重庆市中考数学专项训练几何综合压轴题.docx
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重庆市中考数学专项训练几何综合压轴题
1、如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点（点P与点C不重合），连结BP，将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，连结AA1，射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F．
（1）如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在相似关系，请说明理由；
（2）如图2，设∠ABP＝β，当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？
若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，当α＝60°时，点E、F与点B重合．已知AB＝4，设DP＝x，△A1BB1的面积为S，求S关于x的函数关系式．
B1
B1
B1
2、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，sin∠EMP＝．
（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；
（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．
备用图
E
图1
3、已知∠MON＝60°，射线OT是∠MON的平分线，点P是射线OT上的一个动点，射线PB交射线ON于点B．
（1）如图，若射线PB绕点P顺时针旋转120°后与射线OM交于点A，求证：
PA＝PB；
（2）在
（1）的条件下，若点C是AB与OP的交点，且满足PC＝PB，求△POB与△PBC的面积之比；
（3）当OB＝2时，射线PB绕点P顺时针旋转120°后与直线OM交于点A（点A不与点O重合），直线PA交射线ON于点D，且满足∠PBD＝∠ABO，求OP的长．
T
备用图
备用图
4、在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．
（1）如图1，当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D．证明：
△A′CD是等边三角形；
（2）如图2，连接A′A、B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S△ACA′和S△BCB′．
求证：
S△ACA′:
S△BCB′＝1:
3；
（3）如图3，设AC中点为E，A′B′中点为P，AC＝a，连接EP，当θ＝__________°时，EP长度最大，最大值为__________．
P
图2
图1
5、已知：
在△ABC中，BC＝2AC，∠DBC＝∠ACB，BD＝BC，CD交线段AB于点E．
（1）如图l，当∠ACB＝90°时，则线段DE、CE之间的数量关系为____________________；
（2）如图2，当∠ACB＝120°时，求证：
DE＝3CE；
（3）如图3，在
（2）的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于点G，△DKG和△DBG关于直线DG对称（点B的对称点是点K），
延长DK交AB于点H．若BH＝10，求CE的长．
图1
F
图2
6、如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，BD为斜边AC上的中线，将△ABD绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到△EFD，点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，连接BE、CF．
（1）判断BE与CF的位置、数量关系，并说明理由；
（2）若连接BF、CE，请直接写出在旋转过程中四边形BFEC能形成哪些特殊四边形；
图2
（3）如图2，将△ABC中AB＝BC改成AB≠BC时，其他条件不变，直接写出α为多少度时
（1）中的两个结论同时成立．
图1
备用图
7、如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．
（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点；
（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
P
8、已知Rt△ABC中，∠ACB＝90º，BC＝5，tan∠A＝．将△ABC绕点C逆时针旋转α（45°＜α＜135°）得到△DCE，设直线DE与直线AB相交于点P，连接CP．
（1）如图1，当CD⊥AB时，求证：
PC平分∠EPA；
（2）如图2，当点P在边AB上时，求证：
PE＋PB＝6；
（3）在△ABC旋转过程中，连接BE，当△BCE的面积为时，求∠BPE的度数及PB的长．
备用图
图2
图1
9、
（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．求证：
＝．
（2）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG、AF分别交DE于M、N两点．
①如图2，若AB＝AC＝1，直接写出MN的长；
②如图3，求证：
MN2＝DM·EN．
图1
N
N
10、在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，如图1．
（1）将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转90°，取DF的中点G，连接EG，CG，如图2，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？
请直接写出你的猜想；
（2）将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转180°，取DF的中点G，连接EG，CG，如图3，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？
请写出你的猜想，并加以证明；
（3）将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转任意角度，取DF的中点G，连接EG，CG，如图3，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？
请写出你的猜想，并加以证明．
图1
图3
图4
图2
11、在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠DOC＝α，将△DOC绕点O按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°），连接AC′、BD′，AC′与BD′相交于点M．
（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；
（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，已知AC＝kBD，请猜想此时AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；
（3）当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，AD∥BC，此时
（1）AC′与BD′的数量关系是否成立？
∠AMB与α的大小关系是否成立？
不必证明，直接写出结论．
图2
图3
图1
12、已知菱形ABCD的边长为1，∠ADC＝60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F．
（1）特殊发现：
如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：
菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心；
（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为点P．
①猜想验证：
如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；
M
②拓展运用：
如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断＋是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
O
P
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