4.(2010·上海)已知圆O1、圆O2的半径不相等,圆O1的半径长为3,若圆O2上的点A满足AO1=3,则圆O1与圆O2的位置关系是( A )
A.相交或相切B.相切或相离
C.相交或内含D.相切或内含
答案
解析 如图所示,当两圆外切时,切点A能满足AO1=3;当两圆内切时,切点A能满足AO1=3;当两圆相交时,交点A能满足AO1=3.所以选择A.
5.(2011·茂名)如图,⊙O1、⊙O2相内切于点A,其半径分别是8和4,将⊙O2沿直线O1O2平移至两圆相外切时,则点O2移动的长度是( D )
A.4B.8
C.16D.8或16
答案
解析 当⊙O2在⊙O1的右侧时,点O2向右平移8个单位;当⊙O2在⊙O1的左侧时,点O2向左平移16个单位.
二、填空题
6.(2011·苏州)如图,已知AB是⊙O的一条直径,延长AB至C点,使得AC=3BC,CD与⊙O相切,切点为D.若CD=
,则线段BC的长度等于_____1_____.
答案
解析 连接OD.∵CD与⊙O相切,∴OD⊥CD.
∵AC=3BC,
∴OA=OB=BC.
在Rt△OCD中,设OD=r,则OC=2r,r2+(
)2=(2r)2,
∴r=1,即BC=r=1.
7.(2011·南充)如图,PA、PB是⊙O是切线,A、B为切点,AC是⊙O的直径,若∠BAC=25°,则∠P=_____50_______度.
答案
解析 ∵∠BAC=25°,OA=OB,
∴∠AOB=180°-2×25°=130°.
∵PA、PB是⊙O的切线,
∴OA⊥PA,OB⊥BP,
∴在四边形AOBP中,∠P=360°-130°-90°-90°=50°.
8.(2010·株洲)两圆的圆心距d=5,它们的半径分别是一元二次方程x2-5x+4=0的两个根,则这两圆的位置关系是___外切_______.
答案
解析 解方程x2-5x+4=0,得x1=4,x2=1,
∵x1+x2=4+1=5=d,∴两圆外切.
9.(2011·南通)已知:
如图,三个半圆彼此相外切,它们的圆心都在x轴的正半轴上并与直线y=
x相切,设半圆C1、半圆C2、半圆C3的半径分别是r1、r2、r3,则当r1=1时,r3= 9.
答案
解析 如上图,设直线与三个半圆的切点分别是A、B、C,连接AC1、BC2、CC3.
∵直线y=
x,
∴∠AOC1=30°.
在RtAOC1,AC1=r1=1,∴OC1=2AC1=2×1=2;
在Rt△BOC2中,BC2=r2,OC2=2+1+r2=3+r2,
∵3+r2=2r2,∴r2=3;
在Rt△COC3中,CC3=r3,OC3=6+3+r3=9+r3,
∵9+r3=2r3,∴r3=9.
10.(2011·衢州)木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r.用角尺的较短边紧靠⊙O,并使较长边与⊙O相切于点C.假设角尺的较长边足够长,角尺的顶点B,较短边AB=8cm.若读得BC长为a(cm),则用含a的代数式表示r为___________.
答案 当0当r>8时,r=
a2+4
解析 ①易知,0②当r>8时,如图.连接OC,
∵BC与⊙O相切于点C,∴OC⊥BC.
连结OA,过点A作AD⊥OC于点D,则ABCD是矩形,即AD=BC,CD=AB.
在直角三角形AOD中,OA2=OD2+AD2,即:
r2=(r-8)2+a2,整理得:
r=
a2+4.
综上,当08时,r=
a2+4.
三、解答题
11.(2011·乌兰察布)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边上的一点,以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E,连接DE并延长,与BC的延长线交于点F.
(1)求证:
BD=BF;
(2)若BC=12,AD=8,求BF的长.
解
(1)证明:
连接OE,
则OE⊥AC,
∴∠AEO=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠CEF+∠F=90°.
∵∠AED+∠OED=90°,
∠AED=∠CEF,
∴∠OED=∠F.
又∵OD=OE,
∴∠OED=∠ODE,
∴∠ODE=∠F,
∴BD=BF.
(2)解:
Rt△ABC和Rt△AOE中,∠A是公共角,
∴Rt△ABC∽Rt△AOE,
∴
=
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设⊙O的半径是r,则有
=
,
解得r=8,∴BF=BD=16.
12.(2011·泰州)如图,以点O为圆心的两个同心圆中,矩形ABCD的边BC为大圆的弦,边AD与小圆相切于点M,OM的延长线与BC相交于点N.
(1)点N是线段BC的中点吗?
为什么?
(2)若圆环的宽度(两圆半径之差)为6cm,AB=5cm,BC=10cm,求小圆的半径.
解
(1)N是BC的中点.理由如下:
∵AD与小圆相切于点M,∴OM⊥AD.
又∵AD∥BC,∴ON⊥BC,
∴在大圆O中,由垂径定理可得N是BC的中点.
(2)连接OB,设小圆半径为r,则有ON=r+5,OB=r+6,BN=5cm,
在Rt△OBN中,由勾股定理,得OB2=BN2+ON2,
即:
(r+6)2=(r+5)2+52,解得r=7cm.
∴小圆的半径为7cm.
13.(2011·义乌)如图,已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直,垂足为点E.⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F,且AD=3,cos∠BCD=
.
(1)求证:
CD∥BF;
(2)求⊙O的半径;
(3)求弦CD的长.
解
(1)∵BF是⊙O的切线,
∴AB⊥BF.
∵AB⊥CD,
∴CD∥BF.
(2)连接BD.
∵AB是直径,∴∠ADB=90°.
∵∠BCD=∠BAD,cos∠BCD=
,
∴cos∠BAD=
=
.
又∵AD=3,∴AB=4.
∴⊙O的半径为2.
(3)∵cos∠DAE=
=
,AD=3,∴AE=
.
∴ED=
=
.
∴CD=2ED=
.
14.(2010·莆田)如图,A、B是⊙O上的两点,∠AOB=120°,点D为劣弧
的中点.
(1)求证:
四边形AOBD是菱形;
(2)延长线段BO至点P,交⊙O于另一点C,且BP=3OB,求证:
AP是⊙O的切线.
解 证明:
(1)连接OD.
∵D是劣弧A
的中点,∠AOB=120°,
∴∠AOD=∠DOB=60°.
又∵OA=OD,OD=OB,
∴△AOD和△DOB都是等边三角形.
∴AD=AO=OB=BD.
∴四边形AOBD是菱形.
(2)连接AC.
∵BP=3OB,OA=OC=OB,
∴PC=OC=OA.
∵∠AOB=120°.
∴∠AOC=60°.
∴△OAC为等边三角形.
∴PC=AC=OC.
∴∠CAP=∠CPA.
又∵∠ACO=∠CPA+∠CAP,
∴∠CAP=30°,
∴∠PAO=∠OAC+∠CAP=90°,∴PA⊥AO.
又∵OA是半径,
∴AP是⊙O的切线.
15.(2011·南京)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,P为BC的中点.动点Q从点P出发,沿射线PC方向以2cm/s的速度运动,以P为圆心,PQ长为半径作圆.设点Q运动的时间为t(s).
(1)当t=1.2时,判断直线AB与⊙P的位置关系,并说明理由;
(2)已知⊙O为△ABC的外接圆,若⊙P与⊙O相切,求t的值.
解
(1)直线AB与⊙P相切.理由如下:
如图,过点P作PD⊥AB,垂足为D.
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∵AC=6cm,BC=8cm,∴AB=
=10cm.
∵P为BC的中点,∴PB=4cm.
∵∠PDB=∠ACB=90°,∠PBD=∠ABC.
∴△PBD∽△ABC.
∴
=
,即
=
,∴PD=2.4cm.
当t=1.2时,PQ=2t=2.4cm.
∴PD=PQ,即圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径.
∴直线AB与⊙P相切.
(2)∵∠ACB=90°,∴AB为△ABC的外切圆的直径.
∴OB=
AB=5cm.
连接OP.∵P为BC的中点,∴OP=
AC=3cm.
∵点P在⊙O内部,∴⊙P与⊙O只能内切.
∴5-2t=3或2t-5=3,∴t=1或4.
∴⊙P与⊙O相切时,t的值为1或4.