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资本资产定价
资本资产定价：
风险条件下的市场均衡理论
Ⅰ、介绍
有一个问题一直困扰着那些试图想去预测资本市场行为的人们，即缺少一种风险条件下的实证主义微观经济学理论。
虽然人们已经从无风险情况下的传统投资模型中得到了很多有用的深刻见解，但是金融交易中无处不在的风险的影响迫使那些工作于这一领域的人们利用价格行为模型而不是仅仅靠断言。
例如，一个典型的资本资产价格决定的课堂教学解释通常以一个谨慎的、相对严密的对于过程的描述开始，按照这个过程个体偏好和物理关系相互作用决定一个均衡的纯利率。
这个解释是承接市场风险溢价理论而来的，它认为资产价格会伴随着他们所处的不同的风险而调整。
对于理解资本市场中类似的理论，可以以图1作为一个典型的代表。
在均衡点，资本资产价格已经是调整过的，因此如果投资者遵循合理的程序（主要是多种经营），他就可以到达资本市场线上的任何一点。
在他的持有的基础上，要想获得一个更高的预期收益水平就只有通过承担更高的风险来实现。
事实上，市场给他带来两部分的价值：
时间价值，或者说是纯收益率（在图中表示为资本市场线与横轴的交点），和风险价值，即每承担一单位风险所获得的额外预期报酬（资本市场线斜率的导数）。
至今还没有一个理论描述风险价值来源的方式诸如投资者行为的基础性影响、资本资产的物理属性等等。
此外，缺乏这样一个理论，很难给出一个确切的关于资产本身的价格和其所具有的风险之间的关系。
通过多种经营，资产的一些内生风险可以避免于是它的总风险显然就不再是价格的相关影响；不幸的是，资产中与其价格相关联的特殊的风险成分很少有提及。
PureInterestRate
Figure1
在过去的十年里，许多经济学家已经发展、建立了一个规范主义的模型用来解决在风险情况下的资产选择问题。
马克维茨继承冯诺依曼和莫根施特恩并发展形成了一个基于预期效用准则的分析并提出了一个证券投资组合选择问题的常规的方法。
托宾表示，在特定的情形下，马克维茨的模型表明投资决策过程能被分成两个阶段：
首先，选择特定的最佳风险资产组合；然后，每一个单独的决策都是关于这个组合和单个无风险资产的资金分配。
最近，希克斯用了一个与托宾提出的模型相类似的模型，得到了一个关于个体投资者行为的相类似结论，并且更精确地解释了“投资选择过程可以被一分为二”这样的自然情况。
这个过程的更加详细的论证，包括上下文提到的股票选择的严谨证明，已经被戈登和Gangolli提出。
尽管所有列举的作者事实上都引用了相同的投资者行为模型，至今还没有人尝试去延伸这个模型去创立一个风险环境下的资本价格的市场均衡理论。
我们将会阐述，这样一个延伸会提供一个理论，这个理论暗含着与以上所有传统金融理论相一致的主张。
此外，它揭示了资本价格和它的总风险的各个成分的关系。
因为这些原因，它保证了这个模型本身可以作为决定资产定价模型的合理性。
第二部分提供了风险条件下的个体投资者行为模型。
第三部分考虑了资本市场的均衡情况并得到资本市场线。
个体资本资产价格和其多样化风险组成之间所暗含的关系在第四部分中呈现。
Ⅱ、个体投资者最佳投资策略
投资者偏好函数
假设经济个体认为任何投资的结果都是按概率分布，即他认为可能出现的结果以概率（可能性）赋值或分布。
在评估特定投资的期望时，他习惯于基于两个参数进行评估—（投资标的的）期望与标准差，这能够用总效用函数的形式所表达：
U=f（Ew,σw）[注意此为效用的期望]
Ew表示未来回报的预期、σw表示实际的回报（财富水平）偏离预期回报的可能性（或程度）
假设在其他条件不变的情况下，投资者偏好更高的未来回报的期望水平（dU/dEw>0）。
此外,他们还表现出风险厌恶，即在给定Ew情况下，会选择更低σw水平的投资（dU/dσw<0）。
这些假定表明有关Ew与σw的无差异曲线是上升型的。
为了简化分析，我们假设投资者决定用他现有财富中给定数量（W1）去投资，Wt为他最终的财富水平、Ｒ为投资的回报率
可得
Wt=RWi+Wi
这种关系使得根据投资汇报率r表示投资者效用成为可能，因为最终的财富水平与投资回报率直接相关
U=g（ER-σR）
图2总结了无差异曲线下的投资者偏好模型，向下或向右移动的依次的曲线显示了更高水平的效用。
Figure2
投资机会曲线
投资者行为模型认为投资者是从一连串的投资机会中做出选择以使他的效用得到最大化。
任何一个可行的投资计划都可以用ER,σR平面上一个点来代表。
如果所有的计划都包含一些风险，那么由这些点组成的区域的外形将和图2中的相似。
投资者将从所有可能的计划中选择在无差异曲线上代表最高效用水平的点（点F）。
这个决定可以分两步实施：
首先，寻找有用的投资计划集合；然后，从这些投资计划中选择一个最高效用投资计划。
一个投资计划被认为是有效的当且仅当没有以下情况发生：
（1）相同的ER和更低水平的σR，
（2）相同的σR和更高水平的ER，（3）更高水平的ER和更低水平的σR。
因此投资计划Z不是有效的，因为投资计划B、C、D（在所有其他的计划里）都能比它更好。
这个被选出来的唯一的计划一定位于右下角的边界（AFBDCX）——投资机会曲线。
为了理解这个曲线的性质，考虑两个投资计划——A和B，每一个都包含一种或者更多的资产。
他们的期望收益和回报率的标准差如图3所示。
如果将个人财富的α部分放在计划A中，剩下的1-α部分放在B中，则预期组合回报率将位于两个计划的期望回报之间：
ERc=αERa+（1-α）ERb
组合回报的标准差为：
值得注意的是这个关系中包含rab，即这两个投资计划的预期回报率的相关系数。
值为+1时意味着投资者相信这两个投资的回报之间有精确的正相关关系，值为0意味着两个投资组合的回报之间是完全独立的，值为-1意味着投资者认为这两个投资组合之间是负相关的。
通常情况下，rab的值在0到+1之间。
图3告诉我们在两个不同rab假设的情况下不同的A和B的投资组合中ERc和σRc可能取的值。
Figure3
如果两种投资是完全相关的，这种组合将会为两点之间的直线，因为在这种情况下ERc和σRc将是线性相关于投资到两个计划的比例。
如果它们是非完全正相关，那么任何组合的标准差一定会少于完全相关时所获得的（因为rab更小）；因而这种组合必定表现为AB直线下的曲线。
AZB就是完全独立情况下的这样的曲线（rab=0）；如果是负相关的话，形成的轨迹更像是U性曲线。
投资机会曲线的形成方式是相对简单的概念，但是要具体的解决办法却是相当困难的。
以曲线的轨迹所表现的Er，σr可得值先由简单的个人资产组合来分析，然后再考虑多种资产组合。
右下边缘地带要么是直线，要么是增加的速度越来越快（d2σR/dE2R>0）。
正如之前所表明的，个人资产特征和投资曲线的位置之间关系的复杂性，使得很难提供一个简单的规则来对个人资产需求进行评估，因为对投资者所有投资机会曲线上的资产的影响，不仅仅只取决于它的预期报酬率（ER）和风险（σR），也同样取决于它与其他可能机会的相关关系（ri1,ri2,….,rin）。
这样的规则将由模型的均衡情况表示，正如我们将在第Ⅳ部分展示出来的一样。
纯利率
我们之前并未涉及无风险资产。
让我们把P当做这样一种资产，它的风险为0（σRp=0）、它的预期收益率，Erp，等于纯利率（根据定义）。
如果投资者将比例α的资产投资于P并且将其余的放在一些有风险资产A上，他将获得的预期收益率为：
ERc=αERp+（1-α）ERa
该组合的标准差为：
但是因为σRp=0，这导致了：
σRc=（1-α）ERa
这表示所有包含任何风险资产或是风险资产组合加上无风险资产的这样的所有组合必定有ER、σR值，这个值落在过上面两组分的直线上。
Figure4
因此在图4中，如果将一些钱从纯利率借过来（注：
这里的借是指从原本准备投资到无风险资产的资金中借，下文中的贷款则是指从银行或者其它机构以无风险利率贷出资金），并投资于资产A上，则所有组合的Er和σr都可从线PA上得到。
相似地，从纯利率借入资产并将其投资于B上，线PB上的组合奖获得对应取值。
然而，在所有这些可能性中，有一个是占优的：
这个投资方案在原始投资机会曲线与从点P延伸出的射线的切线处。
图4中，在所有经过从X到Φ原始曲线的投资组合中，一些以净利率贷出的Φ上的投资组合占有优势。
接下来考虑贷款的可能性。
如果投资者能以净利率贷入资本，这等同于缩减对P的投资。
贷款来买更多给定的资产的影响相对于用可能的一定的财富来说，简单来看就是让从借用情况导出方程中α的值为负数。
这显然使PA展线上的点成为可能情况，如果贷款被用来购买更多的A；PB展线上的点可能实现如果贷款被用来购买更多的B的话……
在借贷的情况下，当贷款可能的话，有一个投资计划会优于其他所有的。
当资金借入的利率水平和贷出的利率水平相等，这个投资计划则和借款情况下的最优计划是同一个。
在这些情况下，投资机会曲线就是PΦZ这条线。
此外，如果原始投资机会曲线在点Φ上不是线性的，投资选择过程将分为两个部分：
首先，选择最适宜的风险资产组合（点φ），然后借或贷款来达到PZ上的一个特定的点，这个点是无差异曲线与直线的切点。
在继续进行分析之前，考虑下另一种假设可能有用，在这个假设下，只有一种资产组合是有效的，即原始投资机会曲线和从点P发出的射线的切点。
即使贷款是可能的，投资者也会选择φ而非跟随他的风险规避选择Pφ线上一个更低的点。
大量的投资者选择将他们的一部分资金投放于相对低风险资产上，这种情况也不是不可能的。
另一种情况，如果可以贷款，但是存在一些限制，除了愿意承担风险的投资者外其他所有投资者将会选择Φ，那么假设以净利率借或者贷款并不如最初看起来那么麻烦。
Ⅲ、资本市场均衡
为了推导资本市场平衡条件，我们借助于两个假设。
首先，我们假设使所有的投资者在相同条件下能够借入或借出资金的共同的纯利率水平。
其次，我们假设投资者预期同质：
假定投资者同意第Ⅱ部分所述的各种投资―预期值，标准差和相关系数的预期。
不用说，这些都是非常严格的，无疑是不现实的假设。
然而，由于理论的合理检验并不是其假设的现实性而是其含义的可接受性，而这些假设是形成古典主义经济的重要组成部分的平衡条件，这一构想是很不明朗应该抛弃的——特别是考虑到替代模式导致类似的结果的缺乏。
在这些假设下，给定一组资本资产的价格，每个投资者会以相同的模式来做选择。
对于一组价格，选择情况可能如图5所示。
Figure5
在这种情况下，无差异曲线A1到A4上的有偏好的投资者会把他的一部分资金投资到纯利率水平上（无风险资产），另一部分投资到点φ所示的资产组合上，因为这会让他达到最优位置A*。
无差异曲线B1到B4上的有偏好的投资者会把他的全部资金投资到点φ所示的资产组合上，而无差异曲线C1到C4上的投资者会把他的所有资金加上额外的（借来的）资金投资到点φ所示的资产组合上来达到他的最优点（C*）。
在任何情况下，都将尝试只购买达到组合Φ的风险资产。
投资者购买位于资产组合φ上的资产的冲动，和对不在资产组合φ上的资产兴趣的缺乏，必然导致价格的变动修正。
在φ上的资产价格会上升，由于资产的预期收益跟未来收入的现值有关，他们的预期收益将下降。
这将减少包括这样资产的组合的吸引力；因此点φ（在其他所有中）将移动到其初始位置的左边。
另一方面，不在φ上的资产价格的下降将会导致他们的预期收益的提高和包含他们资产组合的点向右移动。
这样的价格变化将导致投资者行为的一些修改；新的组合或一些组合变得有吸引力，将导致不同的需求，从而进一步修改价格。
当这些过程继续，在有些像φ这样的点移向左边，而另一些先前低效率的点（如F和G）移动到右边的同时，投资机会曲线将变得更线性。
资本资产的价格当然必须继续改变直到价格达到一个状态，这个时候所有的资产都能在资本市场线上的至少一个资产组合中。
图6说明了这样一个平衡情况。
通过风险资产组合，所有阴影部分的可能性都能达到，而通过以纯利率借或贷资金加上风险资产投资，直线PZ上的点也能实现。
特定的可能性（那些在PZ线上从A点到B点）可以以以上任一种方式获得。
比如，点A表示的ER和σR值可以通过唯一的风险资产组合实现；另外，这一点也可以通过借款并投资于风险资产组合C实现。
在图6中所示的情况下，许多其他可替代的风险资产组合是有效（即，位于PZ线上），因而理论并不意味着所有的投资者都会持有相同的组合，认识到这一点很重要。
另一方面，所有这样的组合必须是完美的（正）相关的，因为他们是位于ER、σR区域边界的直线上，这揭示了了资本资产价格和不同类型的风险之间的关系关键。
Figure6
Ⅳ、资本资产价格
我们已经讨论过，在均衡条件下，对于有效的风险资产组合来说，期望收益和标准差应该是一个简单的线性关系。
迄今为止，关于个人资产的这样的关系没有任何评论。
特别地，考虑到不变持有的无效性，单一资产的ER,σR值将会落在资本市场线的上方。
此外，在他们的预期收益和总风险之间（σR）没有一致的关系情况下，这些点可能分散在整个可行域内。
然而，在他们的预期收益和最好被称为系统风险的东西之间存在一致的关系，我们现在将展示。
图7阐述了单个资本资产（图中的i点）和所有资产中的其一部分的资产有效组合（图中的g点）这两者之间典型的关系。
图中的曲线igg’涵盖了所有的期望收益ER和对应的σR值，这些数值可以通过单个资产i和资产组合g两者之间的有效组合来获得。
跟前面一样，我们用α的资产i和1–α的组合g来构建一个组合。
α＝1表示资金完全地投入到单个资产i中，而α＝0则表示投资组合g。
需要注意的是，α＝0.5表示的是以一半以上的资金投入到单个资产i中，其中一半是投资到i中的，另一半是投资到组合g中，而g中也包含了一些资产i。
这意味着当一个投资组合中没有单个资产i的份额时一定要用负数（α值）来表示。
图中的g’点表示了这样一个组合。
Figure7
图7中的曲线igg’与资本市场线（PZ）相切于g点。
这并不是一个巧合，所有这样的曲线都一定与资本市场线相切于均衡点，因为：
（1）他们一定过这个代表有效的组合的点；
（2）他们在这个点上连续。
在没有相切的情况下则表明着这些曲线会和资本市场线PZ交叉相交。
但是，一些可行的资产组合主要在于资本市场线所表示的可行的ER值和σR值的有效边界范围。
对于一些曲线比如曲线igg’一定要与资本市场线相切的要求显示了通向对于所有资产包括资产组合g不同风险要素的期望收益率有关的简单的公式。
如果单个资产i的回报和资产组合g的回报之间的关系被视为类似于曾今用于回归分析的一种方式，那么，其经济含义可以被很好的认识。
想象一下，给定若干关于两种投资方式收益的观察数据（根据过去经济发展形势分析的），这些情况所代表的点可用图8表示。
Ri观测值分散于平均数（可以近似于ERi）附近是资产总风险—σRi的表现。
但是一部分的分散化是由于资产组合g与期望回报的潜在关系，可以通过Big（回归线的斜率）。
Ri对于Rg的变化（包括Rg本身的变化）所做出的反应来解释Ri大幅度的变化。
这种资产风险的组成部分，我们称之为系统风险，其余与Rg不相关的部分，我们称之为非系统风险。
这种关于Ri与Rg的关系模型可以被当做一种预测模型来事先运用。
Big是一种当Rg变化时引起的Ri的变化的结果预测反应。
然后，给定σRg（Rg预测风险），因而每一种资产的预期风险的系统组成也就被决定。
这种解释使我们能够陈述源自例如IgG曲线和资本市场曲线在图9所示的形式相切的关系，所有进入高效G组合的资产必须有（预测的）Big和Eig于直线PQ。
价格会调整以使它们更加适应变化的Rg资产将有比那些不太敏感的更高的预期回报。
这是符合常理的。
很明显当资产被加入到组合中时资产风险的一部分是由于其对组合的回报率相关性不能被分散掉。
由于Big表示的这种类型的风险大小应该是直接相关的预期收益。
PureRateofInterest
Figure9
图9所示的关系提供了前面提出的有关资产风险和预期回报之间的关系这个问题的部分回答。
但迄今为止，我们都认为只有输入一些特殊的有效组合（g）持有这种关系。
如果还有另外一个组合被选中，不同的线性关系将被导出。
幸运的是这种限制是很容易克服的。
如图所示，在注脚中，我们可以任意选择高效组合中的一个，然后测量返回到所选择组合的每一个资产比率的预测应答；而这些系数将会与在图9描绘的完全相同的回报资产的预期收益率相关。
从所有有效组合的回报率将会完全相关的事实提供了任意选择一个的理由。
另外，我们可以选择而不是任何完美变量与收益的相关性的这样的组合。
图9中的垂线将显示回报的资本资产的变化所选择的变量率的系数测量的灵敏度的替代水平。
这个可能性表明，所有有效率的组合都会完美的相互联系来解释含义似乎是正确的。
对个人资产的预期回报和风险之间关系的解释也是很有帮助的。
虽然理论本身意味着只有有效组合的回报率将会完全相关，但我们仍可能认为这是由于他们对经济活动的整体水平的共同依赖。
如果这样，除了经济活动的波动所带来的风险，多样化会使投资者回避其他所有风险。
—系统风险及时在有效组合时仍旧存在。
既然其他所有类型的风险都会被多样化所避免，因此在评估风险时，只有投资回报率的反应才会跟经济活动的水平相关。
价格将会一直调整直到这种反应力的大小和预期回报之间存在线性关系。
不受经济活动影响的资产返回纯利率水平。
那些跟经济活动一起变动的资产将会适当保证更高的预期回报率。
这段论述为论文中提到的第二个问题提供了答案。
第三部分表明在整体资本市场下出于对均衡条件的考虑，这一理论符合古典主义（也就是资本市场线）。
我们已经表示过出于对资本资产的单独考虑，其收益率的影响也符合传统观念。
投资顾问通常的做法是会接受防守证券（指那些对经济变化反应小的）的低回报，而不是激进的证券（展现出明显的反应）。
正如前面提到对潜在需求的熟悉不能被视作缺点。
为生产传统金融理论的一些主要因素所提供的逻辑框架应该对其本身应该算是个很有用的贡献。
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