一轮复习运动图像和追击相遇问题.docx

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一轮复习运动图像和追击相遇问题

第3讲　运动图象、追及相遇问题

热点概述　

（1）本专题是匀变速直线运动规律和运动学图象的综合应用，为高考必考内容，多以选择题形式出现。

（2）理解匀变速直线运动的xt图象和vt图象，并加以区分和应用。

（3）掌握追及、相遇问题的特点及类型，并能解决与生活相联系的实际问题。

热点一　运动图象

1．位移—时间（xt）图象

（1）位移—时间图象反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律，并非物体运动的轨迹。

（2）位移—时间图象只能描述物体做直线运动的情况，这是因为位移—时间图象只能表示物体运动的两个方向：

t轴上方代表位移为正方向，t轴下方代表位移为负方向。

（3）位移—时间图线上每一点切线的斜率表示物体该时刻的速度，斜率的大小表示速度的大小，斜率的正负表示速度的方向。

2．位置坐标（yx）图象

表示物体平面位置的坐标图，图线表示物体在平面内实际运动轨迹的路线，在坐标图上能表示出物体运动的位移，其斜率

＝tanα是个数值，没有单位。

3．速度—时间（vt）图象

（1）速度—时间图象反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律，只能描述物体做直线运动的情况。

（2）速度—时间图线上每一点的切线斜率表示物体该时刻的加速度。

（3）速度—时间图线与t轴所围“面积”表示这段时间内物体的位移。

图线与t轴上方所围“面积”表示正向位移，与t轴下方所围“面积”表示负向位移。

[例1]　甲、乙两物体均做直线运动，它们在某段时间内的位移x随时间t变化的图象如图所示，则在0～t1时间内，下列判断正确的是（　　）

A．甲物体做加速运动

B．甲、乙两物体运动方向相同

C．甲的平均速度比乙的平均速度大

D．甲、乙两物体的平均速度大小相等

解析　xt图线的切线斜率表示物体的速度，由题图可知，甲、乙两物体的速度均逐渐减小，甲沿x轴正方向运动，乙沿x轴负方向运动，A、B均错误；因两物体的位移大小均为x＝x2－x1，时间均为t1，故其平均速度大小均为

＝

，D正确，C错误。

答案　D

[例2]　（多选）如图为甲、乙、丙三个军事小分队进行军事行动的运动图象，下列说法正确的是（　　）

A．甲、丙两个分队的运动路线为曲线，乙分队的运动路线为直线

B．甲、乙、丙三个分队的位移相等

C．甲、乙、丙三个分队的平均速度相等

D．甲、乙、丙三个分队运动的路程相等

解析　位置坐标图象显示的是物体的运动轨迹，从题图可以看出甲、丙两个分队运动路线为曲线，乙分队的运动路线为直线，A正确；三个队的初末位置相同，位移相等，但运动路程不同，B正确，D错误；因不知道三个分队运动时间的大小关系，故无法比较三个分队平均速度的大小关系，C错误。

答案　AB

[例3]　如图所示为甲、乙两质点做直线运动的速度—时间图象，则下列说法中正确的是（　　）

A．在0～t3时间内甲、乙两质点的平均速度相等

B．甲质点在0～t1时间内的加速度与乙质点在t2～t3时间内的加速度相同

C．甲质点在0～t1时间内的平均速度小于乙质点在0～t2时间内的平均速度

D．在t3时刻，甲、乙两质点都回到了出发点

解析　因在0～t3时间内甲、乙两质点的速度图线与t轴所围“面积”相等，说明位移相等，则甲、乙两质点的平均速度相等，故A项正确；在0～t1时间内，甲的图线斜率为正值，加速度沿正方向，在t2～t3时间内，乙的图线斜率为负值，加速度沿负方向，两个加速度不相同，故B项错误；甲质点在0～t1时间内的平均速度等于

＝

，乙质点在0～t2时间内的平均速度等于

＝

，故C项错误；由图可知甲、乙两质点的速度均为正值，则两质点均做单向直线运动，不可能回到出发点，故D项错误。

答案　A

方法感悟

1．运动图象的识别

根据图象中横坐标、纵坐标所代表的物理量判断是哪种图象，这是解读图象信息的前提。

2．图象信息的解读

相同的图线在不同性质的图象中含义截然不同，如xt图象中图线的交点表示两个物体在对应时刻相遇；vt图象中图线的交点表示两个物体在对应时刻速度相等。

[例4]　一质点沿直线运动，如图所示是从t＝0时刻开始运动的质点的

t图象（x为位移），可以推知（　　）

A．质点做匀减速运动

B．加速度的大小是1m/s2

C．t＝2s时的速度是1m/s

D．t＝2s时位移是3m

解析　由题图可得图线的函数表达式为

＝1＋

t，即x＝t＋

t2，又因为匀变速直线运动中位移公式为x＝v0t＋

at2，根据对应关系得v0＝1m/s，a＝1m/s2>0，因此质点做匀加速运动，故A项错误，B项正确；当t＝2s时，根据公式v＝v0＋at，求出速度是3m/s，故C项错误；当t＝2s时，代入表达式x＝t＋

t2，可得位移是4m，故D项错误。

答案　B

方法感悟

这是

t图象，由x＝v0t＋

at2可得

＝v0＋

at，可得图象的斜率为

a。

做此类题，关键是由已知运动学公式推导出横坐标、纵坐标两个物理量间的函数关系，再与图象比较，或者由图象写出两个量的函数关系式，变形后再与已知公式比较。

1.[教材母题]　（人教版必修1P41·T5）一辆汽车在教练场上沿着平直道路行驶，以x表示它对于出发点的位移。

如图为汽车在t＝0到t＝40s这段时间的xt图象。

通过分析回答以下问题。

（1）汽车最远距离出发点多少米？

（2）汽车在哪段时间没有行驶？

（3）汽车在哪段时间驶离出发点，在哪段时间驶向出发点？

[变式子题]　一辆汽车在教练场沿着平直道路行驶，如图为该车的vt图象，下列分析正确的是（　　）

A．汽车离出发点最远的距离为750m

B．汽车在10～20s时间内静止

C．汽车只在20～40s时间内驶离出发点

D．汽车在40s末回到出发点

答案　A

解析　汽车先加速运动，后匀速运动，再减速运动，在0～40s时间内，速度均为正方向，所以汽车一直向远离出发点的方向运动，B、C、D均错误；汽车离出发点的最远距离s＝

×（10＋40）×30m＝750m，A正确。

2.（全国卷Ⅰ）（多选）如图所示，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位置—时间（xt）图象。

由图可知（　　）

A．在t1时刻，a车追上b车

B．在t2时刻，a、b两车运动方向相反

C．在t1到t2这段时间内，b车的速率先减小后增大

D．在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车的大

答案　BC

解析　由xt图象可以看出，在t1时刻，b车追上a车，A错误；在t2时刻，b车运动图象的斜率为负值，表示b车速度沿负方向，而a车的速度始终沿正方向，B正确；从t1时刻到t2时刻，图线b斜率的绝对值先减小至零后增大，反映了b车的速率先减小至零后增大，C正确，D错误。

3.（2019·山西吕梁高三期末）司机驾驶汽车在平直公路上匀速行驶，突然遇到紧急情况刹车直到停止运动，从司机发现情况到停止运动这段时间内汽车的

t图象如图所示，下列说法正确的是（　　）

A．从司机发现情况开始至汽车停止所用时间为5.5s

B．汽车刹车过程的加速度大小为2.0m/s2

C．汽车刹车过程的加速度大小为4.0m/s2

D．从司机发现情况开始至刹车停止，汽车的总位移为30m

答案　C

解析　通过图象可知，第一阶段在司机反应时间0.5s内，汽车做匀速直线运动，第二阶段司机刹车，汽车做匀

减速直线运动到停止，根据匀变速直线运动规律x＝v0t＋

at2，得到

＝v0＋

at,可得v0＝10m/s，a＝－4m/s2，B错误，C正确；减速所用时间t减＝

＝2.5s，故从司机发现情况开始到汽车停止所用时间为3s，A错误；全程位移为x＝v0t匀＋

t减＝17.5m，D错误。

综上所述，应选C。

4.一辆汽车做直线运动，其v2x图象如图所示。

关于汽车的运动，下列说法错误的是（　　）

A．汽车的初速度为4m/s

B．汽车的加速度大小为0.5m/s2

C．汽车第4s末的速度为2m/s

D．汽车前10s内的位移为15m

答案　D

解析　由图象知，x＝0时，v0＝4m/s，A正确；由v2－v

＝2ax，得v2＝v

＋2ax，v2x图象的斜率k＝2a，得a＝－0.5m/s2，B正确；由v＝v0＋at，得汽车第4s末的速度是2m/s，C正确；由v＝v0＋at知，汽车经过8s停下来，由图象知v＝0时汽车的位移为16m，则汽车前10s的位移x＝16m，D错误。

热点二　追及相遇问题

讨论追及、相遇问题的实质，就是分析两物体在同一时刻能否到达同一位置。

1．追及问题的两类情况

（1）若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定大于或等于前者速度。

（2）若后者追不上前者，则当后者速度与前者速度相等时，两者相距最近。

2．相遇问题的两类情况

（1）同向运动的两物体追及并相遇：

两物体位移大小之差等于开始时两物体间的距离。

（2）相向运动的两物体相遇：

各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离。

3．追及、相遇问题中的“一个条件、两个关系”

（1）一个条件：

即两者速度相等，往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。

（2）两个关系：

即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到。

4．追及、相遇问题的常见情景

假设物体A追物体B，开始时两个物体相距x0，有三种常见情景：

（1）A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB。

（2）要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有xA－xB＝x0，vA＝vB。

（3）若使两物体保证不相撞，则要求当vA＝vB时，xA－xB

[例1]　（多选）如图所示，为甲、乙两个物体同时从同一地点出发、沿同一直线运动的速度—时间图象。

下列说法正确的是（　　）

A．在0～2.0s内，甲的加速度小于乙的加速度

B．在2.0s时，乙在甲前面

C．在0～6.0s内，甲和乙的位移相同

D．在0～6.0s内，甲和乙相遇一次

解析　速度—时间图象的斜率的绝对值表示物体加速度的大小，则0～2.0s的过程中，物体甲的加速度大于物体乙的加速度，A错误；图象与时间轴围成的面积表示物体的位移，则由图象可知0～2.0s的时间内，物体甲的位移大小为6m，物体乙的位移大小为10m，显然2.0s时物体乙处在物体甲的前方，B正确；0～6.0s的时间内，物体甲的位移大小为24m，物体乙的位移大小为18m，6.0s时物体甲在物体乙的前方，C错误；由图象结合以上分析可知在0～2.0s的时间内，物体乙在前面，后来一直有v甲>v乙，故相遇后物体甲一直在物体乙的前面，则0～6.0s内物体甲和物体乙相遇一次，D正确。

答案　BD

方法感悟

用运动图象解答追及和相遇问题的思路

[例2]　一辆汽车在十字路口等候红绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3m/s2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v自＝6m/s的速度匀速运动，从旁边超过汽车。

试求：

（1）汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？

此时距离是多少？

（2）什么时候汽车能追上自行车？

此时汽车的速度是多少？

解析　

（1）解法一：

物理分析法

汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t1，两车间的距离为Δx，则有v自＝at1

所以t1＝

＝2s，Δx＝v自t1－

at

＝6m。

解法二：

相对运动法

以自行车为参考系，则从开始到相距最远的这段时间内，汽车相对这个参考系的各个物理量为

初速度v0＝v汽初－v自＝0－6m/s＝－6m/s

末速度v＝v汽末－v自＝0

加速度a′＝a－a自＝3m/s2－0＝3m/s2

所以两车相距最远时经历的时间为t1＝

＝2s

最大距离Δx＝

＝－6m

负号表示汽车在后。

注意：

利用相对运动的方法解题，要抓住三个关键：

①选取哪个物体为研究对象；②选取哪个物体为参考系；③规定哪个方向为正方向。

解法三：

极值法

设汽车在追上自行车之前经过时间t1两车相距Δx，则

Δx＝v自t1－

at

代入已知数据得Δx＝6t1－

t

由二次函数求极值的条件知：

t1＝2s时，Δx有最大值6m。

所以经过t1＝2s，两车相距最远，此时距离为Δx＝6m。

解法四：

图象法

自行车和汽车的vt图象如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，所以有

t1＝

＝

s＝2s

Δx＝

＝

m＝6m。

（2）解法一：

当两车位移相等时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为t2，则有v自t2＝

at

解得t2＝

＝

s＝4s

此时汽车的速度v1′＝at2＝12m/s。

解法二：

由前面画出的vt图象可以看出，在t1时刻之后，当由图线v自、v汽和t＝t2构成的三角形的面积与阴影部分的三角形面积相等时，汽车与自行车的位移相等，即汽车与自行车相遇，所以t2＝2t1＝4s，v1′＝at2＝3×4m/s＝12m/s。

答案　

（1）2s　6m　

（2）4s　12m/s

方法感悟

1.（2016·全国卷Ⅰ）（多选）甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其vt图象如图所示。

已知两车在t＝3s时并排行驶，则（　　）

A．在t＝1s时，甲车在乙车后

B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5m

C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2s

D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40m

答案　BD

解析　由图象可知，1～3s两车位移相等，两车在t＝3s时并排行驶，所以两车在t＝1s时也并排行驶，故A、C错误；由图象知，a甲＝

＝

m/s2＝10m/s2，a乙＝

＝

m/s2＝5m/s2，在0～1s，x甲＝

a甲t2＝

×10×12m＝5m，x乙＝v0t＋

a乙t2＝10×1m＋

×5×12m＝12.5m，Δx＝x乙－x甲＝12.5m－5m＝7.5m，即在t＝0时，甲车在乙车前7.5m，故B正确；1s末v甲＝a甲t＝10m/s,1～3s甲的位移x甲′＝v甲t′＋

a甲t′2＝10×2m＋

×10×22m＝40m，即两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40m，故D正确。

2．（多选）如图所示为A、B两质点在同一直线上运动的位置—时间（xt）图象。

A质点的图象为直线，B质点的图象为过原点的抛物线，两图象交点C、D的坐标如图所示。

下列说法正确的是（　　）

A．A、B相遇两次

B．t1～t2时间段内B质点的平均速度与A质点匀速运动的速度相等

C．两质点速度相等的时刻一定在t1～t2时间段内的中间时刻

D．A在B前面且离B最远时，B的位置坐标为

答案　ABC

解析　xt图象交点表示同一时刻到达同一位置，即相遇，故A正确；由图象可知，t1～t2时间段内，A质点做匀速运动，平均速度总等于瞬时速度，两质点的位置变化相同，则平均速度相等，故B正确；B质点的xt图象为过原点的抛物线，所以B质点做匀加速运动，B质点在t1～t2时间段内的平均速度等于其中间时刻的瞬时速度，故C正确；当A、B速度相等时，A在B前面且离B最远，即t1～t2时间段内的中间时刻，此时A的位置坐标为

，B的位置坐标小于

，故D错误。

3．（多选）甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一方向做直线运动，它们的vt图象如图所示。

下列判断正确的是（　　）

A．乙车启动时，甲车在其前方50m处

B．运动过程中，乙车落后甲车的最大距离为75m

C．乙车启动10s后正好追上甲车

D．乙车超过甲车后，两车不会再相遇

答案　ABD

解析　根据速度图线与时间轴包围的面积表示位移可知，乙在t＝10s时启动，此时甲的位移为x＝

×10×10m＝50m，即甲车在乙车前方50m处，故A正确；当两车的速度相等时相距最远，最大距离为xmax＝

×（5＋15）×10m－

×10×5m＝75m，故B正确；两车位移相等时相遇，由图可知，乙车启动10s后位移小于甲车的位移，还没有追上甲车，故C错误；乙车超过甲车后，由于乙的速度大，所以不可能再相遇，故D正确。

4．（2018·山东省实验中学高三段考）货车A正在公路上以20m/s的速度匀速行驶，因疲劳驾驶，司机注意力不集中，当司机发现正前方有一辆静止的轿车B时，两车距离仅有75m。

（1）若此时B车立即以2m/s2的加速度启动，通过计算判断：

如果A车司机没有刹车，是否会撞上B车；若不相撞，求两车相距最近时的距离；若相撞，求出从A车司机发现B车开始到撞上B车的时间；

（2）若A车司机发现B车，立即刹车（不计反应时间）做匀减速直线运动，加速度大小为2m/s2（两车均视为质点），为避免碰撞，在A车刹车的同时，B车立即做匀加速直线运动（不计反应时间），问：

B车加速度至少多大才能避免相撞。

（这段公路很窄，无法靠边让道）

答案　

（1）两车会相撞　5s　

（2）0.67m/s2

解析　

（1）当两车速度相等时，设经过的时间为t，则：

vA＝vB

对B车：

vB＝at

联立可得：

t＝10s

A车的位移为：

xA＝vAt＝200m

B车的位移为：

xB＝

at2＝100m

因为xB＋x0＝175m

所以两车会相撞，设经过时间t1相撞，有：

vAt1＝x0＋

at

代入数据解得：

t1＝5s（另一解t1＝15s舍去）。

（2）已知A车的加速度大小aA＝2m/s2，

设B车的加速度为aB，B车运动时间t2时，两车相遇，且两车速度相等，这时两车恰好不相撞，则有：

vA′＝vA－aAt2，vB′＝aBt2

且vA′＝vB′

在时间t2内A车的位移为：

xA′＝vAt2－

aAt

B车的位移为：

xB′＝

aBt

又xB′＋x0＝xA′

联立可得：

aB≈0.67m/s2。

课后作业

1.一物体沿直线运动，用x表示运动位移，用t表示运动时间。

从t＝0时刻开始计时，

t的图象如图所示，图线斜率的绝对值为k，则以下说法正确的是（　　）

A．物体做匀速直线运动，速度大小等于k

B．物体做变减速直线运动，加速度均匀减小

C．物体做匀减速直线运动，加速度大小等于k

D．物体做匀减速直线运动，加速度大小等于2k

答案　D

解析　设图线与纵轴的交点为b，由图可知

＝b－kt，则x＝bt－kt2，可知物体做匀变速直线运动，由位移随时间的变化规律x＝v0t＋

at2，整理得

＝v0＋

at，则图象的斜率－k＝

a，由于斜率为负值，则加速度为负值，图象的纵截距为b＝v0，纵截距为正值，则物体的初速度为正值，物体做匀减速直线运动，A、B错误；由以上分析可知，物体的加速度大小为2k，C错误，D正确。

2.光滑的水平面上有一物体在外力作用下做直线运动，物体的加速度随时间变化的关系如图所示。

已知t＝0时物体的速度为1m/s，以此时的速度方向为正方向。

下列说法中正确的是（　　）

A．0～1s内物体做匀加速直线运动

B．t＝1s时物体的速度为3m/s

C．t＝1s时物体开始反向运动

D．t＝3s时物体离出发点最远

答案　D

解析　由题图可知，0～1s内物体的加速度均匀增加，物体做变加速直线运动，故A错误；加速度图线与时间轴围成的面积表示速度的变化量，则1s内速度的变化量为Δv＝

×2×1m/s＝1m/s，由于初速度为v0＝1m/s，所以t＝1s时物体的速度为2m/s，故B错误；0～1s内物体沿正向加速运动，1s末后加速度反向，物体由于v>0继续沿原方向运动，故C错误；0～3s内速度的变化量Δv＝

×2×1m/s－1×2m/s＝－1m/s，则3s末物体的速度为0,0～3s内物体一直沿正向运动，t＝3s时物体离出发点最远，故D正确。

3.（多选）在足球比赛中，跑位技术相当重要。

如图所示为某前锋球员在时间t0内沿直线跑位的速度—时间图象，则在这段时间内，该球员（　　）

A．运动方向不变

B．运动的加速度方向不变

C．先做加速运动后做减速运动

D．运动的加速度先减小后增大

答案　AC

解析　因vt图象中图线的斜率表示加速度，则由题图可知球员先做加速度减小的加速运动，后做加速度先增大后减小的减速运动，其运动方向不变，A、C正确，B、D错误。

4.（多选）甲、乙两车在一平直公路上同向行驶，其速度—时间图象如图所示。

下列说法正确的是（　　）

A．乙车做曲线运动

B．0～10s内，乙车的位移大于甲车的位移

C．t＝10s时，两车可能相遇

D．0～10s内，必有某一时刻甲、乙两车的加速度相同

答案　BCD

解析　因甲、乙两车在一平直公路上同向行驶，则甲、乙两车均做直线运动，A错误；因vt图象中图线与t轴所围面积表示位移，则由题图可知0～10s内乙车位移大于甲车位移，因题中没明确甲、乙出发位置，则t＝10s时两车可能相遇，B、C正确；因vt图象中图线的斜率表示加速度，则由题图可知乙车做加速度逐渐减小的变加速直线运动，甲车做匀加速直线运动，且t＝0时a乙>a甲，t＝10s时a乙

5.a、b两物体同时从同一地点开始做匀变速直线运动，二者运动的vt图象如图所示，下列说法正确的是（　　）

A．a、b两物体运动方向相反

B．a物体的加速度小于b物体的加速度

C．t＝1s时两物体的间距等于t＝3s时两物体的间距

D．t＝3s时，a、b两物体相遇

答案　C

解析　由题图可知a、b两物体的速度均为正值，则a、b两物体运动方向相同，A项错误；因vt图象中图线的斜率表示加速度，则a的加速度大于b的加速度，B项错误；vt图象中图线与坐标轴所围的面积表示位移，因为t＝1s到t＝3s，a图线和b图线与t轴所围的面积相等，即此时间段两物体位移相同，则t＝1s时两物体的间距等于t＝3s时两物体的间距，C项正确；由题图可知t＝3s时，xb>xa，又a和b同时、同地出发，同向运动，所以t＝3s时，b在a前方，D项错误。

6.（多选）甲、乙两物体在同一直线上运动的xt图象如图所示，以甲的出发点为原点，出发时刻为计时起点。

则从图象可以看出（　　）

A．t2到t3这段时间内甲的平均速度大于乙的平均速度

B．乙比甲先出发

C．甲开始运动时，乙在甲前面x0处

D．甲在中途停了一会儿，最终也没追上乙

答案　AC

解析　在t2～t3这段时间内，甲的位移大于乙的位移，由

＝

，所以甲的平均速度大于乙的平均速度，A项正确；由题图知乙和甲同时出发，且乙在甲前面x0处，故B项错误，C项正确；在t3时刻，甲追上了乙，D项错误。

7.（2018·全国卷Ⅱ）（多选）甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图象分别如图中甲、乙两条曲线所示。

已知两车在t2时刻并排行驶，下列说法正确的是（　　）

A．两车在t1时刻也并排行驶

B．t1时刻甲车在后，乙车在前

C．甲车的加速度大小先增大后减小

D．乙车的加速度大小先减小后增大

答案　BD

解析　vt图象中图象与t轴所包围的面积代表运动的位移，两车在t2时刻并排行驶，利用逆向思维并借助于面积可知在t1时刻甲车在后，乙车在前，故A错误，B正确；图象的斜率表示加速度，所以甲的加速度先减小后增大，乙的加速度也是先减小后增大，故C错误，D正确。

8．（2018·全国卷Ⅲ）（多选）甲、乙两车在