七下教师平行线 提高试题.docx

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七下教师平行线提高试题

第讲平行线

知识精讲

平行公理：

过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

推论（平行线的传递性）：

平行同一直线的两直线平行。

∵a∥c，c∥b

∴a∥b。

平行线的性质：

1.两条平行被第三条直线所截，同位角相等。

简单说成：

两直线平行，同位角相等。

2.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

简单说成：

两直线平行，内错角相等。

3.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

简单说成：

两直线平行，同旁内角互补。

平行线的性质公理注意：

①注意条件“经过直线外一点”，若经过直线上一点作已知直线的平行线，就与已知直线重合了；

②平行公理体现了平行线的存在性和唯一性；

③平行公理的推论体现了平行线的传递性。

④在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论。

这是平行线特有的性质。

不要一提同位角或内错角就认为他们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，他们是不成立的。

一、选择题

8、如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G、H，已知∠1=∠2=50°，GM平分∠HGB交直线CD于点M．则∠3=（　　）

A、60°B、65°C、70°D、130°

分析：

根据邻补角的性质与∠1=50°，求得∠BGH=180°-50°=130°，由GM平分∠HGB交直线CD于点M，得出∠BGM的度数，根据同位角相等，两直线平行，得到AB∥CD，从而利用平行线的性质求得∠3的度数．

解答：

解：

∵∠1=50°，

∴∠BGH=180°-50°=130°，

∵GM平分∠HGB，

∴∠BGM=65°，

∵∠1=∠2，

∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），

∴∠3=∠BGM=65°（两直线平行，内错角相等）．

故选B．

二、填空题

如图，直线EF分别与直线AB、CD相交于点P和点Q，PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，并且∠1=∠2，说出图中哪些直线平行；并说明理由。

解：

AB//CD，PG//QH，理由“略

1、如图1，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2=____180度．

如图2，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3=____360度．

如图3，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=____540度．

如图4，MA1∥NA5，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=____720度．从上述结论中你发现了什么规律？

如图5，MA1∥NAn，则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=____180（n-1）度．

解：

如图1，

∵MA1∥NA2，

∴∠A1+∠A2=180°．

如图2，过点A2作A2C1∥A1M，

∵MA1∥NA3，

∴A2C1∥A1M∥NA3，

∴∠A1+∠A1A2C1=180°，∠C1A2A3+∠A3=180°，

∴∠A1+∠A2+∠A3=360°．

如图3，过点A2作A2C1∥A1M，过点A3作A3C2∥A1M，

∵MA1∥NA3，

∴A2C1∥A3C2∥A1M∥NA3，

∴∠A1+∠A1A2C1=180°，∠C1A2A3+∠A2A3C2=180°，∠C2A3A4+∠A4=180°，

∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540°．

如图4，过点A2作A2C1∥A1M，过点A3作A3C2∥A1M，

∵MA1∥NA3，

∴A2C1∥A3C2∥A1M∥NA3，

∴∠A1+∠A1A2C1=180°，∠C1A2A3+∠A2A3C2=180°，∠C2A3A4+∠A3A4C3=180°

∠C3A4A5+∠A5=180°，

∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=720°．

从上述结论中你发现了规律：

如图5，MA1∥NAn，则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=180（n-1）度．

故答案为：

180，360，540，720，180（n-1）．

三、解答题

1、如图，已知∠3+∠DCB=180°，∠1=∠2，∠CME：

∠GEM=4：

5，求∠CME的度数

解：

如图，

∵∠3=∠ABC，∠3+∠DCB=180°，

∴∠ABC+∠DCB=180°，

∴DC∥AB，

∴∠2=∠4，

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠4，

∴CM∥EG，

∴∠CME+∠GEM=180°，

∵∠CME：

∠GEM=4：

5，

∴∠CME=

4

9

×180°=80°．

2、

（1）如图①，已知AB∥CD，求证：

∠A+∠C=∠E

（2）直接写出当点E的位置分别如图②、图③、图④的情形时∠A、∠C、∠E之间的关系．

②中∠C、∠A、∠AEC之间的关系为

 ③中∠C、∠A、∠AEC之间的关系为

④中∠C、∠A、∠AEC之间的关系为

（3）在

（2）中的3中情形中任选一种进行证明．

分析：

（1）过E作EF∥AB的直线，根据内错角相等可得出三个角的关系；

（2）②过E作EF∥AB的直线，根据两直线平行，同旁内角互补可得出三个角的关系；③连接AC并延长，然后根据平行线的性质及外角的性质，可得出三个角的关系；④根据平行线的性质及外角的性质，可得出三个角的关系；

（3）在

（2）中，选④进行证明，由平行线的性质可得：

∠1=∠A，由外角的性质可得：

∠1=∠C+∠AEC，然后将∠1=∠A，代换即可得证．

（1）证明：

E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠1=∠A，∠2=∠C，

∵∠AEC=∠1+∠2，

∴∠AEC=∠A+∠C；

（2）②∠C+∠A+∠AEC=360°；

③∠C=∠A+∠AEC；

④∠A=∠AEC+∠C；

（3）在

（2）中，选④进行证明，

∵AB∥CD，

∴∠1=∠A，

∵∠1=∠C+∠AEC，

∴∠A=∠C+∠AEC．

3.已知：

如图，AB∥CD，AE∥DF，∠A=50°，∠C=25°，求∠F的度数．

解：

如图，延长AE交CD于点G．

∵AB∥CD（已知）

∵AE∥DF（已知）

∴∠F=∠2=105°（两直线平行，同位角相等）

4. 已知，如图，AB∥CD，∠A=55°，∠C=60°，∠1=20°，求∠AEF的度数.

解：

如图，过点E作GH∥AB．

∵∠1=20°（已知）

∴∠2=∠GEC-∠1

    =60°-20°

    =40°（等式性质）

∴∠AEF=∠2+∠3

      =40°+55°

      =95°（等式性质）

5.已知：

如图，AB∥EF．求证：

∠1+∠2-∠BCE=180°．

证明法一：

如图，

延长FE交BC于点G，

∵AB∥EF（已知）

∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）

∵∠3是△GCE的一个外角（外角的定义）

∴∠3=∠BCE+∠4（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∴∠1=∠BCE+∠4（等量代换）

∵∠4=180°-∠2（平角的定义）

∴∠1=∠BCE+180°-∠2（等量代换）

∴∠1+∠2-∠BCE=180°（等式性质）

证明法二：

如图，过点C作CG∥AB．

 ∴∠3=180°-∠2（等式性质）

∵∠3=∠BCG-∠BCE（已知）

∴∠3=∠1-∠BCE（等量代换）

∴180°-∠2=∠1-∠BCE（等量代换）

∴∠1+∠2-∠BCE=180°（等式性质）

6、如图

（1），AB∥CD，且点E在AB、CD之间，则有∠AEC=∠A+∠C，请说明理由．如图

（2），现仍有AB∥CD，但点E在AB、CD的下方，那么∠BED与∠B，∠D之间又有怎样的关系呢？

请说明理由．

分析

（1）过点E作EF∥AB，可得EF∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠A=∠1，∠2=∠C，然后即可得证；

（2）根据两直线平行，同位角相等可得∠B=∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．

（1）证明：

如图，过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠A=∠1，∠2=∠C，

∵∠AEC=∠1+∠2，

∴∠AEC=∠A+∠C；

（2）解：

∵AB∥CD，

∴∠B=∠1，

∵∠1=∠D+∠E，

∴∠BED=∠B+∠D．

7、已知：

如图，AB∥CD，∠B=30°，∠BEF=120°，∠EFD=130°，求∠D的度数．

解：

如图，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，

∴EM∥FN（平行于同一条直线的两条直线互相平行）

∵AB∥CD（已知）

∴EM∥CD，FN∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）

即AB∥EM∥FN∥CD

∴∠3=∠BEF-∠1

      =120°-30°

      =90°（等式性质）

∴∠4=180°-∠3

      =180°-90°

      =90°（等式性质）

∵∠EFD=130°（已知）

∴∠2=∠EFD-∠4

      =130°-90°

      =40°（等式性质）

∴∠D=40°（等量代换）

8、已知：

如图，CE平分∠ACD，点G是AB上一点，GF∥CE．若∠1=60°，∠2=20°，求∠BAC的度数．

解：

如图，过点A作AH∥GF.

∴∠2=∠3，∠4=∠5（两直线平行，内错角相等）

∵∠2=20°（已知）

∴∠3=20°（等量代换）

∵CE平分∠ACD（已知）

∴∠1=∠5（角平分线的定义）

∴∠1=∠4（等量代换）

∵GF∥CE（已知）

∴CE∥AH∥GF（平行于同一条直线的两条直线互相平行）

∵∠1=60°（已知）

∴∠4=60°（等量代换）

∴∠BAC=∠3+∠4

      =20°+60°

      =80°（等式性质）

9、已知：

如图，AB∥CD，E是AC上一点，∠B=30°，∠D=60°．求证：

BE⊥ED.

证明：

如图，过点E作EF∥AB

∵AB∥CD

∴CD∥EF∥AB（平行于同一条直线的两条直线互相平行）

∴∠B=∠1，∠D=∠2（两直线平行，内错角相等）

∵∠B=30°，∠D=60°（已知）

∴∠1=30°，∠2=60°（等量代换）

∴∠BED=∠1+∠2

      =30°+60°

      =90°（等式性质）

∴BE⊥ED（垂直的定义）

6.（本小题11分） 已知，如图，AB∥CD，∠B=50°，∠BEF=20°，∠D=40°，求∠FED的度数.

解：

如图，过点E作EG∥AB，

∵∠B=50°

∴∠BEG=50°

∵∠1=20°

∴∠2=∠BEG-∠1

    =50°-20°

    =30°

∵∠D=40°

∴∠3=40°

∴∠FED=∠2+∠3

      =30°+40°

      =70°

如图，若AB∥EF，∠C=90°，求x+y-z度数．

解：

如图，过点C、D分别作CM、DN平行于AB、EF，

则x=∠5，4=∠3，1=∠z，

又∠1+∠3=y，∠4+∠5=90°，

即x+∠4=90°，

又∠4=∠3=y-∠1=y-z，

∴x+y-z=90°．

8、

（1）完成下面的证明：

已知：

如图1，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD．

求证：

∠EGF=90°．

证明：

∵HG∥AB，（已知） 

∴∠1=∠3． （两直线平行，内错角相等）

又∵HG∥CD，（已知）

∴∠2=∠4．  （两直线平行，内错角相等）

∵AB∥CD，（已知）

∴∠BEF+∠ECD=180°．（两直线平行，同旁内角互补）

又∵EG平分∠BEF，（已知）

∴∠1=

∠BEH．（角平分线定义）

又∵FG平分∠EFD，（已知）

∴∠2=

∠EFD．（角平分线定义）

∴∠1+∠2=

（∠BEH+∠EFD）．

∴∠1+∠2=90°．

∴∠3+∠4=90°．（等量代换）．即∠EGF=90°．

（2）如图2，已知∠ACB=90°，那么∠A的余角是哪个角呢？

答：

∠B；

小明用三角尺在这个三角形中画了一条高CD（点D是垂足），得到图3，

①请你帮小明在图中画出这条高；

②在图中，小明通过仔细观察、认真思考，找出了三对余角，你能帮小明把它们写出来吗？

答：

a∠ACD与∠BCD；b∠A与∠ACD；c∠B与∠BCD．

③∠ACB，∠ADC，∠CDB都是直角，所以∠ACB=∠ADC=∠CDB，小明还发现了另外两对相等的角，请你也仔细地观察、认真地思考分析，试一试，能发现吗？

把它们写出来，并请说明理由．

（3）在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，已知A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3），B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．

①观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标为（16，3），B4的坐标为（32，0）．

②按以上规律将△OAB进行n次变换得到△AnBn，则可知An的坐标为（2n，3），

Bn的坐标为（2n+1，0）

③可发现变换的过程中A、A1、A2、…、An纵坐标均为3

．

解：

（1）答案为：

两直线平行，内错角相等；两直线平行，内错角相等；∠ECD，两直线平行，同旁内角互补；BEH，角平分线定义；EFD，角平分线定义；∠BEH，∠EFD，等量关代换；

（2）①如图所示，∠B，

 ②a、∠ACD与∠BCD；b、∠A与∠ACD；c、∠B与∠BCD；

③∠BCD=∠A，∠ACD=∠B，

理由如下：

∵∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，

∴∠BCD=∠A，

∵∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，

∴∠ACD=∠B；

（3）①（16，3）（32，0），②（2n，3）（2n+1，0）③3．

（1）根据平行线的性质与判定，角平分线的定义，结合图形填空即可；

（2）利用三角尺的直角作出高线，然后根据直角三角形的两锐角互余的性质解答；

（3）观察发现，点A系列的横坐标是2的指数次幂，指数为脚码序号，纵坐标都是3；点B系列的横坐标是2的指数次幂，指数是脚码加1，纵坐标是0，根据此规律解答．

9、如图，已知两条平行线AB，CD被直线EF所截，交点分别为G，H，P为HD上任意一点，由P向HF作射线OP，交点为O．

（1）当∠AGF=60°，∠HOP=35°时，求∠HPO的度数；

（2）当∠HOP=40°，∠HPO=25°时，求∠AGF的度数；

（3）由

（1）

（2）你发现∠HOP，∠AGF，∠HPO之间有什么关系？

（4）试说明你发现的三个角之间的关系的正确性．

分析

（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠GHD=∠AGH，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠HPO=∠GHD-∠HOP；

（2）先根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠GHD，再根据两直线，内错角相等可得∠GHD=∠AGF；

（3）根据计算结果解答；

（4）根据

（1）的思路解答即可．

解：

（1）∵AB∥CD，

∴∠GHD=∠AGH=60°，

∴∠HPO=∠GHD-∠HOP，

=60°-35°，

=25°；

（2）由三角形的外角性质，∠GHD=∠HOP+∠HPO，

=40°+25°，

=65°，

∵AB∥CD，

∴∠AGF=∠GHD=65°；

（3）∠AGF=∠HOP+∠HPO；

（4）∠AGF=∠HOP+∠HPO．

理由如下：

∵AB∥CD，

∴∠GHD=∠AGH，

由三角形的外角性质得，∠GHD=∠HPO+∠HOP，

∴∠AGF=∠HPO+∠HOP．

10、已知：

如图，直线EF分别交AB，CD于点E，F，且∠AEF=66°，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．

（1）求∠PEF的度数；

（2）若已知直线AB∥CD，求∠P的度数．

分析：

（1）根据平角的定义求得∠BEF=180°-∠AEF，再进一步根据角平分线的定义求解；

（2）根据三角形的内角和定理即可求解．

解答：

解：

（1）∵∠BEF=180°-∠AEF=180°-66°=114°，

又PE平分∠BEF，

∴∠PEF=

∠BEF=

×114°=57°；

（2）∵AB∥CD，

∴∠EFD=∠AEF=66°．

∵PF平分∠EFD，

∴∠PFE=

∠EFD=

×66°=33°．

∴∠P=180°-∠PEF-∠PFE=180°-57°-33°=90°

11、如图，A、B、C三点在同一直线上，∠1=∠2，∠3=∠D，试判断BD与CF的位置关系，并说明理由．

解：

BD∥CF，

理由如下：

∵∠1=∠2，

∴AD∥BF，

∴∠D=∠DBF，

∵∠3=∠D，

∴∠3=∠DBF，

∴BD∥CF．

分析：

首先根据∠1=∠2，可得AD∥BF，进而得到∠D=∠DBF，再由∠3=∠D，可以推出∠3=∠DBF，进而根据平行线的判定可得DB∥CF．