3V->P4
【答案】①③④
【解析】解：
设有卞列四个命题：
P1:
两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.根据平面确实定定理可得此命题为真命题，
2>2：
过空间中任意三点有且仅有一个平面.假设三点在一条直线上那么有无数平面，此命题为假命题,
"3：
假设空间两条直线不相交，那么这两条直线平行，也有可能异面的情况，此命题为假命题，
pi：
假设直线2U平面0,直线m丄平面0,那么772丄1.由线面垂直的定义可知，此命题为真命题；由复合命题的真假可判断①PlAMl为真命题，②PlAP2为假命题，③vP3为真命题，④->P3V->P4为真命题，
故真命题的序号是：
①③④，
故答案为：
①③④，
17.AABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,cos2〔£+4〕+cos4=]
（1）【ID:
4005124】求4.
【答案】人=扌
51【解析】解：
由己知得sin2.44-cosA=-,即cos2A-cosA-\-7=0.
所以
44
cosA—-）=0，cos4=-由于0v月vtt,故-4=—,2/23
（2）【ID:
4005125］假设b_c=Y^a，证明：
是直角三角形.
3
【答案】见解析
【解析】解：
由正弦定理及条件可得sin2^-sinC=—siiiA.
3
由〔1〕知=y
所以sinB—sin
即*sinB-fcosB=|‘sin[b~§）=㊁.
由于018.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很人改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据（：
G,S）（i=t2,••••20）,其中②和⑷分别表示第i个样区的植物覆
2020
盖面积（单位：
公顷）和这种野生动物的数量，并计算得力②=60•工炉=12（）（）,
1=11=1
202020
刀@7）2=80,刀伽一亦2=9（）00,刀3_可你一切=&）（）•
（1）[ID:
4002687]求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）.
【答案】12000
2（）
【解析】由得样本平均数为一假设如
尸药=6°
60x200=12000,
•・・该地区这种野生动物数量的估计值为12000・
（2）[ID:
4002688]求样本（心,仏）（2=1,2,…，20）的相关系数（精确到0.01）.
【答案】
2（）__r（心一可伽一讷2nn9
r解帯】r=―）曰=-/'UU=；竝比
[解析】冋_92（）—\Z80xD0003■
一可K少一处
Vi=li=l
（3）[ID:
4002689]根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面枳差异很人，为提高样本的代表
性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由・
附：
相关系数「二
E（⑰一王）（s—可t=i
〔Xi-X〕2f〔7/t-Z/〕2
i=l
\/2=1.414・
【答案】见解析
【解析】分层抽样.根据植被覆盖面积分层再随机抽样.
理由：
由于植被覆盖面枳差异较大，即总体由差异明显的几个局部组成，分层抽样有利于保持
样本结构与总体结构的一致性，提高样本代表性・
19.椭圆
9
~2+
a-
£=1（a>6>0）的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,
C］的中心与Q
F且与工轴垂直的直线交C］于4、〃两点，交6于C,D两点，且
4
\CD\=-\A13\.
（1）【ID:
4005126】求6的离心率.
【答案】*
【解析】解：
解法一：
・・・C］右焦点与02右焦点与重合,
二设抛物线方程为沪=2皿,
P-2
•・・设抛物线方程为y2=4cx・
在椭圆Ci中，当k二卍时，
4-
/A解得:
『=冷,
2b2
/.\AB\=\y}-y2\=—，
在抛物线Q中，当①=£时，/=4〔；2,
\CD\=\yi-y2\=4c,
4y.-.-\CD\=-\AB\,
.4262①
二4c=-•—，①
3a
又•/&2=a2—c2»②
联立①®可得：
2〔#『+3〔#〕—2=0,
解得：
e=-=J或—2〔舍去〕，
a2
/.Ci的离心率e=扌.
解法二：
由可设6的方程为y2=4cx,其中c=x/^R・
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不叽51限，由题込5纵坐标分别为冬严
别为26-2c,故期=笋d°“叫标分
由呦切晌伯得J笋SP3x£=2_£
所以G的离心率为扌°a，得"一2〔舍去〕，
〔2〕[ID.4005127]假设q的四个顶点到a的准线距离,和％
叶咗揺“心…叫叫，求q与吶论
【解析】解••由⑴知―=忽，故补£+£=1所以6的四个顶点坐标分别为〔2c,°〕,〔_比0〕鳥:
;、为心-。
j,〔°,_负〕‘q的准线方程由得昭外十=12,即*2,
J；；准方程为訂討皿方程为亠沁篇爲:
爲严面心形’侧面叫畑廿g心点’过胸和劇平而：
薦f分别
且平面恥仙丄平面EB\C\F.
【解析】解：
解法一：
•.•三棱柱ABC-A^Ci,故AXA//BXB,
由矩形〃i〃CCi，N为"Qi中点，八/为〃。
中点，
B{N/_/_I3M.
平行四边形BXBMN,
:
MN//BxB//AxA.
•.•矩形B\BCC\,
.・.ZBBiN=90°.
•.•平行四边形BiBMN,
矩形,
BC丄.
•.•等边△貝3C中，M为“C中点，
AMJ.BC.
丄3C
BCIMN,
AMnBC=M
:
.BClffiAXAMN.
又•/EF//BC,
:
EF丄面AXAMN.
又-：
EFC面E31QF,
.•.面AiAMN丄面EBiCF.
解法二：
因为N分别为DC,〃iCi的中点，
所以MN//CC{,
又由得£4i〃CCi，
故AAi//MN.
因为△A\B\C\是正三角形，
所以丄AiN.
又DCi±MN,
故B{CXL平面AiAMN.
所以平面AiAMN丄平面EByCF.
（2）【ID:
4005129］设。
为厶AaBC\的中心，假设ZO=」4〃=6,AO//平面E內C0,且7T
AMPN=-t求四棱锥B-EBrCyF的体积.
【答案】2d
【解析】解：
A0〃平面EBQF,AOu平面AlAMN，平面A{AMNH平面
EB、C\F=PN,
设AO//PN,
又AP//ON,
故四边形APNO是平行四边形，
所以PN=ao=6,AP=ON=|AM=V3,PM=細八/=2箱，EF=|BC=2,
ooo
因为〃C〃平面EBC1F,
所以四棱锥B-EB^F的顶点〃到底面EBiCiF的距离等于点M到底面EBQF的距离.
作MT丄PN,垂足为那么由
（1）知，丄平面EBC1F,
故MT=PMsinZA/PAr=3.
故面EBGF的面积为
|x（DC]+EF）xPN=i（6+2）x6=24,
21.己知函数/（x）=2Ina:
4-1・
（1）[ID:
4005130】假设f（x）^2x+cf求c的取值范围.
【答案】[―1,+do）
【解析】解：
设h（x）=f（a:
）-2x-c,那么h（a;）=2ln；c-2；r+l—c,其定义域为（0,+oo）9li（①）=-—2•
x
当Ocecl时，//（^）>0；当a：
>l时，//（x）<0・
所以力©）在区间（0J）单调递增，在（L+oo）单调递减，从而当1：
=1时，人仗）取得最大值，所以/z（l）=-l-C.
故当且仅当一1—CWO,即C>-1时，f（T）2;r+c.
所以c的取值范围为［-l.+oo）.
（2）［ID:
4005131】设a>0,讨论函数的单调性.
x—（1.
【答案】°@）在（0,a）,（«,4-OO）单调递减.
【解析】解：
93）=/3）一—e（0,a）U（a,+oo）,
x—ax—a
g，仗）=2（宁+1Z—1"）=2（1_卄1严）.
（ar—a）2（x—a）2
取c=-l得刃（①）=21ne-2；z:
+2,h（l）=°，那么由
（1）知，当龙启1时，即1—工+hieVO,
故当x€（0,a）U（a,十oo）时，1——+In—<（）,从而（/（乂）<0・
xx
1
x—t-\——
鮒为
心―7
所以g仗）在（0,a）,（a,-boo）单调递减.
22.曲线6，Q的参数方程分别为6：
<鬥mJ伽为参数），6：
\y=4sin20
参数）.
（1）【ID:
4002697］将Q,C?
的参放方程化为普通方程.
【答案】6：
工十g—4=0,0冬工冬4,0曲$4,
C'2:
2T—y2=4
【解析】解：
Ci：
计卩―4=0,0冬©冬4,g"W4,由C2的参数方程得宀2十£+2,y2=t2A-1-2,那么。
2：
x2—y2=4.
（2）【ID:
4002698］以坐标原点为极点，工轴正半轴为极轴建立极坐标系，设Ci，C2的交点为P.求圆心在极轴上，且经过极点和戸的圆的极坐标方程.
17
【答案】p——cos^=0
5
【解析】解:
⑦+罗一4=（）
①2—沪=4
m>0,GM满足题意,
那么\om\=\pm\9
即
17
10
即x+y2———rr=0,
5
®A/极坐标方程为p2-兰“cos0=（）,
5
17
即P-—cos0=0.
5
23.函数f（x）=\x-a~\+\x-2a+l\.
fW>（a-1）2，
当一时，等号成立,
f（①）$4,
.•.@-1）04,
—2a—320，
（q—3）@+1）20,（L€（—00,—1]U[3,+oo）・
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