人教A版高中必修二试题柱体锥体台体的体积.docx

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人教A版高中必修二试题柱体锥体台体的体积

高中数学学习材料

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一、选择题

1．长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是（　　）

A．6B．3

C．11D．12

[答案]　A

[解析]　设长方体长、宽、高分别为a、b、c，则ab＝2，ac＝6，bc＝9，相乘得（abc）2＝108，∴V＝abc＝6.

2．已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则体积为（　　）

A．32B．28

C．24D．20

[答案]　B

[解析]　上底面积S1＝6××22＝6，

下底面积S2＝6××42＝24，

体积V＝（S1＋S2＋）·h

＝（6＋24＋）×2＝28.

3．（2012～2013学年枣庄模拟）一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为1，则这个几何体的体积为（　　）

A．1B.

C.D.

[答案]　D

[解析]　由三视图知，该几何体是三棱锥．

体积V＝××1×1×1＝.

4．体积为52cm3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为（　　）

A．54cm3B．54πcm3

C．58cm3D．58πcm3

[答案]　A

[解析]　由底面积之比为1:

9知，体积之比为1:

27，截得小圆锥与圆台体积比为1:

26，∴小圆锥体积为2cm3，故原来圆锥的体积为54cm3，故选A.

5．（2012·江西（文科））若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（　　）

A.B．5

C．4D.

[答案]　C

[解析]　本题的几何体是一个六棱柱，由三视图可得底面为六边形，面积为4，高为1，则直接代公式可求．

6．（2009·陕西高考）若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（　　）

A.B.

C.D.

[答案]　B

[解析]　由题意知，以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是正八面体（即由两个同底等高的正四棱锥组成），所有的棱长均为1，其中每个正四棱锥的高均为，故正八面体的体积V＝2V正四棱锥＝2××12×＝.故选B.

7．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是（　　）

[答案]　C

[解析]　若该几何体的俯视图是选项A，则该几何体是正方体，其体积V＝13＝1≠，所以A选项不是；若该几何体的俯视图是选项B，则该几何体是圆柱，其体积V＝π×（）2×1＝≠，所以B选项不是；若该几何体的俯视是选项D，则该几何体是圆柱的四分之一，其体积V＝（π×12×1）＝≠，所以D选项不是；若该几何体的俯视图是选项C，则该几何体是三棱柱，其体积V＝×1×1×1＝，所以C选项符合题意，故选C.

8．如图

（1）所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图

（2）水平放置时，液面高度为20cm，当这个几何体如图（3）水平放置时，液面高度为28cm，则这个简单几何体的总高度为（　　）

A．29cmB．30cm

C．32cmD．48cm

[答案]　A

[解析]　图

（2）和图（3）中，瓶子上部没有液体的部分容积相等，设这个简单几何体的总高度为h，则有π×12（h－20）＝π×32（h－28），解得h＝29（cm）．

二、填空题

9．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________.

[答案]　

[解析]　设底面半径为r，则πr2×4＝4π，解得r＝，即底面半径为.

10．如图所示，三棱柱ABC－A′B′C′中，若E、F分别为AC、AB的中点，平面EC′B′F将三棱柱分成体积为V1（棱台AEF－A′C′B′的体积），V2的两部分，那么V1V2＝________.

[答案]　75

[解析]　设三棱柱的高为h，底面面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh.

因为E、F分别为AC、AB的中点，

所以S△AEF＝S，所以V1＝h（S＋S＋）＝Sh，V2＝V－V1＝Sh.

所以V1:

V2＝7:

5.

11．如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．

[答案]　

[解析]　两个同样的该几何体能拼接成一个高为a＋b的圆柱，则拼接成的圆柱的体积V＝πr2（a＋b），

所以所求几何体的体积为.

12．（2010·天津理）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为____．

[答案]　

[解析]　由三视图知，该几何体由一个高为1，底面边长为2的正四棱锥和一个高为2，底面边长为1的正四棱柱组成，则体积为2×2×1×＋1×1×2＝.

三、解答题

13．把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积．

[答案]　或

[解析]　如图所示，当BC为底面周长时，半径r1＝，

则体积V＝πr·AB＝π（）2×6＝；

当AB的底面周长时，半径r2＝＝，

则体积V＝πr·BC＝π（）2×3＝.

14．已知圆台的高为3，在轴截面中，母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．

[解析]　如图所示，作轴截面A1ABB1，设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r，R，l，高为h.

作A1D⊥AB于点D，

则A1D＝3.

又∵∠A1AB＝60°，∴AD＝A1D·，

即R－r＝3×，∴R－r＝.

又∵∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°.

∴BD＝A1D·tan60°，即R＋r＝3×，

∴R＋r＝3，∴R＝2，r＝，而h＝3，

∴V圆台＝πh（R2＋Rr＋r2）

＝π×3×[

（2）2＋2×＋（）2]

＝21π.

所以圆台的体积为21π.

15．已知△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．

[分析]　应用锥体的侧面积和体积的计算公式求解．

解题流程：

[解析]　如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB，垂足为D.

由AC＝3，BC＝4，AB＝5，

知AC2＋BC2＝AB2，则AC⊥BC.

所以BC·AC＝AB·CD，

所以CD＝，记为r＝，

那么△ABC以AB为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径r＝，母线长分别是AC＝3，BC＝4，

所以S表面积＝πr·（AC＋BC）＝π××（3＋4）＝π，

V＝πr2（AD＋BD）＝πr2·AB

＝π×（）2×5＝π.

[特别提醒]　求旋转体的有关问题常需要画出其轴截面，将空间问题转化为平面问题来解决．对于与旋转体有关的组合体问题，要弄清楚它是由哪些简单几何体组成的，然后根据条件分清各个简单几何体底面半径及母线长，再分别代入公式求各自的表面积或体积．

16．（2011·浙江高考）若某几何体的三视图（单位：

cm）如图所示，求此几何体的体积．

[解析]　该空间几何体的上部分是底面边长为4，高为2的正四棱柱，体积为16×2＝32；下部分是上底面边长为4，下底面边长为8，高为3的正四棱台，体积为×（16＋4×8＋64）×3＝112.故该空间几何体的体积为144.