高考真题理科数学圆锥曲线归类汇编.docx

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高考真题理科数学圆锥曲线归类汇编

2012年高考真题理科数学圆锥曲线归类汇编

2012年高考真题理科数学解析分类汇编10圆锥曲线

一、选择题

1.【2012高考浙江理8】如图，F1,F2分别是双曲线C：

（a,b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是

A.B。

C.D.

【答案】B

【解析】由题意知直线的方程为：

，联立方程组得点Q，联立方程组得点P，所以PQ的中点坐标为，所以PQ的垂直平分线方程为：

，令，得，所以，所以，即，所以。

故选B

2.【2012高考新课标理8】等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（）

【答案】C

【解析】设等轴双曲线方程为，抛物线的准线为，由,则,把坐标代入双曲线方程得，所以双曲线方程为，即，所以，所以实轴长，选C.

3.【2012高考新课标理4】设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（）

【答案】C

【解析】因为是底角为的等腰三角形，则有,，因为，所以,，所以，即，所以，即，所以椭圆的离心率为，选C.

4.【2012高考四川理8】已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。

若点到该抛物线焦点的距离为，则（）

A、B、C、D、

【答案】B

【解析】设抛物线方程为，则点焦点，点到该抛物线焦点的距离为，，解得，所以.

点评]本题旨在考查抛物线的定义:

|MF|=d,（M为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，d为点M到准线的距离）.

5.【2012高考山东理10】已知椭圆的离心学率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为

（A）（B）（C）（D）

【答案】D

【解析】因为椭圆的离心率为，所以，，，所以，即，双曲线的渐近线为，代入椭圆得，即，所以，，，则第一象限的交点坐标为，所以四边形的面积为，所以，所以椭圆方程为，选D.

6.【2012高考湖南理5】已知双曲线C：

-=1的焦距为10，点P（2,1）在C的渐近线上，则C的方程为

A．-=1B.-=1C.-=1D.-=1

【答案】A

【解析】设双曲线C：

-=1的半焦距为，则.

又C的渐近线为，点P（2,1）在C的渐近线上，，即.

又，，C的方程为-=1.

【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.

7.【2012高考福建理8】已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于

A.B.C.3D.5

【答案】Ａ．

考点：

双曲线的定义。

难度：

中。

分析：

本题考查的知识点为双曲线的定义，焦点，渐近线，抛物线的定义。

【解析】由抛物线方程易知其焦点坐标为，又根据双曲线的几何性质可知，所以，从而可得渐进线方程为，即，所以，故选Ａ．

8.【2012高考安徽理9】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若，则的面积为（）

【答案】C

【命题立意】本题考查等直线与抛物线相交问题的运算。

【解析】设及；则点到准线的距离为，

得：

又，

的面积为。

9.【2012高考全国卷理3】椭圆的中心在原点，焦距为4一条准线为x=-4，则该椭圆的方程为

A+=1B+=1C+=1D+=1

【答案】C

【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。

通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数，从而得到椭圆的方程。

【解析】椭圆的焦距为4，所以因为准线为，所以椭圆的焦点在轴上，且，所以，，所以椭圆的方程为，选C.

10.【2012高考全国卷理8】已知F1、F2为双曲线C：

x²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2=

（A）（B）（C）（D）

【答案】C

【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。

首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。

【解析】双曲线的方程为，所以，因为|PF1|=|2PF2|，所以点P在双曲线的右支上，则有|PF1|-|PF2|=2a=,所以解得|PF2|=，|PF1|=，所以根据余弦定理得,选C.

11.【2012高考北京理12】在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。

若直线l的倾斜角为60º.则△OAF的面积为

【答案】

【解析】由可求得焦点坐标F（1,0），因为倾斜角为，所以直线的斜率为，利用点斜式，直线方程为，将直线和曲线联立，因此．

二、填空题

12.【2012高考湖北理14】如图，双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，.若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为.则

（Ⅰ）双曲线的离心率；

（Ⅱ）菱形的面积与矩形的面积的比值.

【答案】

考点分析：

本题考察双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义，以及一般平面几何图形的面积计算.

【解析】（Ⅰ）由于以为直径的圆内切于菱形，因此点到直线的距离为，又由于虚轴两端点为，，因此的长为，那么在中，由三角形的面积公式知，，又由双曲线中存在关系联立可得出，根据解出

（Ⅱ）设,很显然知道,因此.在中求得故；

菱形的面积，再根据第一问中求得的值可以解出.

13.【2012高考四川理15】椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是____________。

【答案】3

【命题立意】本题主要考查椭圆的定义和简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、，考查推理论证能力、基本运算能力，以及数形结合思想，难度适中.

【解析】当直线过右焦点时的周长最大，；

将带入解得；所以.

14.【2012高考陕西理13】右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米.

【答案】.

【解析】设水面与桥的一个交点为A，如图建立直角坐标系则，A的坐标为（2，-2）.设抛物线方程为，带入点A得，设水位下降1米后水面与桥的交点坐标为，则，所以水面宽度为.

15.【2012高考重庆理14】过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则=.

【答案】

【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，设A,B的坐标分别为的，则，设，则，所以有，解得或，所以.

16.【2012高考辽宁理15】已知P，Q为抛物线上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于A，则点A的纵坐标为__________。

【答案】4

【解析】因为点P，Q的横坐标分别为4，2，代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8,2.

由所以过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，2，所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为联立方程组解得故点A的纵坐标为4

【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题。

曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键。

17.【2012高考江西理13】椭圆的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2。

若，，成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.

【答案】

【命题立意】本题考查椭圆的几何性质，等比数列的性质和运算以及椭圆的离心率。

【解析】椭圆的顶点,焦点坐标为，所以，,又因为，，成等比数列，所以有，即，所以，离心率为.

18.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为▲．

【答案】2。

【考点】双曲线的性质。

【解析】由得。

∴，即，解得。

三、解答题

19.【2012高考江苏19】（16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．

（i）若，求直线的斜率；

（ii）求证：

是定值．

【答案】解：

（1）由题设知，，由点在椭圆上，得

，∴。

由点在椭圆上，得

∴椭圆的方程为。

（2）由

（1）得，，又∵∥，

∴设、的方程分别为，。

∴。

∴。

①

同理，。

②

（i）由①②得，。

解得=2。

∵注意到，∴。

∴直线的斜率为。

（ii）证明：

∵∥，∴，即。

∴。

由点在椭圆上知，，∴。

同理。

。

∴

由①②得，，，

∴。

∴是定值。

20.【2012高考浙江理21】（本小题满分15分）如图，椭圆C：

（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）求ABP的面积取最大时直线l的方程．

【命题立意】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。

【解析】（Ⅰ）由题：

；

（1）

左焦点（﹣c，0）到点P（2，1）的距离为：

．

（2）

由

（1）

（2）可解得：

．

∴所求椭圆C的方程为：

．

（Ⅱ）易得直线OP的方程：

y＝x，设A（xA，yA），B（xB，yB），R（x0，y0）．其中y0＝x0．

∵A，B在椭圆上，

∴．

设直线AB的方程为l：

y＝﹣（m≠0），

代入椭圆：

．

显然．

∴﹣＜m＜且m≠0．

由上又有：

＝m，＝．

∴|AB|＝||＝＝．

∵点P（2，1）到直线l的距离表示为：

．

∴SABP＝d|AB|＝|m＋2|，

当|m＋2|＝，即m＝﹣3或m＝0（舍去）时，（SABP）max＝．

此时直线l的方程y＝﹣．

21.【2012高考辽宁理20】（本小题满分12分）

如图，椭圆：

，a，b为常数），动圆，。

点分别为的左，右顶点，与相交于A，B，C，D四点。

（Ⅰ）求直线与直线交点M的轨迹方程;

（Ⅱ）设动圆与相交于四点，其中，

。

若矩形与矩形的面积相等，证明：

为定值。

【命题意图】本题主要考查圆的方程、椭圆方程、轨迹求法、解析几何中的定值问题，考查转化与化归能力、运算求解能力，是难题.

【解析】设，又知，则

直线的方程为①

直线的方程为②

由①②得③

由点在椭圆上，故可得，从而有，代入③得

……6分

（2）证明：

设，由矩形与矩形的面积相等，得

，因为点均在椭圆上，所以

由，知，所以。

从而，因而为定值…12分

【点评】本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用。

本题考查综合性较强，运算量较大。

在求解点的轨迹方程时，要注意首先写出直线和直线的方程，然后求解。

属于中档题，难度适中。

22.【2012高考湖北理】（本小题满分13分）

设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线．

（Ⅰ）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；

（Ⅱ）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点.是否存在，使得对任意的，都有？

若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（Ⅰ）如图1，设，，则由，

可得，，所以，.①

因为点在单位圆上运动，所以.②

将①式代入②式即得所求曲线的方程为.

因为，所以

当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，

两焦点坐标分别为，；

当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，

两焦点坐标分别为，.

（Ⅱ）解法1：

如图2、3，，设，，则，，

直线的方程为，将其代入椭圆的方程并整理可得

.

依题意可知此方程的两根为，，于是由韦达定理可得

，即.

因为点H在直线QN上，所以.

于是，.

而等价于，

即，又，得，

故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有.

解法2：

如图2、3，，设，，则，，

因为，两点在椭圆上，所以两式相减可得

.③

依题意，由点在第一象限可知，点也在第一象限，且，不重合，

故.于是由③式可得

.④

又，，三点共线，所以，即.

于是由④式可得.

而等价于，即，又，得，

故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有.

23.【2012高考北京理19】（本小题共14分）

已知曲线.

（1）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；

（2）设，曲线与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与

曲线交于不同的两点，，直线与直线交于点，求证：

，，

三点共线.

解：

（1）原曲线方程可化简得：

由题意可得：

，解得：

（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：

，

，解得：

由韦达定理得：

①，，②

设，，

方程为：

，则，

，，

欲证三点共线，只需证，共线

即成立，化简得：

将①②代入易知等式成立，则三点共线得证。

24.【2012高考广东理20】（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：

的离心率e=，且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.

（1）求椭圆C的方程；

（2）在椭圆C上，是否存在点M（m,n）使得直线：

mx+ny=1与圆O：

x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？

若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

【答案】本题是一道综合性的题目，考查直线、圆与圆锥曲线的问题，涉及到最值与探索性问题，意在考查学生的综合分析问题与运算求解的能力。

【解析】

（1）设由，所以

设是椭圆上任意一点，则，所以

当时，当时，有最大值，可得，所以

当时，不合题意

故椭圆的方程为：

（2）中，，

当且仅当时，有最大值，

时，点到直线的距离为

又，此时点。

25.【2012高考重庆理20】（本小题满分12分（Ⅰ）小问5分（Ⅱ）小问7分）

如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为，线段的中点分别为，且△是面积为4的直角三角形.

（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；

（Ⅱ）过做直线交椭圆于P，Q两点，使，求直线的方程

【命题立意】本题考查椭圆的标准方程，平面向量数量积的基本运算，直线的一般式方程以及直线与圆锥曲线的综合问题.

解：

设所求椭圆的标准方程为，右焦点为。

因是直角三角形，又,故为直角，因此,得。

结合得，故，所以离心率。

在中，，故

由题设条件，得，从而。

因此所求椭圆的标准方程为：

（2）由

（1）知，由题意知直线的倾斜角不为0，故可设直线的方程为：

，代入椭圆方程得，

设，则是上面方程的两根，因此

又，所以

由,得,即，解得，

所以满足条件的直线有两条，其方程分别为：

和。

26.【2012高考四川理21】（本小题满分12分）

如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为。

（Ⅰ）求轨迹的方程；

（Ⅱ）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。

【答案】本题主要考查轨迹方程的求法，圆锥曲线的定义等基础知识，考查基本运算能力，逻辑推理能力，考查方程与函数、数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想

解析]

（1）设M的坐标为（x,y），显然有x>0,.

当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，,±3）

当∠MBA≠90°时；x≠2.由∠MBA=2∠MAB,

有tan∠MBA=,即

化简得：

3x2-y2-3=0,而又经过（2，,±3）

综上可知，轨迹C的方程为3x2-y2-3=0（x>1）…………………5分

（II）由方程消去y，可得。

（*）

由题意，方程（*）有两根且均在（1，+）内，设

所以

解得，m>1,且m2

设Q、R的坐标分别为，由有

所以

由m>1，且m2，有

所以的取值范围是................................................12分

点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考察思维能力、运算能力，考察函数、分类与整合等思想，并考察思维的严谨性。

27.【2012高考新课标理20】（本小题满分12分）

设抛物线的焦点为，准线为，，已知以为圆心，

为半径的圆交于两点；

（1）若，的面积为；求的值及圆的方程；

（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，

求坐标原点到距离的比值.

【答案】

（1）由对称性知：

是等腰直角，斜边

点到准线的距离

圆的方程为

（2）由对称性设，则

点关于点对称得：

得：

，直线

切点

直线

坐标原点到距离的比值为.

28.【2012高考福建理19】如图，椭圆E：

的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.

（Ⅰ）求椭圆E的方程.

（Ⅱ）设动直线l：

y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q.试探究：

在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

解答：

（Ⅰ）设

则

的周长为

椭圆的方程为

（Ⅱ）由对称性可知设与

直线

（*）

（*）对恒成立，得

29.【2012高考上海理22】（4+6+6=16分）在平面直角坐标系中，已知双曲线：

．

（1）过的左顶点引的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及轴围成的三角形的面积；

（2）设斜率为1的直线交于、两点，若与圆相切，求证：

；

（3）设椭圆：

，若、分别是、上的动点，且，求证：

到直线的距离是定值.

解]

（1）双曲线，左顶点，渐近线方程：

.

过点A与渐近线平行的直线方程为，即.

解方程组，得.……2分

所以所求三角形的面积1为.……4分

（2）设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切，

故，即.……6分

由，得.

设P（x1,y1）、Q（x2,y2），则.（lbylfx）

又2，所以

，

故OP⊥OQ.……10分

（3）当直线ON垂直于x轴时，

|ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为.

当直线ON不垂直于x轴时，

设直线ON的方程为（显然），则直线OM的方程为.

由，得，所以.

同理.……13分

设O到直线MN的距离为d，因为，

所以，即d=.

综上，O到直线MN的距离是定值.……16分

【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为，它的渐近线为，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题．

30.【2012高考陕西理19】本小题满分12分）

已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率。

（1）求椭圆的方程；

（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆和上，，求直线的方程。

【解析】（Ⅰ）由已知可设椭圆的方程为，

其离心率为，故，则，

故椭圆的方程为

（Ⅱ）解法一两点的坐标分别为，

由及（Ⅰ）知，三点共线且点不在轴上，

因此可设直线的方程为.

将代入中，得，所以，

将代入中，得，所以，

又由，得，即，

解得，故直线的方程为或

解法二两点的坐标分别为，

由及（Ⅰ）知，三点共线且点不在轴上，

因此可设直线的方程为.

将代入中，得，所以，

又由，得，，

将代入中，得，即，

解得，故直线的方程为或

31.【2012高考山东理21】（本小题满分13分）

在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）是否存在点，使得直线与抛物线相切于点？

若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）若点的横坐标为，直线与抛物线有两个不同的交点，与圆有两个不同的交点，求当时，的最小值.

解：

（Ⅰ）依题线段为圆的弦，由垂径定理知圆心的纵坐标，

又到抛物线准线的距离为，所以.

所以为所求.

（Ⅱ）假设存在点，，又，，设，.变形为

因为直线为抛物线的切线，故，解得，

即，.

又取中点，，由垂径定理知，

所以，，，所以存在，.

（Ⅲ）依题，，圆心，，圆的半径，

圆心到直线的距离为，

所以，.

又联立，

设，，，，则有，.

所以，.

于是，

记，

，所以在，上单增，

所以当，取得最小值，

所以当时，取得最小值.

32.【2012高考江西理20】（本题满分13分）

已知三点O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲线C上任意一点M（x，y）满足.

（1）求曲线C的方程；

（2）动点Q（x0，y0）（-2＜x0＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l向：

是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都不相交，交点分别为D,E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？

若存在，求t的值。

若不存在，说明理由。

解：

（1）依题意可得，

，

由已知得，化简得曲线C的方程：

（2）假设存在点P（0，t）（t①当时，，存在，使得，即l与直线PA平行，故当时不符合题意

②当时，，所以l与直线PA，PB一定相交，分别联立方程组，

解得D，E的横坐标分别是

则，又，

有，又

于是

对任意，要使△QAB与△PDE的面积之比是常数，只需t满足，

解得t=-1，此时△QAB与△PDE的面积之比为2，故存在t=-1，使△QAB与△PDE的面积之比是常数2。

【点评】本题以平面向量为载体，考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系以及分类讨论的数学思想.高考中，解析几何解答题一般有三大方向的考查.一、考查椭圆的标准方程，离心率等基本性质，直线与椭圆的位置关系引申出的相关弦长问题，定点，定值，探讨性问题等；二、考查抛物线的标准方程，准线等基本性质，直线与抛物线的位置关系引申出的相关弦长问题，中点坐标公式，定点，定值，探讨性问题等；三、椭圆，双曲线，抛物线综合起来考查.一般椭圆与抛物线结合考查的可能性较大，因为它们都是考纲要求理解的内容.

33.【2012高考天津理19】（本小题满分14分）

设椭圆的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点.

（Ⅰ）若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足

【答案】

（1）取，；则

（2）设；则线段的中点