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生产函数模型

生产函数模型

第一节生产函数及其性质

一、生产函数

生产函数是经济学研究的一个重要函数，它表示在一定技术条件下，生产要素的某种组合同它可能生产的最大产出量之间的数量关系。

生产函数可以代表一个企业的生产过程，也可以代表一个部门的生产过程，在宏观经济模型中，它可以代表将整个经济系统看作是一个总合企业时的生产过程。

假定有n种生产要素，其投入量分别为Xi,X2，…,Xn，生产处于最佳状态时，最大产出（生产）量为Q，生产函数可表示为

Q=fXi,X2,,Xn（3.1.1）

生产函数表示了生产要素的投入与产出之间的技术关系，这里的“技术关系”是指在一定的时间内，技术水平不变的情况下，生产中的要素投入与最大产出量之间的关系。

二、关于生产函数的几个基本概念

（一）平均产量和边际产量

总产量被某一投入要素量除就是该要素的平均产量。

如投入要素Xi的平均

产量记AP

一种投入要素量增加一个单位，其它投入要素量不变时，产出的增加量称作边际产量。

边际产量可用导数表示，如投入要素Xi的边际产量记作MPj

（3.1.2）

（二）边际替代率

在技术水平不变的情况下，保持总产量不变，投入要素之间存在着替代性，

研究第i种投入要素增加一个单位，可以减少第j种投入要素的投入量，称作第i

种投入要素对第j种投入要素的边际替代率，也称技术替代率。

用MRSj表示要

素i对要素j的边际替代率

用增量形式表示：

MRSj=—凶（这里X,X异号）①

△Xi

dX-

用微分形式表示：

MRSj=—j（323）

jdXi

对（3.1.1）式全微分，只考虑第i种投入要素和第j种投入要素的变动，其它投入要素不变，则有

cfa

dQdXidX-

「Xi「Xj

保持总产量不变，即dQ=O,得出

dX-；：

f/；：

XjMPi

即MRS-二空（3.1.4）

jMPj

第i种投入要素对第j种投入要素的边际替代率是它们边际产量的比率。

（三）生产弹性与替代弹性

生产弹性是指生产量对某一种投入要素的弹性，定义生产量对第i种投入要

素的生产弹性为

―西0二込（3.1.5）

dXiQdlnXi

它解释为第i种投入要素增加百分之一时，产出量增加的百分比。

替代弹性是衡量投入要素间替代的难易程度。

替代弹性定义为：

当要素比率

（如Xj/XJ和边际替代率（MRSj）的变化都很小时，要素比率的变化幅度与边际替代率的变化幅度之比。

用微分表示

_dXj/XiMRSj

-一dMRSjXj/Xi

dXj/XjMR/MPj

dMPj/MPjXj/Xj

dInXj/Xi

（3.1.6）

dInMPi/MPj

这里MPi/MPj是第i种投入要素与第j种投入要素的边际生产率之比。

因此第i

①MRSj是Xi对Xj的边际替代率，Xj对人的边际替代率，记作MRSi=—AXj△Xj种投入要素对第j种投入要素的替代弹性可定义为投入要素比率（Xj/XJ的变化幅度与边际际生产率比率（MR/MPj）的变化幅度之比。

替代弹性越小，表示投入要素之间替代越困难；替代弹性为零，表示投入要素之间没有替代的可能性，以固定的比例相结合。

（4）规模收益

所谓规模收益就是在一定技术条件下，生产规模的变动（即投入要素投入量的变动）所引起产出量的变动。

设生产函数为Q=fXi,X2，…，Xn，给定■-1o

（1）如果f訣1,咲2,…,「Xn_fXi,X2，…,Xn，即规模扩大，倍后，生产者的收益fXi,X2^,Xn大于原来收益fXi,X2，…，Xn的■倍，此时，称规模收益递增。

（2）如果fXi,X2,IH,Xn=fXi,X2,川,Xn，此时称规模收益不变。

（3）如果fXi,X2,IH，Xn「fXi,X2,|||,Xn，此时称规模收益递减

现在考虑一种特殊的生产函数

Q=fXi,X2,,Xn

若对于任意的-0均有

fXi,X2,,Xn=rfXi,X2/,Xn

其中，》0为固定的数，此时称生产函数为r阶齐次生产函数，不难看出：

当r>i时，为规模收益递增；r=i时为规模收益不变；r

第二节几种常见的生产函数

一、柯布一道格拉斯生产函数

美国经济学家保罗•道格拉斯（PaulDouglas）i927年发现，资本创造的国民收入与劳动创造的国民收入间的比率在相当长的时间内基本保持不变。

这种

现象促使他思考是什么条件导致了这种固定比率。

道格拉斯求教于数学家查尔斯•柯布（Charlescobb）,发现下列生产函数具有这一性质：

Y=AK:

1心，0乞a^i（3.2.i）

这里丫表示国民收入；A为一正数，表示技术水平；K表示资本；L表示劳

动；〉表示资本对国民收入的贡献率（国民收入中的资本份额），1-〉表示劳动

对国民收入的贡献率（国民收入中的劳动份额）。

根据该函数，资本创造的国民收入为：

这里的MPk为资本的边际生产。

同样，劳动创造的国民收入为:

要素对产出量的贡献率，即该要素的生产弹性

gXiai

XiQ

对于生产函数（3.2.4），由于fX，伙2,…「Xn…X「X2，…，Xn,

匕2川为齐次性的次数，如果：

叱2川…：

：

；S>1，此时为规模收益递

增；如果>1•恥…心n=1，此时为规模收益不变；如果*2*」几二讣V1,

此时为规模收益递减。

一般C-D生产函数常采用如下形式

Q=AkL（3.2.5）

这里〉和1分别为资本弹性和劳动弹性。

二5■为齐次性的次数。

当二■■■-'>1时,

规模收益递增;-1时，规模收益不变；二5v1时，规模收益递减。

对于（3.2.5）式，资本和劳动的边际生产率为

^Qa二0Q

MPkaAKL:

k；:

KK

MPl=色=0AKaL^=

：

：

LL

根据（3.1.4）式，资本对劳动的边际替代率

由（3.1.6）式，资本对劳动的替代弹性

dInL/K

dIn

dln（L/K）

dIn:

厂InL/K1dIn（L/K）d

dInL/K-

由此可见，柯布一道格拉斯生产函数的替代弹性为1

要素替代弹性为1是柯布一道格拉斯生产函数的一个显著的特点。

因此分析某一生产问题，建立柯布一道格拉斯生产函数必须假定要素（资本K、劳动L）

的替代弹性为1。

事实上，不同的行业，要素之间的替代弹性是不同的，而且更不可能都等于1。

这就是柯布一道格拉斯生产函数应用上的一个缺陷。

C—D生产函数的估计：

将C—D生产函数（3.2.5）写成对数线性形式

InQ=b心InK亠，InLu（3.2.6）

式中b=1nA，对（3.2.6）可直接利用OLS估计。

但是由于K和L往往是相关的，

因此（3.2.6）中InK和InL会出现共线性。

假定生产处在规模收益不变阶段，即

:

止七-1，则（3.2.6）式可写作

InQ=b：

InKu（3.2.7）

LL

（3.2.7）式是C—D生产函数的相对变量形式，对（3.2.7）式应用OLS估计出参数［，进而求得:

的估计量。

二、固定替代弹性（CES）生产函数

上面柯布一道格拉斯生产函数是固定替代弹性（CES）生产函数的一种特

例。

以两种投入要素为例，CES生产函数形式为：

1

Q=A：

1X1°：

2X2」=（3.2.8）

这里，A>0，Ovaiv1,i=1,2,a1+a2=1。

可以证明（328）式给出的CES生产函数具有不变规模收益。

因为

1

Q=A[:

rXjy2x2一丁'

1

='A（為Xj*工2X2r）”

在实际应用中取消了这一假定，将（3.2.8）式改写作

m

Q=（：

1X1=：

-2XrK（3.2.9）

对于（3.2.9）式有

m

A[：

1XJ：

2X2〒

m

=m[A（：

梯1一‘：

2X2"）']

当m=1为规模收益不变，m>1为规模收益递增，mv1为规模收益递减。

（3.2.9）式为实际应用的CES生产函数的理论模型。

投入要素的边际生产率：

对于X1

次1IP丿

/Q计

=%-卩2（3.2.10）

lX1」

同样，对于X2

MR2=«2^—（3.2.11）

lX2」

由（3.2.10）和（3.2.11）可以看出当1?

>0时，要素的边际生产率递减。

r1

由于fX1,X2二aL「一檢「•■一‘丸"*

=■A^X^--2x2_:

?

^

此说明，CES生产函数具有不变规模收益

CES生产函数的边际替代率:

f、护

MRS12

MR些X2

MR2«2

当1?

>0时，随着X1的增加，X2逐渐减少，CES生产函数的边际替代率呈递

减趋势

CES生产函数的替代弹性：

”dln（X2/XJdin（X2/X1）

'=dlnMP1/MP2=d|n:

.1x21：

?

dln^CXJ

=dln（X2/Xj）

=din：

1/：

21rinX2/X11

din（X2/X1）1

一1rdlnX2久"1?

因此，CES生产函数的替代弹性为一固定值，当t=0时，替代弹性为1,CES

生产函数便成为柯布一道格拉斯生产函数。

将CES生产函数模型（3.2.9）写作经济计量形式

m

q=a^xr2xr%

两边取对数得

mioo.

lnQ=lnA——ln転点1^+0（2乂e（3.2.12）

冷2

将其中的ln：

^X^1>2X^在】-0处展开Taylor级数，取0阶、1阶、2阶项，

代入（3.2.12）式，得到

2

1x

lnQ=lnA+c^mlnX^i+a2mlnX2-一Pma®?

ln—（3.2.13）

2iX2丿

X

对于（3.2.13）式，令丫=lnQ,Z1=lnX1，Z2=lnX2，Z3二（ln1）2；b0=lnA，6_：

“m，X2

1

b2二二2m，b3m〉「2，（3.2.13）式可以表示为

丫=8b1Z1-b2Z2b3Z3；（3.2.14）

对于模型（3.2.14）可利用OLS进行估计，得到b0,b1，b2，b3的估计值，利

用对应关系肚1+肚2=〔，可计算得到关于参数A，pm，%，a2的估计值。

第三节投入要素最佳组合的优化模型

设n种投入要素的生产函数为

Q二fXiX,,Xn（3.3.1）

设-.i，i=12…，n,是投入要素Xi的“单价”（如果投入要素为劳动，••为工资率，投入要素为资本，「为利息率）；P为产出品价格（若为多种产出品，P为平均价格）o现给出投入要素最佳组合的二种优化模型。

一、利润最大化模型

企业的目标是追求尽可能多的利润，即在产品的价格和投入要素的价格一定时，选择最佳的投入要素组合，使其利润最大化。

对于生产函数（3.3.1）,用二表示利润，则生产决策可表示为：

选择最佳投入要素组合（Xi,X2/,Xn）使利润

最大化，即

（3.3.2）

（3.3.3）

（3.3.4）

XmaXX蔥=Pf-•’iXi—2X2•III・nXn

s.t:

Xj_0,i=0,1,2,...,n

该问题的一阶必要条件为

f

Pi=0

;Xi:

Xi

i=1,2,,n,

即RMRi

i=1,2」||,n

（3.3.4）表示投入要素的边际产品价值应当等于它的价格。

为理解这一必要条件，我们不妨增加要素1的投入量X1，则产品的增量（边际产品）.g二MP1」X1的价值为PMP1X1，这一边际产品的成本为-■1"-：

X1o如果边际产品价值大于它的成本，那么增加要素1投入就可增加利润；如果边际产品价值小于它的成本，那么减少要素1的投入就可增加利润。

最优决策是要素1的投入量的选择必须使边际产品价值等于它的边际成本，即得（3.3.4）

解（3.3.3）式可求得要素最佳投入量Xi,i=1,2/,n。

进而根据生产函数求

得最佳产量

Q=fX1,X1,,Xn

假定投入要素分为资本（

K）和劳动（L）两种，两种要素的价格分别为-1

和•匕，采用C-D生产函数Q二AK讣：

，利润最大化化问题为

max二二PQ「吗K7：

：

2L

一阶必要条件为

PA-d-^=0；:

K

PAKL^--2=0

:

L

求得最佳投入量为

a

「PPAa~k

t心1豹2*

（335）

（336）

最佳投入量受投入要素价格和产品价格的影响。

最佳产量为

Q二AK:

L:

aP

（337）

=A占性严理严

—©1丿导2丿

、成本最小化模型

现在假定企业设定产量目标为Qo，则为了达到利润最大，企业应在保证产

量目标的前提下使生产成本最小:

min「Xi•洛2川nXn

fXi,X2」）l,Xn二Qo

最小化问题的拉格朗日函数为

LXi,X2,,Xn；=1X1nXnfXi,,Xn-Qo1

一阶必要条件为

丿

乩=4十九乱=0i=1,2,…,n

cX.cXi

d=f_Q=0

上面第二个一阶条件实际上就是产量约束。

通过解上面一阶条件方程组即可得要素最佳投入量。

现仍以C-D生产函数为例，求解成本最小化问题：

st：

AX1aX2=Q0

作拉格朗日函数

LX「X2；-“Xr2X2iAXFX2-Q0

一阶必要条件

—=AX；X2：

-Q0=0

X2二

（3.3.8）

（3.3.9）

Xi

由此求得最佳投入量

最佳投入量受投入要素价格和产量指标的影响，而与产品价格无关

第四节实例：

某工业企业生产函数

某工业企业1990—2004年总产值、资本投入量和职工人数的统计资料如表2.4.1

表2.4.1

年份

总产值

总资本

职工人数

年份

总产值

总资产

职工人数

Y:

力兀

K:

力兀

L:

人

Y:

万元

K:

万元

L:

人

1990

3197.28

281.50

120753

1998

5648.00

616.70

153714

1991

3233.35

284.40

122242

1999

6237.09

695.70

164783

1992

3296.62

289.00

125263

2000

6926.71

790.30

176846

1993

3904.50

375.80

128539

2001

7237.55

816.00

188146

1994

3931.56

375.20

131427

2002

7755.37

848.40

205841

1995

4136.28

402.50

134267

2003

8048.34

873.10

221748

1996

4651.09

478.00

139038

2004

9003.81

999.20

239715

1997

5185.61

553.40

146450

1、将该企业生产函数建为C—D生产函数，表示为（3.2.6）形式

InY=:

o―：

11nK亠很21nLu

（341）

根据表2.4.1数据，OLS估计结果如下：

InY?

=-0.04210.4039InK0.60051nL

（-0.48）（41.81）（122.60）

R2=0.9999,F=132368,DW=2.46（3.4.2）

回归方程系数下方括弧内为对该系数检验的T统计量值（下同）。

假定生产处在规模收益不变阶段，即宀•=1，则c—D生产函数可变换

为如下形式

OLS估计结果如下

（3.4.3）

Y?

K

In0.02810.3963ln—

LL

（1.75）（140.69）

2

R=0.9993,F=19792,DW=2.32

（3.4.4）

2、将生产函数建为CES生产函数，表示为（3.2.13）形式

1K2

InY=1nA心mlnKnLm*2（In）u

（3.4.5）

OLS估计结果如下

InY?

--0.1830.4515InK0.5531InL—0.004（1nf）2

（-0.28）（2.03）（2.51）（-0.22）

（3.4.6）

R2=0.9999,F=81231,DW=2.45

由此估计出各参数：

m=1.005，-^=0.4497,2=0.5502，p=0.033

从C—D生产函数（3.4.1）和规模收益不变的C—D生产函数（3.4.3）的估

计结果看，在5%的显著水平下，回归系数（不考虑截距项）和回归方程都是显

著的，同时都有很高的拟合优度。

但从CES生产函数（3.4.5）的估计结果（3.4.6）中可以看出，两项系数的t检验都不显著。

由C—D生产函数（3.4.1）的估计结果得〉1*2=1.0044,说明存在规模收

益不变。

同时从CES生产函数（345）的估计结果可得:

2=0.999,亦说明

存在规模收益不变。

由p=0.033计算出资本和劳动两要素间的替代弹性为：

1

0.968

10.033

表明替代弹性接近函数。

1,由P与c的值看，该CES生产函数可以退化为C-D生产

由上面分析，可选取受规模收益不变约束的C-D生产函数作为该企业的生产函数。