2、已知f(x)=(
)x,若f(x)的图象关于直线x=1对称的图象对应的函数为g(x),则g(x)的表达式为________.
【规范解答】设g(x)上的任意一点A(x,y),则该点关于直线x=1的对称点B为B(2-x,y),而该点在f(x)的图象上.
∴y=(
)2-x=3x-2,即g(x)=3x-2.
【拔高】
1、已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x+
+2的图象关于点A(0,1)对称.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若g(x)=f(x)+
,且g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数a的取值范围.
【规范解答】
(1)设f(x)图象上任一点P(x,y),则点P关于(0,1)点的对称点P′(-x,2-y)在h(x)的图象上,
即2-y=-x-
+2,∴y=f(x)=x+
(x≠0).
(2)g(x)=f(x)+
=x+
,g′(x)=1-
.
∵g(x)在(0,2]上为减函数,
∴1-
≤0在(0,2]上恒成立,即a+1≥x2在(0,2]上恒成立,∴a+1≥4,即a≥3,故a的取值范围是[3,+∞).
2、已知函数y=f(x)的定义域为R,并对一切实数x,都满足f(2+x)=f(2-x).
(1)证明:
函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称;
(2)若f(x)是偶函数,且x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,求x∈[-4,0]时f(x)的表达式.
【规范解答】
(1)证明 设P(x0,y0)是函数y=f(x)图象上任一点,
则y0=f(x0),点P关于直线x=2的对称点为P′(4-x0,y0).
因为f(4-x0)=f[2+(2-x0)]=f[2-(2-x0)]=f(x0)=y0,所以P′也在y=f(x)的图象上,
所以函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称.
(2)解 当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],所以f(-x)=-2x-1.又因为f(x)为偶函数,
所以f(x)=f(-x)=-2x-1,x∈[-2,0].
当x∈[-4,-2]时,4+x∈[0,2],所以f(4+x)=2(4+x)-1=2x+7,
而f(4+x)=f(-x)=f(x),所以f(x)=2x+7,x∈[-4,-2].
所以f(x)=
课程小结
1.作函数图像的一般步骤是:
(1)求出函数的定义域;
(2)化简函数解析式;
(3)讨论函数的性质(如奇偶性、周期性)以及图像上的特殊点(如最高(低)点、拐点、端点等);
(4)利用基本函数的图像画出所给函数的图像.
2.要正确使用平移变换和对称变换作函数的图像.
3.函数的图像和解析式是函数关系的主要表现形式,它们的实质是相同的,在解题时经常要互相转化.在解决函数问题,尤其是较为繁琐的(如分类讨论、求参数的范围等)函数问题时要注意充分发挥图像的直观作用.