函数的图像及其变换.docx

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函数的图像及其变换

函数的图像及其变换

适用学科

数学

适用年级

高一

适用区域

通用

课时时长（分钟）

60

知识点

函数图像的作法

函数图像的变换

教学目标

1．在实际情境中，会根据不同的需要选择图像法、列表示、解析法表示函数．

2．会运用函数图像理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题．

3．会用数形结合的思想和转化与化归的思想解决数学问题．

教学重点

函数图像

教学难点

利用图像研究函数的单调性、最值、零点；利用图像研究方程、不等式问题．

教学过程

一、课堂导入

问题：

怎样画函数的图像？

函数图像的优势有哪些？

二、复习预习

在考试中，利用函数的图像通常解决一些函数性质、抽象函数等问题，可以直观的反映出此函数的特征。

描点法作图：

通过y轴和x轴的交点、描点、连线三个步骤画出函数的图像。

三、知识讲解

考点1描点法作图

方法步骤：

（1）确定函数的定义域；

（2）化简函数的解析式；

（3）讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值（甚至变化趋势）；

（4）描点连线，画出函数的图象．

考点2函数图像的变换

①平移变换：

函数y＝f（x＋a）（a≠0）的图像可以由y＝f（x）的图像向左（a>0）或向右（a<0）平移|a|个单位而得到；

函数y＝f（x）＋b，（b≠0）的图像可以由y＝f（x）的图像向上（b>0）或向下（b<0）平移|a|个单位而得到．

②伸缩变换：

函数y＝Af（x），（A>0，且A≠1）的图像可由y＝f（x）的图像上各点的纵坐标伸长（A>1）或缩短（0

函数y＝f（ωx），（ω>0，且ω≠1）的图像可由y＝f（x）的图像上各点的横坐标缩短（ω>1）或伸长（0<ω<1）到原来的

倍，纵坐标不变而得到．

③对称变换：

函数y＝－f（x）的图像可通过作函数y＝f（x）的图像关于x轴对称的图形而得到；

函数y＝f（－x）的图像可通过作函数y＝f（x）的图像关于y轴对称的图形而得到；

函数y＝－f（－x）的图像可通过作函数y＝f（x）的图像关于原点对称的图形而得到；

函数y＝f－1（x）的图像可通过作函数y＝f（x）的图像关于直线y=x对称的图形而得到；

函数y＝|f（x）|的图像可通过作函数y＝f（x）的图像，然后把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分保持不变而得到；

函数y＝f（|x|）的图像是：

函数y＝f（x）在y轴右侧的部分及其该部分关于y轴对称的部分．

考点3三种增长型函数之间增长速度的比较

（1）指数函数y＝ax（a>1）与幂函数y＝xn（n>0）

在区间（0，＋∞），无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于y＝ax的增长速度快于y＝xn的增长速度，因而总存在一个x0，当x>x0时有ax>xn.

（2）对数函数y＝logax（a>1）与幂函数y＝xn（n>0）

对数函数y＝logax（a>1）的增长速度，不论a与n值的大小如何总会慢于y＝xn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使x>x0时有logax

由

（1）

（2）可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在（0，＋∞）上，总会存在一个x0，使x>x0时有ax>xn>logax.

四、例题精析

考点一作函数的图像

例1分别画出下列函数的图象：

（1）y＝x2－2|x|－1;

（2）y＝

.

【规范解答】（3）y＝

.图象如图③.

（4）因y＝1＋

，先作出y＝

的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝

的图象，如图④.

【总结与反思】根据一些常见函数的图象，通过平移、对称等变换可以作出函数图象．掌握平移变换、伸缩变换、对称变换等常用方法技巧，可以帮助我们简化作图过程．

考点二识图与辨图

例2已知f（x）＝

，则下列函数的图象错误的是（　　）

【规范解答】先在坐标平面内画出函数y＝f（x）的图象，再将函数y＝f（x）的图象向右平移1个单位长度即可得到y＝f（x－1）的图象，因此A正确；

作函数y＝f（x）的图象关于y轴的对称图形，即可得到y＝f（－x）的图象，因此B正确；

y＝f（x）的值域是[0,2]，因此y＝|f（x）|的图象与y＝f（x）的图象重合，C正确；

y＝f（|x|）的定义域是[－1,1]，且是一个偶函数，当0≤x≤1时，y＝f（|x|）＝

，相应这部分图象不是一条线段，因此选项D不正确．

综上所述，选D.

【总结与反思】正确把握图象变换的特征，结合f（x）的图象识辨．

考点三函数图像的应用

例3直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．

【规范解答】y＝

作出图象，如图所示．

此曲线与y轴交于（0，a）点，最小值为a－

，要使y＝1与其有四个交点，只需a－

<1

.

【总结与反思】画出函数图像，根据函数图象，可以比较函数值大小，确定参数范围。

五、课堂运用

【基础】

1、已知函数f（x）＝

，则y＝f（x）的图象大致为（　　）

【规范解答】当x＝0时，函数无意义，排除选项D中的图象，

当x＝

－1时，f（

－1）＝

＝－e<0，排除选项A、C中的图象，故只能是选项B中的图象．

2、函数y＝5x与函数y＝－

的图象关于（　　）

A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称

【规范解答】y＝－

＝－5－x，可将函数y＝5x中的x，y分别换成－x，－y得到，故两者图象关于原点对称．

答案　C

【巩固】

1、当0

时，4x

A．（0，

）B．（

，1）C．（1，

）D．（

，2）

【规范解答】∵0

，∴1<4x≤2，∴logax>4x>1，∴0

令f（x）＝4x，g（x）＝logax，当x＝

时，f（

）＝2.（如图）

而g（

）＝loga

＝2，∴a＝

.

又∵g（x）＝logax，x0∈（0,1），a1，a2∈（0,1）且a1loga1x0，

∴要使当0

时，4x

需

2、已知f（x）＝（

）x，若f（x）的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为g（x），则g（x）的表达式为________．

【规范解答】设g（x）上的任意一点A（x，y），则该点关于直线x＝1的对称点B为B（2－x，y），而该点在f（x）的图象上．

∴y＝（

）2－x＝3x－2，即g（x）＝3x－2.

【拔高】

1、已知函数f（x）的图象与函数h（x）＝x＋

＋2的图象关于点A（0,1）对称．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若g（x）＝f（x）＋

，且g（x）在区间（0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．

【规范解答】

（1）设f（x）图象上任一点P（x，y），则点P关于（0,1）点的对称点P′（－x,2－y）在h（x）的图象上，

即2－y＝－x－

＋2，∴y＝f（x）＝x＋

（x≠0）．

（2）g（x）＝f（x）＋

＝x＋

，g′（x）＝1－

.

∵g（x）在（0,2]上为减函数，

∴1－

≤0在（0,2]上恒成立，即a＋1≥x2在（0,2]上恒成立，∴a＋1≥4，即a≥3，故a的取值范围是[3，＋∞）．

2、已知函数y＝f（x）的定义域为R，并对一切实数x，都满足f（2＋x）＝f（2－x）．

（1）证明：

函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称；

（2）若f（x）是偶函数，且x∈[0,2]时，f（x）＝2x－1，求x∈[－4,0]时f（x）的表达式．

【规范解答】

（1）证明　设P（x0，y0）是函数y＝f（x）图象上任一点，

则y0＝f（x0），点P关于直线x＝2的对称点为P′（4－x0，y0）．

因为f（4－x0）＝f[2＋（2－x0）]＝f[2－（2－x0）]＝f（x0）＝y0，所以P′也在y＝f（x）的图象上，

所以函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称．

（2）解　当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，所以f（－x）＝－2x－1.又因为f（x）为偶函数，

所以f（x）＝f（－x）＝－2x－1，x∈[－2,0]．

当x∈[－4，－2]时，4＋x∈[0,2]，所以f（4＋x）＝2（4＋x）－1＝2x＋7，

而f（4＋x）＝f（－x）＝f（x），所以f（x）＝2x＋7，x∈[－4，－2]．

所以f（x）＝

课程小结

1．作函数图像的一般步骤是：

（1）求出函数的定义域；

（2）化简函数解析式；

（3）讨论函数的性质（如奇偶性、周期性）以及图像上的特殊点（如最高（低）点、拐点、端点等）；

（4）利用基本函数的图像画出所给函数的图像．

2．要正确使用平移变换和对称变换作函数的图像．

3．函数的图像和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化．在解决函数问题，尤其是较为繁琐的（如分类讨论、求参数的范围等）函数问题时要注意充分发挥图像的直观作用．