第5课运动学典型问题及解决方法2.docx

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第5课运动学典型问题及解决方法2

运动学典型问题及解决方法

（2）

两物体在同一直线上追及、相遇或避免碰撞问题中的条件是：

两物体能否同时到达空间某位置。

因此应分别对两物体研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系而解出。

一、追及问题

1、追及问题中两者速度大小与两者距离变化的关系。

甲物体追赶前方的乙物体，若甲的速度大于乙的速度，则两者之间的距离。

若甲的速度小于乙的速度，则两者之间的距离。

若一段时间内两者速度相等，则两者之间的距离。

2、追及问题的特征及处理方法：

“追及”主要条件是：

两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种：

1初速度为零的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙，一定能追上，追上前有最大距离的条件：

两物体速度，即

。

⑵匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，存在一个能否追上的问题。

判断方法是：

假定速度相等，从位置关系判断。

①若甲乙速度相等时，甲的位置在乙的后方，则追不上，此时两者之间的距离最小。

②若甲乙速度相等时，甲的位置在乙的前方，则追上。

③若甲乙速度相等时，甲乙处于同一位置，则恰好追上，为临界状态。

解决问题时要注意二者是否同时出发，是否从同一地点出发。

⑶匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时，情形跟⑵类似。

3、分析追及问题的注意点：

⑴要抓住一个条件，两个关系：

一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等。

两个关系是时间关系和位移关系，通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口。

⑵若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。

⑶仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意

图象的应用。

二、相遇

1同向运动的两物体的相遇问题即追及问题，分析同上。

（2）相向运动的物体，当各自发生的位移绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇。

【典型例题】例1．在十字路口，汽车以

的加速度从停车线启动做匀加速运动，恰好有一辆自行车以

的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求：

（1）什么时候它们相距最远？

最远距离是多少？

（2）在什么地方汽车追上自行车？

追到时汽车的速度是多大？

分析：

⑴审题（写出或标明你认为的关键词）

⑵分析过程，合理分段，画出示意图，并找出各段之间的连接点

解题过程：

例2．火车以速度

匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距S处有另一列火车沿同方向以速度

（对地、且

）做匀速运动，司机立即以加速度

紧急刹车，要使两车不相撞，

应满足什么条件？

分析：

⑴审题（写出或标明你认为的关键词）

⑵分析过程，合理分段，画出示意图，并找出各段之间的连接点

解题过程：

例3、在某市区内，一辆小汽车在公路上以速度v1向东行驶，一位观光游客正由南向北从斑马线上横过马路。

汽车司机发现游客途经D处时，经过0.7s作出反应紧急刹车，但仍将正步行至B处的游客撞伤，该汽车最终在C处停下，如图所示。

为了判断汽车司机是否超速行驶以及游客横穿马路的速度是否过快，警方派一警车以法定最高速度vm＝14.0m/s行驶在同一马路的同一地段，在肇事汽车的起始制动点A紧急刹车，经14.0ｍ后停下来。

在事故现场测得

＝17.5ｍ，

＝14.0ｍ，

＝2.6ｍ．肇事汽车的刹车性能良好，问：

（1）该肇事汽车的初速度vA是多大?

（2）游客横过马路的速度是多大?

（1）以警车为研究对象，有：

将v0=14.0m/s，x=14.0m，v=0代入

解得警车刹车加速度大小为：

a=7.0m/s2，

因为警车行驶条件与肇事汽车相同，则肇事汽车的加速度a′=a=7.0m/s2．

对AB过程，有0-vA2=-2a•AC，代入解得，肇事汽车的初速度vA=21m/s．故知该车超速．

（2）设肇事汽车从A到B运动时间为t，由

解得t=1s

司机的反应时间为0.3s，

得人从D到B的时间为t'=1.3s

由v

分析：

⑴审题（写出或标明你认为的关键词）

⑵分析过程，合理分段，画出示意图，并找出各段之间的连接点

解题过程：

【针对训练】

1、为了安全，在公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离．已知某高速公路的最高限速v＝120km／h．假设前方车辆突然停止，后车司机从发现这一情况，经操纵刹车，到汽车开始减速所经历的时间（即反应时间）t＝0.50s．刹车时汽车的加速度为a=4m／s2．该高速公路上汽车间的距离s至少应为多少？

（取重力加速度g=10m／s2．）

2、客车以20m/s的速度行驶，突然发现同轨前方120m处有一列货车正以6m/s的速度同向匀速前进，于是客车紧急刹车，刹车引起的加速度大小为0.8m/s2，问两车是否相撞？

3、如图,A、B两物体相距S=7米,A正以V1=4米/秒的速度向右做匀速直线运动,而物体B此时速度V2=10米/秒,方向向右,做匀减速直线运动（不能返回）,加速度大小a=2米/秒2,从图示位置开始计时,经多少时间A追上B.

4、某人在室内以窗户为背景摄影时，恰好把窗外从高处落下的一小石子摄在照片中。

已知本次摄影的曝光时间是0.02s，量得照片中石子运动痕迹的长度为1.6cm，实际长度为100cm的窗框在照片中的长度是4.0cm，凭以上数据，你知道这个石子是从多高的地方落下的吗？

计算时，石子在照片中0.02s速度的变化比起它此时的瞬时速度来说可以忽略不计，因而可把这极短时间内石子的运动当成匀速运动来处理。

（g取10m/s2）

5、下列货车以28.8km/h的速度在铁路上运行，由于调事故，在后面700m处有一列快车以72m/h的速度在行驶，快车司机发觉后立即合上制动器，但快车要滑行2000m才停下来：

（1）试判断两车会不会相撞，并说明理由。

（2）若不相撞，求两车相距最近时的距离；若相撞，求快车刹车后经多长时间与货车相撞？

【例1】羚羊从静止开始奔跑，经过50m能加速到最大速度25m/s，并能维持一段较长的时间；猎豹从静止开始奔跑，经过60m的距离能加速到最大速度30m/s，以后只能维持此速度4.0s.设猎豹距离羚羊xm时开时攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后1.0s才开始奔跑，假定羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑，求：

猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊，x值应在什么范围？

解析：

先分析羚羊和猎豹各自从静止匀加速达到最大速度所用的时间，再分析猎豹追上羚羊前，两者所发生的位移之差的最大值，即可求x的范围。

设猎豹从静止开始匀加速奔跑60m达到最大速度用时间t2，则

，

羚羊从静止开始匀加速奔跑50m达到最大速度用时间t1，则

，

猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊，则猎豹减速前的匀速运动时间最多4s，而羚羊最多匀速3s而被追上，此x值为最大值，即x=S豹－S羊=[（60＋30×4）－（50＋25×3）]=55m，所以应取x<55m。

【例2】一辆小车在轨道MN上行驶的速度v1可达到50km/h，在轨道外的平地上行驶速度v2可达到40km/h，与轨道的垂直距离为30km的B处有一基地，如图所示，问小车从基地B出发到离D点100km的A处的过程中最短需要多长时间（设小车在不同路面上的运动都是匀速运动，启动时的加速时间可忽略不计）？

【解析】建构合理的知识体系，巧用类比，触发顿悟性联想。

显然，用常规解法是相当繁琐的。

我们知道，光在传播过程中“走”的是时间最短的路径。

可见，我们可以把小车的运动类比为光的全反射现象的临界状态（如图所示），根据临界角知识得：

sinC=v2/v1＝4/5，由图得：

sinC＝x/

，小车运动时间：

t=（100－x）/vl＋

/v2由以上几式可得：

c＝40km，t＝2．45h。

【例2】高为h的电梯正以加速度a匀加速上升，忽然天花板上一颗螺钉脱落．螺钉落到电梯底板上所用的时间是多少？

解析：

此题为追及类问题，依题意画出反映这一过程的示意图，如图2—27所示．这样至少不会误认为螺钉作自由落体运动，实际上螺钉作竖直上抛运动．从示

意图还可以看出，电梯与螺钉的位移关系：

S梯一S钉=h式中S梯＝vt十½at2，S钉＝vt－½gt2

可得t=

错误：

学生把相遇过程示意图画成如下图，则会出现S梯＋S钉=h

式中S梯＝v0t十½at2，S钉＝v0t－½gt2

这样得到v0t十½at2＋v0t－½gt2=h，即½（a－g）t2＋2v0t－h=0

由于未知v0，无法解得结果。

判别方法是对上述方程分析，应该是对任何时间t，都能相遇，即上式中的Δ＝4v02＋2（a－g）h≥0

也就是v0≥

，这就对a与g关系有了限制，而事实上不应有这样的限制的。

点评：

对追及类问题分析的关键是分析两物体运动的运动过程及转折点的条件．可见，在追赶过程中，速度相等是一个转折点，要熟记这一条件．在诸多的物理问题中存在“隐蔽条件”，这类问题往往是难题，于是，如何分析出“隐蔽条件”成为一个很重要的问题，一般是根据物理过程确定．该题中“隐蔽条件”就是当两车速度相同时距离最大．解析后，问题就迎刃而解．

2、相遇问题的分析思路

相遇问题分为追及相遇和相向运动相遇两种情形，其主要条件是两物体在相遇处的位置坐标相同．

（1）列出两物体运动的位移方程，注意两个物体运动时间之间的关系．

（2）利用两物体相遇时必处在同一位置，寻找两物体位移间的关系．

（3）寻找问题中隐含的临界条件．

（4）与追及中的解题方法相同

【例3】．在某铁路与公路交叉的道口外安装的自动拦木装置如图所示，当高速列车到达A点时，道口公路上应显示红灯，警告来越过停车线的汽车迅速制动，而且超过停车线的汽车能在列车到达道口前安全通过道口。

已知高速列车的速度V1=120km/h，汽车过道口的速度V2=5km/h，汽车驶至停车线时立即制动后滑行的距离是S0＝5m，道口宽度s＝26m，汽车长l=15m。

若栏木关闭时间tl＝16s，为保障安全需多加时间t2=20s。

问：

列车从A点到道口的距离L应为多少才能确保行车安全？

解析：

由题意知，关闭道口时间为16s，为安全保障再加20s，即关闭道口的实际时间为t0=20+16=36s，汽车必须在关闭道口前已通过道口，汽车从停车线到通过道口实际行程为S=26+5+15=46m，需用时

，由此亮起红灯的时间为T=t0+t2，故A点离道口的距离应为：

L=V1T=

=2304m

【例4】火车以速度Vl匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距S处有另一火车沿同方向以速度V2（对地、且V1＞V2）做匀速运动．司机立即以加速度a紧急刹车．要使两车不相撞，a应满足什么条件？

解法一：

后车刹车后虽做匀减速运动，但在其速度减小至和V2相等之前，两车的距离仍将逐渐减小；当后车速度减小至小于前车速度，两车距离将逐渐增大．可见，当两车速度相等时，两车距离最近．若后车减速的加速度过小，则会出现后车速度减为和前车速度相等之前即追上前车，发生撞车事故；若后车加速度过大，则会出现后车速度减为和前车速度相等时仍未过上前车，根本不可能发生撞车事故；若后车加速度大小为某值时，恰能使两车在速度相等时后车追上前车．这正是两车恰不相撞的临界状态，此时对应的加速度即为两车不相撞的最小加速度．综上分析可知，两车恰不相撞时应满足下列两方程：

V1t－a0t2/2＝V2t＋SV1—a0t=V2解之可得：

a0=

．所以当a≥

时，两车即不会相撞

解法二：

要使两车不相撞，其位移关系应为V1t－at2/2≤S＋V2t

即at2/2＋（V2－V1）t＋S≥0

对任一时间t，不等式都成立的条件为Δ＝（V2－V1）2－2as≤0由此得a≥

解法三：

以前车为参照物，刹车后后车相对前车做初速度V0=V1－V2，加速度为a的匀减速直线运动．当后车相对前车的速度成为零时，若相对位移S/≤S，则不会相撞．故由

S/=V02/2a=（V1－V2）2/2a≤S，得a≥

点评：

三种解法中，解法一注重对运动过程的分析，抓住两车间距有极值时速度应相等这一关键条件来求解；解法二中由位移关系得到一元二次方程．然后利用根的判别式来确定方程中各系数间的关系，这也是中学物理中常用的数学方法；解法三通过巧妙地选取参照物，使两车运动的关系变得简明．

说明：

本题还可以有多种问法，如“以多大的加速度刹车就可以不相碰？

”，“两车距多少米就可以不相碰？

”，“货车的速度为多少就可以不相碰？

”等，但不管哪一种问法，都离不开“两车速度相等”这个条件．

【例5】甲、乙两车相距S，同时同向运动，乙在前面做加速度为a1、初速度为零的匀加速运动，甲在后面做加速度为a2、初速度为v0的匀加速运动，试讨论两车在运动过程中相遇次数与加速度的关系。

【分析】由于两车同时同向运动，故有v甲=v0＋a2t，v乙=a1t。

①当al＜a2时，alt＜a2t，可得两车在运动过程中始终有，V甲＞V乙。

由于原来甲在后，乙在前，所以甲、乙两车的距离在不断缩短，经过一段时间后甲车必然超过乙车，且甲超过乙后相距越来越大，因此甲、乙两车只能相遇一次。

②当al=a2时，alt＝a2t，可得v甲=v0＋v乙，同样有v甲＞v乙，因此甲、乙两车也只能相遇一次。

③当al＞a2时，alt＞a2t，v甲和v乙的大小关系会随着运动时间的增加而发生变化。

刚开始，alt和a2t相差不大且甲有初速v0，所以v甲＞v乙；随着时间的推移，alt和a2t相差越来越大；当alt－a2t＝v0时，v甲=v乙，接下来alt－a2t＞v0，则有v甲＜v乙，若在v甲=v乙之前，甲车还没有超过乙车，随后由于v甲＜v乙，甲车就没有机会超过乙车，即两车不相遇；若在v甲=v乙时，两车刚好相遇，随后v甲＜v乙，甲车又要落后乙车，这样两车只能相遇一次；若在v甲=v乙前，甲车已超过乙车，即已相通过一次，随后由于v甲＜v乙，甲、乙距离又缩短，直到乙车后反超甲车时，再相遇一次，则两车能相遇两次。

【解】由于S甲=v0t＋½a2t2，S乙=½a1t2，

相遇时有S甲－S乙＝s，则v0t＋½a2t2－½a1t2＝S，½（a1一a2）t2一v0t＋S＝0．

①当a1＜a2时，①式；只有一个正解，则相遇一次。

②当a1＝a2时S甲一S乙=v0t＋½a2t2－½a1t2=v0t=S，∴t=S/v0t只有一个解，则相遇一次。

③当al＞a2时，若v

＜2（al－a2）s，①式无解，即不相遇。

若v02=2（al－a2）s，①式t只有一个解，即相遇一次。

若v02＞2（al－a2）s，①式t有两个正解，即相遇两次。

解法2：

利用v一t图象求解。

①当al＜a2时，甲、乙车的运动图线分别为如图，其中划斜线部分的面积表示t时间内甲车比乙车多发生的位移，着此而积为S，则t时刻甲车追上乙车而相遇，以后在相等时间内甲车发生的位移都比乙车多，所以只能相遇一次。

②当al=a2时，甲、乙两车的运动图线分别如图，讨论方法同①，所以两车也只能相遇一次。

③当al＞a2时，甲、乙两车的运动图线分别为如图的1和11，其中划实斜线部分面积表示用车比乙车多发生的位移，划虚斜线部分的面积表示乙车比甲车多发生的位移。

若划线部分的面积小于S，说明甲追不上乙车，则不能相遇；若划实斜线部分的面积等于S，说明甲车刚追上乙车又被反超，则相遇一次；若划实斜线部分的面积大于S，说明tl内划实线部分的面积为S，说明t1时刻甲车追上乙车，以后在t1——t时间内，甲车超前乙车的位移为tl－——t时间内划实线部分的面积，随后在t——－t2时间内，乙车比甲车多发生划应线部分的面积，如果两者相等，则t2时刻乙车反超甲车，故两车先后相遇两次。

【例6】在空中足够高的某处，以初速度v竖直上抛一小球，ts后在同一地点以初速度v/竖直下抛另一个小球，若使两个小球在运动中能够相遇，试就下述两种情况讨论t的取值范围：

（l）0＜v/＜v，

（2）v/＞v

【解析】若两小球在运动中能够在空中相遇，必须是下抛小球刚抛出时，上抛小球已进入下降阶段，且速度大的小球在后，追赶前面速度小的球，

（1）如图甲所示．上抛小球速度方向变为向下，大小达v/时所经历的时间为t0，则

∴当t＞t0时，上抛小球的即时速度vt＞v/，上抛小球能够追上下抛小球，但是，若上抛小球已越过抛出点，再向下抛出另一个小球时，两球就不会相遇，而上抛球回到抛出点的时间t1为：

即：

当

＜t＜

时两球能够在运动中相遇

（2）如图乙所示，上抛小球速度方向变为向下，大小达v/时所经历时间为t0/，则：

t0/=

当t＜t0/时，上抛时即时速度vt＜v/，但若使上抛球在前，t还大于t1=2v/g才行，因此，两球在运动中相遇的条件为：

＜t＜

【能力训练】

1．甲乙两个质点同时同地向同一方向做直线运动，它们的v—t图象如图所示，则（）

A．乙比甲运动的快

B．2s乙追上甲

C．甲的平均速度大于乙的平均速度

D．乙追上甲时距出发点40m远

２．汽车A在红绿灯前停住，绿灯亮起时起动，以0.4m/s2的加速度做匀加速运动，经过30s后以该时刻的速度做匀速直线运动．设在绿灯亮的同时，汽车B以8m/s的速度从A车旁边驶过，且一直以相同速度做匀速直线运动，运动方向与A车相同，则从绿灯亮时开始（）

A．A车在加速过程中与B车相遇

B．A、B相遇时速度相同

C．相遇时A车做匀速运动

D．两车不可能再次相遇

3．两辆完全相同的汽车,沿水平直路一前一后匀速行驶,速度均为V0,若前车突然以恒定的加速度刹车,在它刚停住时,后车以前车刹车时的加速度开始刹车.已知前车在刹车过程中所行的距离为s,若要保证两辆车在上述情况中不相撞,则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为：

（）

A．s　B．2s　C．3s　D．4s

4．A与B两个质点向同一方向运动,A做初速为零的匀加速直线运动,B做匀速直线运动.开始计时时,A、B位于同一位置,则当它们再次位于同位置时:

（）

A．两质点速度相等．

B．A与B在这段时间内的平均速度相等．

C．A的即时速度是B的2倍．

D．A与B的位移相等．

5．汽车甲沿平直公路以速度V做匀速直线运动，当它经过某处的另一辆静止的汽车乙时，乙开始做初速度为零的匀加速直线运动去追甲。

据上述条件（）

A．可求出乙追上甲时的速度；

B．可求出乙追上甲时乙所走过的路径；

C．可求出乙追上甲所用的时间；

D．不能求出上述三者中的任何一个物理量。

6．经检测汽车A的制动性能：

以标准速度20m/s在平直公路上行使时，制动后40s停下来。

现A在平直公路上以20m/s的速度行使发现前方180m处有一货车B以6m/s的速度同向匀速行使，司机立即制动，能否发生撞车事故？

7．甲乙两车同时同向从同一地点出发，甲车以v1=16m/s的初速度，a1=-2m/s2的加速度作匀减速直线运动，乙车以v2=4m／s的速度，a2=1m／s2的加速度作匀加速直线运动，求两车再次相遇前两车相距最大距离和再次相遇时两车运动的时间。

8．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。

试求：

汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？

此时距离是多少？

9．A、B两车在一条水平直线上同向匀速行驶，B车在前，车速v2=10m/s，A车在后，车速72km/h，当A、B相距100m时，A车用恒定的加速度a减速。

求a为何值时，A车与B车相遇时不相撞。

10．辆摩托车行驶的最大速度为30m/s。

现让该摩托车从静止出发，要在4分钟内追上它前方相距1千米、正以25m/s的速度在平直公路上行驶的汽车，则该摩托车行驶时，至少应具有多大的加速度？

【学后反思】

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参考答案：

例1：

解：

两车速度相等时相距最远，设所用时间为t

v汽＝at＝v自

t＝10s

最远距离x＝x自－x汽

＝v自t－

at2

　　　　　　　　＝25m

设汽车追上自行车所用时间为t／

　此时x自＝x汽

　v自t／＝

at／2

t／＝20s

此时距停车线距离

x＝v自t／＝100m

　此时汽车速度

　v汽＝at／＝10m/s

例2：

解：

设两车恰好相撞，所用时间为t，此时两车速度相等

v1－at＝v2

此时位移关系如图

s＋ｘ2＝ｘ1

ｘ1＝v1t－

at2

ｘ2＝v2t

由以上计算式可得

a＝

所以要使两车不相撞

a>

例3：

解：

设刹车速度大小为a

vm2＝2axm

a＝7m/s2

肇事车先匀速，后减速

x匀＋x减＝AB＋BC

x匀＝vAt，t＝0.7s

vA2＝2ax减

由以上计算式可得

vA＝16.7m/s

设肇事汽车从A到E仍做匀速

x匀＝vAt＝11.7m

xBE＝AB－x匀＝5.8m

汽车从E到B做匀减速

vAtEB－

atEB2＝xBE

tEB＝0.38s

游客横过马路的速度

v＝

＝6.8m/s

针对练习：

1.解：

v＝120km/h＝

m/s

汽车先匀速，后减速，直到停止

s＝x匀＋x减

＝vt＋

＝155.56m

2.解：

若两车不相撞，速度相等时距离最小，设此时所用时间为t，此时

v客＝vo－at＝v货

t＝17.5s

此时x客＝vot－

at2＝227.5m

x货＝v货t＝105m

x客>x货＋120

所以两车相撞

3.解：

设B经时间t速度减为0

v2－at＝0t＝5s

此时xA＝v1t＝20m

xB＝v2t－

at2＝25m

所以此时没追上，AB相距5m，设A走5m所用的时间为t/

v1t/＝xB－xAt/＝1.25s

A追上B所用时间

t总＝t＋t/＝6.25s

4、解：

设在曝光的0.02s内，石子实际下落的距离为

，据题意则

4cm：

10cm＝1.6cm：

＝40cm＝0.4m

则可算出石子了开始被摄入时的瞬时速度为

设下落的石子为自由落体，则有v2=2gh

答：

石子是从距这个窗子20m的高处落下的。

能力训练：

1.D2、C3.B4.BCD5、A

6.解：

汽车加速度a＝

＝0.5m/s2

汽车与货车速度相等时，距离最近，对汽车有：

vo－at＝vt得t＝28s

vo2－vt2＝2ax汽得x汽＝364m

而x货＝v货t＝168m

且x汽>x货＋180

所以能发生撞车事故

8.解：

两车速度相等时相距最远，设所用时间为t，对汽车有：

v＝at则t＝

＝2s

此时x汽＝

at2＝6m

x自＝v自t＝12m

所以两车距离x＝x自－x汽＝6m

9.解：

vA＝72km/h＝20m/s

A，B相遇不相撞，则A，B相遇时速度相等，设所用时间为t

对A车有：

v2＝vA－at

由位移关系：

xA＝xB＋100

xA＝vA－

at2

xB＝v2t

由以上计算式可得

a＝0.5m/s2

10、解：

假设摩托车一直