超级画板动态几何教程2平面几何.docx
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超级画板动态几何教程2平面几何
第二篇平面几何
平面几何作为一门系统的学科，已有两千多年的历史，其魅力经久不衰。
计算机科技的发展，推出了动态几何作图软件，使这门古老的科学焕发青春，变得更加丰富多彩，更有吸引力和挑战性。
《超级画板》是由动态几何作图软件发展而来，平面几何动态作图当然是它的基本功能。
基本功能熟练了，就有了登堂入室的基础。
这一篇里，我们将通过一些实例，学习动态几何作图，图形的旋转、平移和缩放的操作机制，图形的测量以及制作控制图形运动和变化的按钮方法。
看了这些例子你会看到，优秀的作品源于对知识的创造性地运用。
再好的软件也不过是你手中的工具，不过是圆规直尺铅笔这些古老的工具的发展。
创意永远是最重要的。
首先我们来看看动态几何作图与平时我们在纸上、黑板上作图有什么区别。
（一）共点的三个圆
大家一起来试一试，画出过同一点的三个圆。
合上书本，自己动手。
完成后，看看你的制作结果是不是与图中的图形相似？
有三个圆，六个点。
请大家随意拉动几个点试试，看这三个圆是否还能“过同一点”？
拖动结果可能如图2-1所示：
图2-1
为什么图形会“散架”，可能作图过程是这样的（图5-2列出了最典型的初学者“画共点的三个圆”的步骤，受到了传统作图方式如黑板上的绘图或一般绘图软件的影响）。
图2-2
在拖动过程中，动态几何作图能够保持所有给定的几何关系，因为它就是根据几何关系来设计的！
那么，你思考一下，上述方法在画圆时，到底给定了什么样的几何关系？
我们知道，圆是由两个点来决定的，双击鼠标按下去的点即为圆心，松开鼠标的点即为圆上的一点。
改变这两个点中的任意一点都可以改变圆。
而在我们刚才的操作中，我们所给的几何关系是：
每个圆都是由两个完全自由的点来决定的（请大家观察一下，图中共三个圆，六个自由点）。
根据这样的几何关系，每个圆都可以随意地改变。
这就表明：
在超级画板中，不能再象在黑板上那样，随手画出图来，而每时每刻都得考虑几何关系。
那么怎么能保证它们过同一个点呢？
你按下面的步骤做做看？
步骤
过 程 描 述
作图结果
1
选择智能画笔
（无）
2
画第一个圆：
圆心为A，圆上一点为B
3
画第二个圆；在任意一点处双击鼠标键即规定了圆心C，拖动鼠标，对准点B（注意状态栏的提示），并在B点松开鼠标，即圆上的点为B
4
画第三个圆：
在任意一点处按下鼠标键即规定了圆心D，拖动鼠标，对准点B（注意状态栏的提示），并在B点松开鼠标，即圆上的点为B
现在来试试随便拖动其中的任意一个圆。
很显然，在这种做法中，由于在作图过程中已经规定了三个圆圆上的点都为点B，因此不管如何拖动这三个圆，它们都会经过点B。
参看配套资源文件“2-1共点的三圆”。
这就是在动态中保持几何关系！
（二）动态几何实例
例1：
圆幂定理
任意作圆，点A为圆心，AB为半径；在圆上任取C、D、E、F四点，连接CD，EF，作出交点G（有两种情况，图2-3和图2-4）；测量线段EG、GF、CG、GD的长度，计算EG*GF和CG*GD；拖动C、D、E、F四点，寻找其中规律，特别是C、D两点（或E、F两点）比较靠近时。
参看配套资源文件“2-2圆幂定理”。
图2-3图2-4
例2：
平行四边形对角线三等分
作平行四边形ABCD；连接AC，作出AD的中点E，DC的中点F；连接BE交AC于点G，连接BF交AC于点H；测量线段AG，GH，HC的长度（图2-5）；拖动A，B，C三点，寻找其中规律。
参看配套资源文件“2-3平行四边形对角线三等分”。
图2-5
例3：
等腰三角形问题
作出等腰△ABC，其中AC=BC；在线段AB上取点D，作DE垂直AC，作DF垂直BC；测量线段DE，DF的长度，计算两者之和与两者之差（图2-6）；拖动点D，寻找其中规律。
参看配套资源文件“2-4等腰三角形问题”。
图2-6
例4：
等边三角形中的一点
作出等边△ABC；在三角形内部作出点D，过点D作DE垂直于BC，过点D作DF垂直于AB，过点D作DG垂直于AC；测量线段DE，DF，DG长度，并相加（图2-7）；在△ABC内部拖动点D，寻找其中规律。
参看配套资源文件“2-5等边三角形中的一点”。
图2-7
例5：
三角形中位线定理
作△ABC；作出线段AB的中点D，作出线段AC的中点E，连接DE；测量线段DE，BC，计算
；测量∠ADE和∠ABC，∠AED和∠ACB（图2-8）；拖动点A、B、C，寻找其中规律。
参看配套资源文件“2-6三角形中位线定理”。
图2-8
例6：
井田问题
如图2-9，作四边形ABCD，点E、F、G、H、I、J、K、L分别是四条边上的三等分点。
计算
，看看有什么发现。
这里需要用到点绕点旋转缩放命令：
PointFlexRotate（P,A,Times,Angle[,Text]），其作用是将点P绕点A逆时针方向旋转角Angle，并将P到A的距离缩放Times倍后所生成的点。
这里旋转的角度是度，旋转的方向是逆时针方向。
如果要求顺时针方向旋转，可将Angle的值反号。
参看配套资源文件“2-7井田问题”。
图2-9
例7：
五点共圆
如图2-10，作出五角星ABCDE，再过D、F、J三点作圆，如果不想一步一步地用尺规构图，就可以用文本命令：
CircleOf3Point（A,B,C）。
同样地再分别以点AGF，点CHG，点EHI，点BIJ作外接圆；这5个圆又产生了5个交点K，L，M，N，P，有趣的是这5个点共圆（图2-11）。
检验方法：
可以过点K，L，M三点作圆，任意拖动五角星发现P，N两点也在圆上。
参看配套资源文件“2-8五点共圆”。
（注：
如果用的是《超级画板》的完全版，执行“推理|自动推理”命令,在几秒后可以给出这条定理的传统风格的可读证明。
）
图2-10图2-11
现在你该明白什么是智能化的动态几何了吧：
1：
软件要具有智能化，能主动去识别人的意图，减轻人的负担，并帮助人来完成所要作的事情；
2：
不管你怎么样拖动，所作的图始终保持几何不变性。
运用《超级画板》研究数学问题,能使抽象的数学问题具体化、模型化、直观化，让人先从感观上得出相关结论,这对进一步学习与探索无疑有很大的帮助,能激发想象，驱使人们在变化中寻找不变，发现数学规律，印证数学猜想，诱发直觉思维,揭示数学本质。
所以,《超级画板》被认为是“做数学”的虚拟实验室，是培养创新能力的优秀认知平台。
运用动态几何软件探索数学的几条原则注意事项
就是类似于数学通报发表的那几条规律
习题2-1：
据说数学家牛顿曾经考虑过这样一个趣题：
有九棵树,要栽十行,每行三棵,请你帮忙。
有人设计了一份答案，就是图2-12。
你认为这份答案对么？
我们可以用《超级画板》来验证，看看I、G、F三点是不是总保持共线。
参看配套资源文件“2-9九树十行”。
图2-12
（三）模拟尺规作图
尺规作图历史悠久，影响深远，看似简单，其实奥妙无穷，极具挑战性，能够培养数学思维和数学能力，特别是古希腊三大几何难题更是吸引了无数数学爱好者。
用《超级画板》很容易作出尺规作图难以作出的图形，但所用方法已经不是真正意义上的尺规作图了。
当然，我们也可以限制超级画板的功能，譬如不用“测量”功能，因为尺规作图中的圆规和直尺都是没有测量功能。
由于“智能画笔”功能太强，我们在用超级画板模拟尺规作图时，需要去掉其智能性，具体操作是在“查看”菜单中选择“智能画笔的类型”。
尺规作图经典范例很多，仅举几例说明，中间简化了少数步骤。
例1：
过圆外一点作圆的切线
法1：
（1）任意作圆，圆心为Ａ，AB为半径；在圆外任作点C；
（2）连接AC，作出中点D；以点D为圆心，DA为半径作圆；
（3）两圆相交于E、F两点，CE，CF即为所求作切线段（图2-13）。
此作法所用数学原理：
圆内直径所对的角为直角。
当我们拖动点C至圆内时，两圆无交点，自然切线也不存在（图2-14）。
图2-13图2-14图2-15
法2：
（1）任意作圆，以圆心为Ａ，AB为半径；在圆外任作点C；
（2）连接AC，作出AC与圆的交点D；过点D作圆AC的垂线；
（3）以点A为圆心，AC为半径作圆，交垂线于点E；
（4）连接AE交圆于点F，AF即为所求切线段（图2-15）。
此作法用到全等三角形的知识，其巧妙之处就在于将作切线问题转化为作垂线问题。
参看配套资源文件“2-10过圆外一点向圆作切线”。
例2：
作两圆的公切线
作法：
（1）任意作两圆，一个是以圆心为Ａ，AB为半径，另一个以圆心为C，CD为半径；
（2）以点C为圆心，
为半径作圆；
（3）连接AC，作出中点E；以点E为圆心，EC为半径作圆，交
（较大者）于点F；
（4）连接FC交
（较小者）于点G；过点G作CF的垂线即为所求（图2-16）。
根据对称关系，这样的公切线还有一条。
与此类似，我们可以作出两圆的外公切线（图2-17），稍有不同的是第
（2）步时将
改成
（假设此时
）。
参看配套资源文件“2-11两圆的公切线”。
图2-16图2-17
例3：
单尺作图等分线段
随着人们数学水平的提高，从最开始的尺规作图，又引发出了单规作图（仅用圆规作图），单尺作图（仅用直尺作图）等更高难度的作图。
下面将给出单尺作图的经典实例——等分线段，并用面积法给出严格证明。
首先引入面积法的一个基本定理。
我们任作两条不平行线段AB和PQ，设交点为M，通过超级画板的测量工具，容易发现不管如何拖动A、B、P、Q四点，总有
成立。
共边定理若直线AB和PQ相交于点M（如图2-18，有四种情形）,则有
。
图2-18
证明：
在直线AB上取一点N，使得MN=AB，则
与
共高，
即有
。
从本质上讲，共边定理是“等底等高的三角形面积相等”这一性质的推论，看起来很简单，但它的用途相当广泛，详见《新概念几何》（张景中著）。
参看配套资源文件“2-12共边定理”。
例4：
已知线段AB和平行于AB的直线CD，仅用直尺求作AB的2等分点（即中点）。
作法：
如图2-19
1：
作出线段AB和直线CD；
2：
在线段AB和直线CD外任取点E，连接AE，BE分别交直线CD于F，G两点；
3：
连接AG，BF，交点为H；
4：
延长EH交AB于点I，点I即为所求。
证明：
图2-19图2-20
最后一步用到直线CD平行线段AB。
类似可证EH平分FG。
这也就是梯形中一个很有用的结论：
延长梯形两腰的交点和梯形两对角线的交点的连线平分梯形的上底和下底！
下面我们将在此基础上进一步等分线段。
例5：
已知线段AB和平行于AB的直线CD，仅用直尺求作AB的n等分点。
作法：
如图2-20
1：
按例4所讲方法作出AB中点I；
2：
连接IG交BF于J，延长EJ交AB于K，则点K为AB的3等分点；
3：
类似操作即可得到4等分点，5等分点……；
证明：
数学归纳法
1：
当n＝2时，已证；
2：
假设点I为AB的
等分点，那么连接IG交BF于J，延长EJ交AB于K，则点K为AB的n等分点。
证明如下：
，
所以点K为AB的n等分点。
参看配套资源文件“2-13单尺作图”。
也许有读者会问：
以上的几例，原本只需用到《超级画板》中的函数命令就能很容易地解决，为什么还要舍近求远呢？
道理很简单：
就如同我们的目标是行军万里，但日常的操练——围绕田径场跑圈子也是有必要的。
要想从事深层次的数学研究，基本功相当重要，不能贪图一时的轻松快捷。
用计算机模拟尺规作图，《超级画板》完全继承了传统的优点，这是PPT，FLASH等其他的软件所不能比较的。
而且在继承优点的同时，还摆脱了一些缺点，列举如下：
（1）作图痕迹：
传统的尺规作图在完成作图后，要么擦去作图痕迹，要么保留；此时存在矛盾：
保留作图痕迹会使图形显得很凌乱，特别是绘制较复杂图形，而擦去作图痕迹则会使作者的作图思路也无影无踪，不利于交流。
而在《超级画板》中，用“隐藏”功能就能很容易解决这一矛盾。
（2）逻辑性：
传统的尺规作图在绘制好较复杂的图形后，即使保留了作图痕迹，密密麻麻的点、线、圆也会让其他人难以理清作图顺序；而在《超级画板》中，每作一步，软件都会自动记录，通过查看点的标签和“图形对象工作区”中的编号，思路非常清晰。
（3）保存与共享：
传统的尺规作图，作品不方便保存，更不利于资源共享。
《超级画板》文件保存方便，且便于在网上传播。
（4）发现数学性质：
以三角形三高交于一点为例；传统的尺规作图即使采用分类的思想，也要分锐角三角形，直角三角形和钝角三角形三种情况来讨论，由于图形静止，让人不得不怀疑所作三角形是否具有代表性；而在超级画板中，作一个图形即可，鼠标拖动时演化成无数个三角形，使人相信三角形三高确实交于一点，十分直观。
如果再加上超级画板的“动态测量”功能，这一点就更明显了。
千百年来，简单的圆规直尺为我们描绘了几何学的大厦；在计算机迅速普及的今天，《超级画板》更是为我们提供了探索数学奥秘的先进武器。
（四）图案设计
在日常生活中，到处都可以看到各种各样漂亮的图案，这些图案给我们带来了美的享受，而这些的图案设计除了需要美术功底之外，很多也需要用到一些数学知识。
下面我们就来看一些简单例子。
例1：
绘制数字。
（1）在对象工作区中，右键单击“[0]直角坐标系”,弹出“对象的属性”对话框后，勾选“画坐标网格”，点击确定（图2-21）。
将屏幕右边的“对象属性工作区”拉宽一点，在最下面的“其它”一栏里，点击“自由点为网格”右边的小三角，弹出下拉菜单后，选择“是”，此时下方还会出现提示（图2-22）；
图2-21
图2-22图2-23
（2）此时在屏幕上画点，所画的点都在网格上；仿照图2-23，画点连线；
（3）在“编辑”菜单中，去掉“全部点的名字”前面的勾选；在“编辑”菜单中，点击“选择对象”；在其子菜单中，点击“选择全部的直线、线段、向量或射线”；改变所选线段的颜色、线宽等，可得图2-24。
参看配套资源文件“2-14绘制数字”。
图2-24
例2：
绘制中点正方形
（1）作A，B两点，选中后点击“作图”菜单下面的“常见多边形”，在其子菜单中点击“正方形”（图2-25）；
（2）作出AB的中点E和BC的中点F，仿照
（1），选中E，F两点作正方形（图2-26）；依此类推可作出图2-27，图2-28，图2-29；
（3）如图2-30所示，构造多边形，并填充颜色，隐藏所有点。
参看配套资源文件“2-15绘制中点正方形”。
图2-25图2-26图2-27
图2-28图2-29图2-30
例3：
绘制圆弧图案
（1）显示网格，设置自由点为网格点之后，我们很容易作出图2-31；依次选中圆，点B和点D，在“作图”菜单中点击“圆和圆弧”，在其子菜单下点击“已知圆上的圆弧”，隐藏所作圆（图2-32）；
（2）如图2-33所示，作出其它三条圆弧（需要注意：
选择圆上两点时，要按逆时针方向）；
（3）以点E为圆心，EF为半径作圆（图2-33）；选中该圆，点击“对象”菜单中的“移动对象到最后面”；分别对四条圆弧和圆进行修饰，图2-34就是最终效果。
参看配套资源文件“2-16绘制圆弧图案”。
图2-31图2-32
图2-33图2-34
例4：
分割圆内接正六边形
（1）如图2-35所示，作出7个圆，并隐藏外面6个圆（图2-36）；
（2）如图2-37所示，对正六边形进行分割；
（3）如图2-38所示，填充分割后的图形；
参看配套资源文件“2-17分割圆内接正六边形”。
图2-35图2-36
图2-37图2-38
例5：
绘制平移图案
（1）显示网格，设置自由点为网格点；如图2-39所示，作好8个点，依次选择A，C，F，G，H，E，D，B等8个点作多边形；
（2）依次选中点A和点B，点击“变换”菜单中的“选定平移向量”；选中点B和多边形，点击“变换”菜单中的“平移几何对象”，得到图2-40；
（3）依次选中点B和点G，点击“变换”菜单中的“目前正在使用的平移向量为AB”；先将两个多边形填充不同的颜色，然后选中，点击“变换”菜单中的“平移几何对象”；再次点击“平移几何对象”得到图2-41；
（4）依次选中点A和点I，点击“变换”菜单中的“目前正在使用的平移向量为BG”；选中所有多边形，两次点击变换”菜单中的“平移几何对象”就可以得到图2-42；
（5）拖动8个点，可以得到很多漂亮的图形，图2-43就是其中的一个。
参看配套资源文件“2-18绘制平移图案”。
图2-39图2-40
图2-41
图2-42图2-43
例6：
绘制旋转图案
（1）显示网格，设置自由点为网格点，我们很容易作出图2-44；依次选中A，C，D，B四点作多边形，填充为黑色；
图2-44
（2）在程序区输入“Rotate（9,5,pi/2）;”，执行命令；在程序区输入“Rotate（11,5,pi/2）;”，执行命令；在程序区输入“Rotate（12,5,pi/2）;”，执行命令；可得图2-45；
（3）拖动点B到点D位置；可得图2-46；拖动点B到点C位置；可得图2-47；如果还拖动其它点的话，变化可就更多了，图2-48就是其中一个变化。
参看配套资源文件“2-19绘制旋转图案”。
图2-45图2-46图2-47图2-48
例7：
绘制放缩图案
（1）先作A，B两点，以此作正方形ABCD，连接AC，作AC中点E（图2-49）；
（2）在程序区输入“Rotate（5,14,pi/4）;Rotate（6,14,pi/4）;”可得到F，G两点，并以F，G两点作出正方形FGHI；作出线段的交点J，L，K三点（图2-50）；
（3）测量EC，EL的长度，并计算
；作出多边形CJK；
图2-49图2-50
（4）在程序区输入下面函数命令，执行命令后生成3个新的多边形，将4个多边形添加颜色可得到图2-51；
Dilate（30,14,m002）;Dilate（31,14,m002）;Dilate（32,14,m002）;
（5）在程序区输入下面函数命令，执行命令后生成4个新的多边形；Rotate（30,14,pi/4）;Rotate（31,14,pi/4）;Rotate（32,14,pi/4）;Rotate（33,14,pi/4）;
（6）修改上述4条函数命令中4个多边形的编号，再旋转6次可得图2-52；
参看配套资源文件“2-20绘制放缩图案”。
图2-51图2-52
例8：
绘制对称图案
有人在学习了怎样绘制数字之后，就作了图2-53，我们能帮他改正么？
（1）在图2-53下面作一条水平的线段；
（2）依次选中“2+3=8”和水平线段，点击“变换”中的“关于直线的对称图形”，即可得到图2-54。
参看配套资源文件“2-21绘制对称图案”。
图2-53图2-54
例9：
填充颜色的四招
在画好图形之后，再填充颜色能够起到锦上添花的效果，但是有些图形的是由曲线围成的，用简单的填充难以奏效。
第一招：
区域的交，作用是填充多个区域的公共部分；
（1）先作两个圆（图2-55）；
（2）在程序区输入“RegionAnd（7,10,）;”可得图2-56；
图2-55图2-56
第二招：
区域的并，作用是填充多个区域的所占有的部分；
（1）先如图2-57所示，作两个正方形，然后依次选中顶点，构造多边形；
（2）在程序区输入“RegionOr（25,26,）;”，可得图2-58；
图2-57图2-58
第三招：
区域的差，作用是填充被第一个区域包含而不被其他区域包含的部分；
（1）先作一个正四边形和四个圆（图2-59）；
（2）在程序区输入“RegionDiff（10,13,15,17,18）;”，可得图2-60；
图2-59图2-60图2-61
第四招：
区域的与或，填充的范围是：
多个区域的总和减去多个区域的相交部分；
（1）先作一个正四边形和四个圆（图2-59）；
（2）在程序区输入“RegionXor（13,15,17,18,10）;”，可得图2-61。
以上四个函数除了用于图案设计时填充颜色之外，最多的就是用于集合教学时用来作交、并、补集等。
参看配套资源文件“2-22填充颜色的四招”。
[习题2-2]利用网格点，绘制0到9这10个数字。
[习题2-3]绘制下面图形。
参看配套资源文件“2-23图案设计1”。
图2-62
[习题2-4]绘制下面图形。
参看配套资源文件“2-24图案设计2”。
图2-63
[习题2-5]先作出基础图形（图2-64），并将7个小区域用不同颜色填充。
参看配套资源文件“2-25配色”。
图2-64
（五）简单课件制作
例1：
三角形的面积公式
几何学源于面积的计算。
一个基本的，但并不显然的面积公式就是“三角形面积等于底和高的乘积的一半”。
可以用一个小动画来说明这个公式的道理。
打开配套资源文件“2-26三角形面积公式”，界面如图2-65。
单击动画按钮，则△AEF和△AEG分别绕点F和G转动，如图2-66；转动到如图2-67的位置停止，这时△ABC被剪拼成一个矩形。
矩形的长等于三角形的边BC,宽等于三角形的高AD的一半。
单击动画按钮的副钮，图形逆向运动复原。
图2-65
图2-66图2-67
现在我们自己动手做这个动画。
仔细看看图2-65左部的对象列表，在动手之前就会胸有成竹。
具体操作如下：
（1）作△ABC，自A向BC引垂足，当出现“垂足”字样时松开鼠标左键作出垂足D。
（2）鼠标光标指向AD中点处，当出现“中点”字样时按下鼠标左键作出中点E。
（3）按下鼠标自E沿平行于DC方向画线，当接近线段AC时会出现“平行相交”或“中点”字样；松开鼠标左键作出AC中点F。
同理作出AB中点G和线段EG。
（4）作出多边形AEF和多边形AEG
（5）打开文本作图命令对话框，调出图形变换类旋转函数Rotate（,,）,填入参数如图2-68；
这里18，19分别是多边形AEF和AEG的编号；14，16分别是旋转中心F和G的编号；用变量t作为旋转角，是留有余地，准备让t来驱动旋转。
单击运行按钮作出两个旋转复制的多边形，如图2-69。
如果你作图时的对象编号与此不同，参数号码以你的为准。
图2-68
如图2-69
（6）为了使两个复制的多边形停在预期的位置，要作出变量t的动画按钮。
不选择对象，单击右键打开右键菜单，执行其中的“动画”命令，在打开的对话框里键入t,单击确定打开动画设置对话框，设置频率为300-500以免过快，参数范围设为0到pi,类型设置为一次运动。
单击确定作出动画按钮。
（7）作出多边形BCFG。
选择多边形BCFG和两个复制的多边形，单击上方工具栏中的“填充颜色”按钮旁的小黑三角（图2-70）打开颜色盘，选择适当的颜色进行填充。
再单击“增加透明”按钮（图2-70）若干次，使几个多边形成为半透明状态，以便观察。
最后单击“文本”按钮添加标题，大功告成。
图2-70
用鼠标拖动点A,三角形的高AD会随着变
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