杆件的变形与刚度.docx
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杆件的变形与刚度
第4章杆件的变形与刚度
判断
1、“杆件在拉伸变形后，横向尺寸会缩短，是因为杆内有横向应力存在。
“
2、“虎克定律适用于弹性变形范围内。
“
3、“拉压变形时杆件的横向变形ε’和轴向应变ε之间的关系为ε’＝－με”
4、“平面弯曲梁的挠曲线必定是一条与外力作用面重合或平行的平面曲线”
5、“由于挠曲线的曲率与弯矩成正比，因此横截面的挠度与转角也与横截面的弯矩成正比”
6、“只要满足线弹性条件，就可以应用挠曲线的近似微分方程”
7、“两梁的抗弯刚度相同、弯矩方程相同，则两梁的挠曲线形状相同”
8、“梁的挠曲线方程随弯矩方程的分段而分段，只要梁不具有中间铰，梁的挠曲线仍然是一条光滑、连续的曲线。
”
9、“最大挠度处的截面转角一定为0”
10、“最大弯矩处的挠度也一定是最大”
11、“梁的最大挠度不一定是发生在梁的最大弯矩处。
”
12、“只要材料服从虎克定律，则构件弯曲时其弯矩、转角、挠度都可以用叠加方法来求”
13、“两根几何尺寸、支撑条件完全相同的静定梁，只要所受的载荷相同，则两梁所对应的截面的挠度和转角相同，而与梁的材料是否相同无关”
14、“一铸铁简支梁在均布载荷的作用下，当其横截面相同且分别按图示两种情况放置时，梁同一截面的应力和变形均相同”
选择
1、均匀拉伸的板条表面上画两个正方形，如图所示。
受力后会成形状。
A：
a正方形、b正方形；B：
a正方形、b菱形；C：
a矩形、b菱形D：
a矩形、b正方形
2、受轴向拉伸的圆截面杆件的横截面上画两个圆，拉伸后会变成什么形状？
A：
a圆、b圆； B：
a圆、b椭圆； C：
a椭圆、b圆； D：
a椭圆、b椭圆；
3、低碳钢圆截面在拉伸破坏时，标距由100毫米变成130毫米。
直径由10毫米变为7毫米，则Poisson’sratio（泊松比）ε为：
A：
μ=（10-7）/（130-100）=0.1B：
μ=ε’/ε=-0.3/0.3=-1 C：
μ=|ε’/ε|=1D：
以上答案都错。
4、钢材的弹性模量E＝200GPa，比例极限σp=200MPa，轴向线应变ε=0.0015，则横截面上的正应力σ=。
A：
σ＝Eε＝300Mpa；B：
σ>300Mpa；
C：
200Mpa<σ<300Mpa；D：
σ<200Mpa
5、在板状试件表面贴两片应变片，在力P作用下ε1=-120×10-6,ε2=40×10-6,那么泊松比为：
A：
3； B：
－3；C：
1/3;D:
-1/3
6、拉杆由两种材料制成，横截面面积相等，承受轴向拉力P，。
A：
应力相等、变形相同；B：
应力相等，变形不同；
C：
应力不同，变形相同；D：
应力不同，变形不同
7、图示中的等直杆，AB=BC=CD=a，杆长为3a，材料的抗拉压刚度为EA。
杆中点横截面的铅垂位移为：
。
A:
0 B：
2Pa/EA C：
Pa/EA D：
3Pa/EA
8、图示中，拉杆的外表面有一条斜线，当拉杆变形时，斜线将。
A：
平动；B：
转到；C：
不动D：
平动加转动
9、空心圆轴受轴向拉伸时，受力在弹性范围内，它的。
A：
内外径都减小； B：
外径减小，内径增大；
C：
内外径都增大； D：
外径增大，内径减小。
10、图示中各杆件的材料相同、横截面A1＝A2/2,杆件的长度均为L,载荷均为P。
C1与C2点在铅垂方向的位移分别为Δ1、Δ2。
那么有：
A：
Δ1＝Δ2；B：
Δ1>Δ2；C：
Δ1<Δ2；
11、碳钢制成圆截面轴，如果θ≥[θ]，为保证此轴的扭转刚度，采用措施最有效。
A：
改用合金钢；B：
增加表面光洁度； C：
增加直径；D：
减少轴长；
12、轴的半径为R，长为L，剪变模量G，受扭后圆轴表面的纵向线倾角为α,则在线弹性小变形范围内τmax和单位长度扭转角θ分别为：
A：
τmax=Gαθ=α/L B:
τmax=Gαθ=α/R
C：
τmax=GαL/Rθ=α/L D：
τmax=GαL/Rθ=α/R
13、单位长度扭转角与无关。
A：
杆的长度；B：
扭矩C：
材料性质；D：
截面几何性质
14、材料不同的两根受扭圆轴，其直径和长度均相同，在相同扭矩的作用下，它们的最大剪应力之间和扭转角之间的关系是。
A：
最大剪应力相等，扭转角相等； B：
最大剪应力相等，扭转角不等；
C：
最大剪应力不等，扭转角相等； D：
最大剪应力不等，扭转角不等。
15、圆截面的悬臂梁在自由端受集中力的作用，当梁的直径减少一半而其他条件不变时，最大正应力是原来的倍；最大挠度是原来的倍。
若梁的长度增大一倍，其他条件不变，最大弯曲正应力是原来的倍，最大挠度是原来的倍。
A：
2；B：
16C：
8D：
4；
16、y’’=M（x）/EI在条件下成立。
A：
小变形；B：
材料服从虎克定律；
C：
挠曲线在xoy面内；D：
同时满足A、B、C；
17、等直梁在弯曲变形时，挠曲线最大曲率发生在处。
A：
挠度最大；B：
转角最大 C：
剪力最大；D：
弯矩最大；
18、在简支梁中，对于减少弯曲变形效果最明显。
A：
减小集中力P； B：
减小梁的跨度；
C：
采用优质钢； D：
提高截面的惯性矩
19、板条弯成1/4圆，设梁始终处于线弹性范围内：
①σ=My/IZ,②y’’=M（x）/EIZ哪一个会得到正确的计算结果？
A：
①正确、②正确； B：
①正确、②错误； C：
①错误、②正确； D：
①错误、②错误；
20、应用叠加原理求横截面的挠度、转角时，需要满足的条件是。
A：
梁必须是等截面的；B：
梁必须是静定的；
C：
变形必须是小变形；D：
梁的弯曲必须是平面弯曲。
21、圆轴采用普通碳钢制成，使用中发现弯曲刚度不够，提高轴的抗弯刚度的有效措施是：
。
A：
热处理；B：
选用优质合金钢；C；增大直径；D：
提高表面光洁度；
22、等直梁的最大弯矩处，局部增大直径，。
A：
仅提高强度； B：
仅提高刚度； C：
强度、刚度均有提高；
23、两简支梁的材料、截面形状、梁中点承受的集中力P均相同，而两梁的跨度之比为L1/L2=1/2，则其最大挠度之比为y1max/y2max=。
A:
1/2B:
1/4C:
1/6D:
1/8
24、图示中的二简支梁在跨度中点截面处的。
A：
转角和挠度均相等； B：
转角和挠度均不等；
C：
转角相等、挠度不等； D：
转角不等、挠度相等；
25、已知一梁的挠曲线方程为：
EIy=-qx（l3-2lx2+x3）/24，所取的坐标系如图，则该梁的最大弯矩是：
。
A：
ql2/4;B：
ql2/8 C：
ql2/16
26、C截面为梁的中间截面，在图示中的力的作用下，C截面左右两侧的转角。
A：
|θ左|＝|θ右| B：
|θ左|>|θ右| C：
|θ左|<|θ右|
27、已知两梁的跨度、载荷均相同。
比较图示中两梁的强度和刚度。
其中：
2图为两根高度为h/2，宽度为b的矩形截面梁叠加而成的，且相互间的摩擦不计，有。
A：
强度相同、刚度不同；B：
强度不同、刚度相同；
C：
强度、刚度均相同；D：
强度、刚度均不同；
28、图示中的悬臂梁采用两种截面形式，一种为相同的矩形截面叠放而成，无胶接；另一种为完整的正方形截面。
在小变形的情况下迭放的梁内最大弯曲正应力是完整截面形式的梁的最大正应力的倍。
A：
2；B：
4； C：
8；D：
16；
29、图示中的两个简支梁跨度相同，一根为钢，一根为铜，已知它们的抗弯刚度EI相同，在相同的力P的作用下，二者的不同。
A：
支反力；B：
最大正应力； C：
最大挠度； D：
最大转角；
30、图示中的悬臂梁，为减少最大挠度，则下列方案中最佳方案是。
A：
梁长改为L/2，惯性矩改为I/8；B：
梁长改为3L/4，惯性矩改为I/2；
C：
梁长改为5L/4，惯性矩改为3I/2；D：
梁长改为3L/2，惯性矩改为I/4；
31、T型截面铸铁梁在铅垂面内弯曲，若将截面倒置，则梁的强度和刚度与原来的相比。
A：
强度提高、刚度不变；B：
强度降低、刚度不变；
C：
强度、刚度均提高；D：
强度、刚度都降低；
32、正方形截面分别按图示中的两种情形放置，则两者间的抗弯刚度之间的关系为。
A：
（a）>（b）B：
（a）<（b）C：
（a）=（b）D：
不一定
填空
1、承受集中力的轴向拉压杆件，只有在长度范围内变形才是均匀的。
2、图示中杆件，AB＝BC＝CD＝L。
如果截面的抗拉压刚度为EA，在四个相等的P力作用下，杆件的总变形为：
，BC段的变形为：
。
3、图中的拉杆承受载荷P，横截面面积为A，弹性模量为E。
AB=BC=L，求出表格中的各值。
位移
应力
纵向线应变
纵向变形
1点
AB段
BC段
2点
3点
4、两根承受轴向拉伸的杆件均在弹性范围内，一为钢杆E1＝210GPａ，另一为铸铁E2＝100GPａ。
若两杆的正应力相等，则两杆的纵向线应变的比值为：
；若两杆的纵向应变相同，则两杆的正应力的比值为：
。
5、平板拉伸试件受载荷P的作用，试件上相互垂直地粘贴两枚应变片R1和R2，R1和R2的读数分别为ε1和ε2。
由R1和R2组成图示半桥测量电路，R0为应变仪的内电阻，此时应变仪的读数ε＝。
A：
（1+u）ε1B:
（1+u）ε2C:
（1-u）ε1D:
（1-u）ε2
6、对某低碳钢材料进行拉伸试验时，测得其弹性模量E＝200GPa。
若在超过屈服极限后继续拉伸，当试件横截面上的正应力σ＝300MPa时，测得轴向线应变ε＝3.5×10－3，然后立即卸载至σ＝0，则试件的轴向塑性（残余）应变为ε＝。
7、若将受扭实心圆轴的直径增加一倍，则其刚度是原来的倍。
8、图示圆截面轴的直径为d，C截面相对于A截面的扭转角为：
，整个圆轴的最大扭转剪应力为：
。
9、直径为25毫米的圆钢杆，受轴向拉力60KN的作用，在标距为20厘米的长度内伸长了0.122毫米；受扭矩200Nm的作用，相距15厘米的两横截面相对扭转了0.55度，则此钢材的弹性模量E＝，剪变模量G＝,泊松比为ｕ＝。
10、图示中的轴1与套筒2牢固第结合在一起，两者的剪变模量为G1、G2，两端承受扭转力偶矩M，为使轴与套筒承受的扭矩相同，则必须满足的条件是。
11、应用叠加原理求梁的位移，必须满足的条件有，。
12、应用梁的挠曲线近似微分方程y’’=M（x）/EI时，其使用条件应为：
。
13、图示中静定梁的抗弯刚度为EI。
D点的挠度为fD=-Pa3/（3EI），B截面的转角为θB=5Pa2/（6EI），则D截面的转角为θD=；C点的挠度为fC=。
14、悬臂梁的抗弯刚度为EI，梁长为2L。
坐标轴的原点在A处。
①写出挠曲线近似微分方程EIy’’=。
②当M＝3PL/2时，该悬臂梁转角θ＝0的截面位于x＝处。
15、已知图ａ中梁在中点的挠度为5qL4/384EI,那么图ｂ中点的挠度为。
16、如图所示的外伸梁，已知B截面的转角为θ＝FL2/16EI，则C截面的挠度yC=。
17、如图所示中两梁的横截面大小形状均相同，跨度为L，则两梁的内力图，两梁的最大正应力，两梁的变形。
（填写“相同”或“不同”）
18、图示中梁的抗弯刚度为EI，C处为弹性支座，弹簧刚度为K。
为求弹簧所受的力，则所取变形协调条件为：
。
19、用积分法求梁的变形时，边界条件为：
，连续条件为。
20、梁上作用有外力偶，M1和M2，A点位于L/3处。
使A点成为挠曲线的拐点，那么M1/M2=。
21、两简支梁的材料、截面形状、梁承受的载荷集度相同，而两梁的则其最大挠度之比为y1max/y2max=。
22、两根梁的尺寸、受力和支撑完全相同，但材料不同，弹性摸量分别为E1和E2，且E1＝7E2，则两梁的挠度之比为：
。
23、矩形截面梁由木、钢两种材料组成。
木、钢的弹性摸量分别为E1＝10GPa，E2＝210GPa。
求木材、钢材所受的弯矩之比为。
24、图示中的梁材料、截面相同，则两梁的最大挠度之比为：
。
25、已知简支梁在力P作用下中点C处的挠度为δ，那么当梁上的载荷如右图时，梁的中点C处的挠度为：
。
26、梁的跨度为L、抗弯刚度EI为常量，B支座位于梁的中点。
写出在图示的坐标系下的边界条件及连续性条件。
27、图示中的边界条件为x=0，yA=0；x=L，yB=。
右端的弹簧刚度为K。
28、简支梁的抗弯刚度EI已知，A位于梁的中间截面处，则中性层在A处的曲率半径为ρ＝。
29、用积分法求图示梁的变形时，边界条件为；连续条件为。
30、图示中两根材料相同的梁A和B，当自由端具有相同的位移时，最大应力较大的梁是，其最大正应力＝。
31、用积分法求梁的变形时，边界条件为，连续条件为。
并大致画出挠曲线的形状。
简述
1:
Hooke定律σ=Eε的适用范围是什么？
2、桁架中各杆件的抗垃压刚度EA相等，画出变形后节点A的位置。
3、横梁为刚性，拉杆1、2的材料相同E1＝E2，长度L1>L2，在力P作用下使横梁平行下移，那么两个杆件的横截面A1与A2的关系如何？
4、一圆截面杆受拉伸变形，直径由d增大到2d，问：
强度、刚度各是原来的几倍？
5、泊松比μ数值一般在什么范围？
若μ＝0，μ<0，则在材料的单向拉伸时会产生什么样的结果？
会不会有μ>1？
6、材料的弹性模量为E=200GPa的试件，拉伸到B时，在试件的标距内测得纵向应变为3×10-3,然后卸载到140MPa。
问这时标距内的纵向线应变有多大？
7、在节点A作用有沿2杆方向的集中力P，方向如图，问
（1）1、2杆的受力如何？
A点的位移如何？
是否沿杆2的方向？
8、等直杆受均匀拉伸的作用，已知弹性模量为E=200GPa，杆的伸长量为ΔL＝6毫米。
问此杆的塑性伸长量是多少？
9、一板形试件，在其表面沿纵、横向贴应变片。
试验时，载荷P增加3KN时，测得ε1＝120×10－6，ε2＝－36×10－6，求该试件的E、G、μ。
10、当τ≥τp时τ=Tρ/IP,φ=TL/GIP哪一个仍适用？
11、一等直杆，当受到轴向拉伸时，杆内会产生剪应变吗？
，当受到扭转时，杆内会产生拉应变吗？
12、在XY坐标系中，已知等直梁的挠曲线方程为v=qx（L3-3Lx2+2x3）/48EI。
求①最大弯矩及最大剪力。
②梁的两端（x=0、x=L）的约束情况。
③画出此梁的受力图
13、钢制悬臂梁在自由端受到力偶M后发生弯曲，在小变形情况下作工程计算时，其挠曲线是圆弧状还是二次抛物线？
还是二者均可？
为什么？
14、等截面悬臂梁EI已知，梁的下面有一刚性曲面，曲面方程为y=-ax3,欲使梁在变形后与曲面重合且曲面不受压力，梁上应作用什么样的载荷？
并绘制梁的载荷图及梁的内力图。
15、高度h、宽度b的梁受力偶M的作用，如图（ａ）所示，问中性层上的正应力、剪应力各等于多少？
在该力偶的作用下是否可以认为图（ｂ）中的高度为h/2，宽度为b的两根梁的迭放在强度与刚度方面与之完全相同？
为什么？
16、若只在悬臂梁的自由端作用有弯曲力偶M，使其成为纯弯曲，则由1/ρ=M/EI知ρ为常量，挠曲线应为圆弧。
若由y’’=M（x）/EI积分，将得到y=Mx2/2EI，它表面挠曲线是一条抛物线。
为何产生这样的差别？
17、细长工件，加工完成后会变成什么形状？
18、使梁变形后与刚性曲面重合，但不产生压应力，应如何施加外载？
19、写出边界条件与连续性条件、弹簧常数为K。
20、写出梁的挠曲线近似微分方程及边界条件。
21、图示中梁的跨度为L，B处为一刚度为K的弹簧，写出挠曲线近似微分方程，写出梁的边界条件。
22、从弯曲的理论解释为什么传动轴上的齿轮或带轮总是避免放置在跨中，而尽量靠近轴承处。
23、在设计中，一受弯的碳素钢轴的刚度不够，有人建议改用优质合金钢，此项建议是否合理？
24、已知梁的挠曲线方程为EIy=-qx5/120L。
问
（1）在x=0和x=L两端点处的约束如何？
（2）最大弯矩和最大剪力各是多少？
（3）梁上的载荷如何分布？
25、在中国古代的木结构建筑中，在上梁与柱的连接处，往往采用一种独具风格的斗拱结构。
从材料力学的观点分析一下这种在世界上特有的结构方式有什么优点。
26、对于受弯曲的梁能否通过采用高强度材料提高其刚度？
（能、不能）
27、建筑工地中常用的钢筋混凝土结构，在设计上布置钢筋承受拉力，混凝土承受压力，这有什么好处？
今有一座钢筋混凝土结构的桥梁，在使用中出现了险情：
列车通过时跨中挠度超出了设计要求。
有人建议在桥梁的中间部位再加一个桥墩。
此方案可行吗？
为什么？
并请你提出一个可行的方案。
答案
判断：
1.答案 此说法错误
答疑 杆件内没有横向应力存在，是由于纵向应力使杆件产生横向变形。
2.答案 此说法错误
答疑 虎克定律适用于线弹性变形范围，当应力超过比例极限后，应力－应变关系不再呈线性关系
3．答案 此说法错误
答疑 当变形处于弹性范围内时，杆件的横向变形ε’和轴向应变ε之间的关系为ε’＝－με
4.答案此说法正确
答疑 平面弯曲时梁的挠曲线是纵向对称面内的一条平面曲线。
5.答案此说法错误
答疑根据挠曲线微分方程y’’=M（x）/EI可知，转角与弯矩之间的关系为θ＝∫M（x）/EIdx，挠度与弯矩之间的关系为v＝∫[∫M（x）/EIdx]dx，不是正比的关系。
6.答案此说法错误
答疑 挠曲线近似微分方程的应用条件是：
线弹性、小变形。
7.答案此说法正确
答疑如果两梁的抗弯刚度相同、弯矩方程相同，根据挠曲线微分方程y’’=M（x）/EI可知挠曲线的二阶导数相同，积分的结果相同。
8.答案此说法正确
答疑 在分段处梁满足连续性条件。
9.答案此说法错误
答疑根据挠曲线微分方程y’’=M（x）/EI，积分分别得到转角方程θ（x）＝∫M（x）/EIdx、挠曲线方程v（x）＝∫[∫M（x）/EIdx]dx，挠曲线的一阶导数为y’（x）＝∫M（x）/EIdx＝θ（x），由此可知：
在转角为零处，挠度取得极值，但不是最值。
10.答案此说法错误
答疑根据挠曲线微分方程y’’=M（x）/EI说明挠曲线在最大弯矩处有最大的二阶导数值，但挠度不一定是最大的；例如悬臂梁的最大弯矩发生在固定端处，在此处梁的挠度不是最大
11.答案此说法正确
12.答案此说法错误
答疑 叠加法应用的前提是：
小变形、材料服从虎克定律。
13.答案 此说法错误
答疑 梁的变形与材料有关。
14.答案 此说法错误
答疑截面正放与倒放，截面对中性轴的惯性矩没有改变，固变形相同；但应力与截面的放置方式有关，正放或倒置时截面上距离中性轴最远的点到中性轴的距离不同，固同一截面上的应力不等。
选择：
1.答案 正确选择：
C
答疑 正方形a的左右两对边之间的纵向纤维的原长相等，在均匀拉力作用下伸长量相等；上下两对边之间的横向纤维尺寸变小，且缩短量相等，固变形后成为矩形。
正方形b的任意两条纵向纤维之间的原长不等，受力后的伸长量也不相等，中间纤维的伸长量最大，向上、向下依次变形量减小，固变形后成为菱形。
2.答案 正确选择：
A
答疑 横截面上只存在与横截面垂直的正应力且正应力在横截面上均匀分布，沿径向无应力存在。
由于横截面上拉应力的存在使得两圆的半径减小，但形状不变。
3.答案 正确选择：
D
答疑 ε’＝－με的适用范围是线弹性。
此时试件已经被拉伸破坏，不是在弹性范围内，固此公式不能适用。
4.答案 正确选择：
C
答疑 Eε＝300MPa超过比例极限，固此时材料的应力－应变曲线超过材料的弹性范围，到达屈服阶段。
5.答案 正确选择：
C
答疑 ε1为纵向线应变，ε2为横向线应变。
而泊松比＝－横向线应变/纵向线应变＝1/3
6.答案 正确选择：
B
答疑拉杆的轴力相同均为P，横截面面积相等，固拉杆的各个横截面上的正应力相等均为P/A。
但拉杆由两种材料制成，材料的弹性模量不相同，固两种材料的变形不同。
7.答案 正确选择：
C
答疑 杆件的BC段的轴力为零，固杆件中间截面的铅垂位移等于AB段的伸长量，而AB段的轴力为P，伸长量为Pa/EA。
8.答案 正确选择：
D
答疑斜线代表一斜截面，斜截面与左侧端面之间的纵向纤维在拉力的作用下将伸长，使得斜线产生位移；另一方面，斜截面与左侧端面之间的纵向纤维的伸长量不相等，使得斜线发生转动。
9.答案 正确选择：
A
答疑 在轴向拉力的作用下，横截面上横向尺寸减小。
10.答案 正确选择：
B
答疑 Δ1=ΔL/cos30=NL/EA1/cos30=PL/1.5EA1、Δ2＝PL/EA2=PL/2EA1,
11.答案 正确选择：
C
答疑单位长度扭转角θ＝M/GIP×180/π可知：
采用优质钢、增大直径均可以改变θ的大小，但是：
由于碳钢与合金钢的剪变模量的变化不大，固材料的改变对θ的影响不大；单位长度扭转角θ与轴长、表面光洁度无关；固提高扭转刚度的有效措施是：
增大圆轴的直径。
12.答案 正确选择：
B
答疑受扭后圆轴表面的纵向线倾角α即为圆轴在边缘上点的角应变，所以圆轴的最大剪应力为τmax=Gα；而圆轴的右侧截面相对于左侧截面的相对转角为φ=αL/R,单位长度扭转角θ=φ/L=α/R。
13.答案 正确选择：
A
答疑 单位长度扭转角θ＝M/GIP×180/π，与杆的长度无关。
14.答案 正确选择：
B
答疑剪应力只与内力和横截面的尺寸有关，与材料无关，固二者的最大剪应力相等；扭转角与材料有关，固在相同扭矩的作用下、尺寸相同但材料不同的构件的扭转角不同。
15.答案
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