思维导引12讲.docx
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思维导引12讲
◇第12讲◇行程问题（Ⅱ）
【内容概述】
具有时钟形式的行程问题，综合性较强的行程问题，运动过程中通常包括变速、转向或依据某种规律，解题时要注意发挥图示的辅助作用，并需要恰当选择关键点分段加以考虑，与设计优化方案相结合的行程问题。
【典型问题】
级数：
★★
北京市第十一届“迎春杯”数学竞赛·决赛第二题第4题
1.有一座时钟现在显示10时整，那么经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？
【分析与解】在10点时，时针所在位置为刻度10，分针所在位置为刻度12；当两针重合时，分针必须追上50个小刻度，设分针速度为“1”，有时针速度为“”，于是需要时间：
50÷（1-）=54.
所以，再经过54分钟，时针与分针第一次重合。
第二次重合显然为12点整，所以再经过（12-10）×60-54=65分钟，时针与分针第二次重合。
评注：
标准的时钟，每隔65分钟，时针与分针重合一次。
我们来熟悉一下常见钟表（机械）的结构：
一般时钟的表盘大刻度有12个，即为小时数；小刻度有60个，即为分钟数。
所以时针一圈需要12小时，分针一圈需要60分钟（1小时），时针的速度为分针速度的。
如果设分针速度为单位“1”，那么时针的速度为“”。
级数：
★★★
2.8时到9时之间时针和分针在“8”的量变，并且两针所形成的射线到“8”的距离相等。
问这时是8时多少分？
【分析与解】8点整的时候，时针较分针顺时针方向多40格，设在满足题意时，时针走过x格，那么分针走过40-x格，所以时针、分针共走过x+（40-x）=40格
于是，所需时间为40÷（1+）=36分钟，即在8点36分钟为题中所求时刻。
级数：
★★★
3.某人下午六时多外出买东西，出门时看手表，发现表的时针和分针的夹角为，7时前回家时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是。
那么此人外出多少分钟？
【分析与解】如下示意图，开始分针在时针左边位置，后来追至时针右边位置。
图未画
于是，分针追了+=，对应格。
所需时间为÷（1-）=40分钟。
所以此人外出40分钟。
评注：
通过上面的例子，看到有时是将格数除以（1+），有时是将格数除以（1-），这是因为有时格数是时针、分针共同走过的，对应速度和；有时格数是分针追上时针的，对应速度差。
对于这个问题，大家还可以将题改为：
“9点多钟出去，9点多钟回来，两次的夹角都是”，答案还是40分钟。
级数：
★★★★
第十三届“迎春杯”数学竞赛·决赛第四题第1题
4.甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，6小时候相遇在C点，如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点16千米。
甲车原来每小时行多少千米？
【分析与解】方法一：
（12+16）÷5=5.6小时，1÷5.6=。
AB=5÷（-）=420（千米），420÷6=70（千米）
甲车原来每小时走70×=30（千米）
方法二：
设甲、乙两人原来的速度分别为x千米/时，y千米/时，那么AC=6x，BC=6y，
在第二、三次相遇中利用甲、乙两人所用时间相等，可得方程组：
x=30
，交叉相乘，解得y=40
即甲原来的速度是每小时30千米。
方法三：
设第一次改变速度，甲、乙相遇在D点，第二次改变速度，甲、乙相遇在E点
在第二次相遇中，假设走满6小时，甲走到了C点，乙则走到了F点，FC长：
5×6=30（千米）FD=30-12=18（千米）
所以乙提速5千米/时后，甲、乙速度比为DC：
DF=12：
18=2：
3.
图未画
同样的，在第三次相遇中，假设走满6小时，乙走到了C点，甲则走到了G点，CG长：
5×6=30（千米），EG长：
30-16=14（千米），所以甲提速5千米/时后，甲、乙速度比为EG：
CE=14：
16=7：
8.
设甲原来速度为x千米/小时，乙原来速度为y千米/小时，则
，
解得。
即甲原来的速度为每小时30千米。
级数：
★★★
1995年全国小学数学奥林匹克·决赛B卷第12题
5.甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，而且甲比乙速度快。
两人出发后1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。
那么甲回到出发点共用多少小时？
【分析与解】将上山甲、乙速度分别记为a、b；则下山时甲、乙速度为1.5a、1.5b。
图未画
用h表示山顶到山脚的距离，
由右图知，即有4b=3a。
由左图知：
，即：
；得h=3600米。
即山顶到山脚的距离为3600米。
再变回到“甲下山速度是上山速度的1.5倍”。
由1小时后，甲距山脚还有3600-600=3000米知，甲到山脚还需3000÷（4000×1.5）=0.5小时。
所以甲自出发到回到山脚共用1+0.5=1.5小时。
级数：
★★★
第十届“迎春杯”数学竞赛·决赛第二题第9题
6.男、女两名田径运动员在长110米的斜坡上练习跑步（坡顶为A，坡底为B）。
两人同时从A点出发，在A，B之间不停地往返奔跑。
已知男运动员上坡速度是每秒3米，下坡速度是每秒5米，女运动员上坡速度是每秒2米，下坡速度是每秒3米，那么两人第二次迎面相遇的地点离A点多少米？
【分析与解】开始下山时，男运动员的速度大于女运动员的速度，有男运动员到达坡底B所需时间为110÷5=22秒，此时女运动员才跑了22×3=66米。
现在女运动员的速度不变，还是每秒3米，而男运动员将从B上坡到A，速度变为每秒3米，男、女运动员的距离为110-66=44米，所以当男运动员再跑44÷（3+3）×3=22米后男女运动员第一次迎面相遇，相遇点距B地22米，如图所示。
（本题4图所标注数字均是距坡底B的距离数）
B22第一次相遇110A
◆●◆
男女
所以当女运动员到达坡底B时，男运动员又跑了22米，即到达距B地44米的地方，如下图所示。
B44110A
◆●◆
女男
23
此后，女运动员从坡底B上坡到A，速度变为每秒2米，男运动员的速度还是每秒3米，所以当男运动员再跑110-44=66米到达坡顶A时，女运动员才跑了66÷3×2=44米，即距离坡底B地44米的地方，如下图所示。
B44110A
◆●◆
女男
25
这时，女运动员的速度不变还是每秒2米，而男运动员的速度变为每秒5米，男、女运动员相距110-44=66米，所以当男、女运动员第二次相遇时，男运动员又跑了66÷（5+2）×5=47米，如下图所示.
B第二次相遇110A
◆●◆
女男
25
即第二次相遇的地点距A点47米。
级数：
★★
7.某人沿电车线路行走，每12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来。
假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔。
【分析与解】设电车的速度为a，行人的速度为b，因为每辆电车之间的距离为定值，设为l。
由电车能在12分钟追上行人l的距离知，；
由电车能在4分钟能与行人共同走过l的距离知，；
所以有l=12（a-b）=4（a+b），有a=2b，即电车的速度是行人步行速度的2倍，
那么l=4（a+b）=6a，则发车间隔。
即发车间隔为6分钟。
级数：
★★★★
第六届“华罗庚金杯”少年数学.邀请赛·决赛二试第3题
8.A，B两地相距105千米，甲、乙两人分别骑车从A，B两地同时相向出发，甲速度为每小时40千米，出发后1小时45分钟相遇，然后甲、乙两人继续沿各自方向向前骑。
在他们相遇3分钟后，甲与迎面骑车而来的丙相遇，而丙在C地追上乙。
若甲以每小时20千米的速度，乙以每小时比原速度快2千米的车速，两人同时分别从A，B出发相向而行，则甲、乙二人在C点相遇，问丙的车速是多少？
【分析与解】甲以40千米/小时的速度行驶1小时45分钟，行驶了40×（1+）=70千米，那么剩下的105-70=35千米为乙在1小时45分钟内行驶的，所以乙的速度为35÷1=20千米/小时，如下图所示。
因为经过1小时45分钟，甲、乙相遇。
所以甲跑了40×1=70
A◆70千米●35千米B◆
40乙
甲所以20
乙
又甲、乙再行驶3分钟，那么甲又行驶了40×=2千米，乙又行驶了20×=1千米。
即在甲、乙相遇3分钟后，乙行驶至B地35+1=36千米的地方，甲行驶至距A第70+2=72千米的地方，此地距B第105-72=33千米，如下图所示。
图未画
而如果甲以20千米/小时的速度，乙的速度增加2千米/小时至22千米/小时，那么相遇点C距B地为：
千米，如下图所示。
另一种情况
甲速度变为20，乙变为22
甲20乙22
A5055B
◆●◆
C
那么，当丙与甲相遇在距B地33千米的地方时，乙在距B地36千米的地方，而后丙行驶至C地（距B地55千米）时，乙也在C地，即相遇。
在这段时间内，乙行驶了55-36=19千米，而丙行驶了55-33=22千米，所以丙的速度为20×千米/小时，如下图所示。
丙55-33
未知
乙55-36乙速度不变
20
◆A50C55◆B
级数：
★★★
1993年全国小学数学奥林匹克·决赛A卷第12题
9.从甲市到乙市有一条公路，它分成三段。
在第一段上，汽车速度是每小时40千米；在第二段上，汽车速度是每小时90千米；在第三段上，汽车速度是每小时50千米。
已知第一段公路的长恰好是第三段的2倍，现有两汽车分别从甲市同时出发，相向而行，1小时20分后，在第二段从甲到乙方向的处相遇，那么，甲、乙两市相距多少千米？
【分析与解】设第一、二、三段公路的长度依次为a、b、c，有a=2c，如下图所示：
第一段第二段第三段第一段第二段的第三段
甲●●●●乙甲●●●●●乙
40km/h90km/h50km/h一汽车另一汽车
一汽车另一汽车
易知当另一汽车到达第二、三段交接点处，即行驶的路程为c时，一汽车的路程为，而第一段长度为第三段长度的2倍，所以甲行驶至第一段的÷2=a处，如下图所示。
第一段第二段第三段
甲●●●●●乙
一汽车另一汽车
第一段的
所以当另一汽车行驶b路程的时间内，一汽车行驶了a+b的距离，同时减去b的里程，则另一汽车行驶了b的路程，一汽车行驶了a的路程。
由两汽车行驶的时间相等知，即a：
b=20：
81，如下图所示：
第一段第二段第三段
甲●●●●乙
208110
设第一段路程为20k，则第二段路程为81k，第三段路程为10k；
于是，一汽车跑至第二段时，所需时间为20k÷40+×81k÷90=1，解得k=，而甲乙全程为20k+81k+10k=111k，有111×=185.
所以甲、乙两市相距185千米。
级数：
★★★
10.甲、乙两人在400米圆形跑道上进行10000米比赛。
两人起点同时同向出发，开始时甲的速度为每秒8米，乙的速度为每秒6米。
当甲每次追上乙以后，甲的速度每秒减少2米，乙的速度每秒减少0.5米。
这样下去，直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始，两人都把自己的速度每秒增加0.5米，直到终点。
那么领先者到达终点时，另一人距终点多少米？
【分析与解】对于这道题只能详细的分析逐步推算，以获得解答。
先求出当第一次甲追上乙时的详细情况，因为甲乙同向，所以为追击问题。
甲、乙速度差为8-6=2米/秒，当甲第
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