第六章力学量与本征态1.docx
《第六章力学量与本征态1.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第六章力学量与本征态1.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
第六章力学量与本征态1
第六章力学量与本征态§6-1量子力学中的力学量一力学量用算符表达
量子力学中的两个基本概念●量子态波函数●力学量（具有特定性质的算符
算符代表着对波函数的一种运算（但并不
一定都与力学量相对应:
（d
dxψ:
对波函数取导数,
ψ（rU:
对波函数乘以（rU,
*ψ:
对波函数取复共轭,
:
对波函数开平方根
考察位置算符r和动量算符p
ˆ:
rr→,
（6.1
∇-=→iˆp
p.（6.2
经典力学中的力学量还有:
势能（rV纯位置坐标的
函数（算符不变
力（（rrFV∇-=
速度m/pv=动量的函数（算
符可由动量的对应关系得出
动能mpT2/2=动能
2222ˆ（222PTmmmxyz
222222∂∂∂==-∇=-++∂∂∂（6.3
角动量
∇⨯-=⨯=rprL
iˆˆ（6.4
在直角坐标系中的分量表达式
（iˆˆˆy
zzypzp
yLyzx∂∂-∂∂-=-=（iˆˆˆz
xxzpxp
zLzxy∂∂-∂∂-=-=
（6.5
（iˆˆˆx
yyxpypxL
xyz∂∂-∂∂-=-=
角动量算符L
ˆ的模方（Lˆ的平方LL
Lˆˆˆˆ2
2⋅==L222ˆˆˆzyxLLL++=.（6.6
角动量在球面坐标系的表示
]sin1sin（sin1[ˆ2
2
222ϕθθθθθ∂∂+∂∂∂∂-=L
（6.7
ϕ∂∂-=iˆzL（6.8
θ
θθθθ222
2sinˆsin（sinˆLL+∂∂∂∂-=（6.9
利用了:
ϕ
θcossinrx=,
ϕθsinsinry=,θcosrz=;
2222zyxr++=,r
z=
θcos,xy
=ϕtan.
图21-1球面坐标系
二量子力学中的哈密顿量
1、哈密顿算符薛定谔方程的普遍形式
在量子力学中,薛定谔方程的普遍形
式是ψψHt
ˆi=∂∂（6.10
式中Hˆ是体系的哈密顿算符（=动能函数+
势能函数
VTH+=,
（6.11
对于一个粒子在势场V（r中运动的情况,有（2ˆ22rVmH+∇-=,
（6.12
讨论:
●哈密顿算符决定了体系的量子态随
时间的变化规律,在量子力学中占有
特别重要的地位。
当我们探索用新的
理论模型来解释物理现象时,核心问
题之一就是要找到该体系哈密顿算
符的合理表达式。
●式（6.10并不意味着算符t
∂∂i等于算符H
ˆ.
在自然界中真正能够实现的波
函数ψ（t的演化必须满足薛定谔
方程,而绝不是说方程对于任意波函
数ψ（t都成立。
2、定态薛定谔方程
当哈密顿算符Hˆ不显含时间t时,薛定谔
方程ψψHt
ˆi=∂∂可以分离变量,对应的定态薛定谔方程（能量本征值方程为ψψEH=ˆ
ψE能量本征函
数
能量本征值
哈密顿算符为能量算符
§6-2本征值和本征函数线性厄米
算符
一力学量算符的本征值方程
1、本征值方程和简并
一般情况下,当算符A
ˆ作用在任意波函数ψ上时,其结果往往都是另外一个函数。
算符A
ˆ的本征值方程nnnAψψ=ˆ
（6.14
算符Aˆ的本征函数
算符Aˆ的本征值
●在求解本征值方程时,如果n作为力学量A的本征态,则还要满
足物理上的一些要求。
●由力学量算符的相应力学量的可能取值为本征值方程解出的全部本征值。
如果用测量仪器测量这个力学量的取值,则只能测得其本征值。
●简并度和简并态
如果属于本征值
n
A的本征态
是
n
f（>1个,即力学量A的本征值方程为
,2,1（,ˆnnnnfAA==αψψαα（6.15
则称本征值nA是nf重简并的。
称fn
为简并度。
在出现简并时,简并态
的选择并不是唯一的。
在出现简并时,简并态的选择
不是唯一的,而且一般说来,这些
简并态并不一定彼此正交。
但是,
可以证明,总可以把它们适当地线
性叠加,使之彼此正交。
在常见的
一些问题中,当出现简并时,为了
把某力学量A的简并态确定下来,
往往可以用A以外的其他力学量的
本征值来对简并态进行分类,此时
正交性问题将自动得到解决。
这就
涉及到了两个或多个力学量的共
同本征态问题。
2、角动量的z分量的本征值方程
（例子
角动量的z分量zLˆ的本征值方程ψψϕ'izL=∂∂
-,
（6.16
本征值
改上式为lni'/zLψ
ϕ∂=∂,其解为
/'i（ϕϕψzLC=,
（6.17
归一化因子
本征值'zL=?
当π+→2ϕϕ时,即当体系绕z轴旋转一
周时,体系将回到空间原来的位置。
可以证明,为了保证作为一个力学量所相应的算符zL
ˆ的厄米性,要求波函数满足周期性边条件（2（ϕψπϕψ=+,
即
/'i/2（'iee
ϕϕzzLLCC=π+,1e
/2'i=πzL.
（6.18
则本征值
2,1,0（,'±±==mmLz
（6.19
可见,微观体系的角动量在z轴方向的分量的本征值'zL是量子化的,它只能取0,,±2,±中的一个。
相应的归一化本征函数,2,1,0（,e21（i±±=π=mmmϕϕψ
（6.20
2001年4月25日
3、动量的x分量的本征值方程（例子
动量的x分量的本征值方程ψψ'ixpx
=∂∂-,（6.21
本征值
上式改写为
'ilnpx=∂∂ψ,其解为/'i'e
（xppxxCx=ψ.
（6.22'xp=?
若粒子位置不受限制,则'xp可以取一
切实数值。
与连续的本征值'xp相应的波函
数所表示的是不能归一化的平面波,习惯
上取/'i'e21（xppxxxπ=
ψ,（6.23
则有"'（d（（*"'xxppppxxxxx-δ=⎰∞+∞-ψψ.
（6.24
平面波的“归一化”就用δ函数的形式表示
了出来。
在三维情况下,动量算符的本征值方程
是
（（irprppψψ=∇-,
（6.25
动量算符
的本征值
在直角坐标系中的三个分量px,py和pz
均为实数。
动量本征值方程的解是
/i2/3e2（1
（rppr⋅π=ψ,
（6.26
为/p=λ的单色平面波。
在量子力学中,平面波代表粒子处在动
量一定、在空间各处出现的概率都相同的状
态,这是一种理想化的模型。
它不能用通常的办法归一化,而是采用δ函数的形式“归一化”。
二线性厄米算符
若体系处在Aˆ的本征态ψn,则每次测量力学量A所得结果都是An。
1、线性算符
线性算符的运算规则
22112211ˆˆ（ˆψψψψAcAcccA+=+
（6.27
whereψ1和ψ2:
两个任意波函数,
c1和c2:
两个任意常数,一般为复数。
证明:
此假设来自态叠加原理。
why?
设1φ和2φ描写的是某力学量的算符A
ˆ的本征态（简并态,它们是同属于一个本征值A'。
由态叠加原理,线性组合2211φφcc+所
描写的也必然是属于本征值A'的本征态。
得此结论的条件:
算符A
ˆ是线性的。
why?
如果A
ˆ是线性算符,则有22112211ˆˆ（ˆφφφφAcAcccA+=+
2211''φφAcAc+=
（'2211φφccA+=;
反之,若A
ˆ不是线性算符,则上式就不成立,这就会与态的叠加原理相矛盾。
以下凡是提到算符,均指线性算符。
例、动量算符∇-=iˆp
是线性算符。
例、取复共轭不是线性算符,因
*****（22112211ψψψψcccc+=+（
通
常1122*
*ccψψ≠+
2、波函数的内积
定义一个量子体系的任意两个波函数ψ与ϕ的内积
⎰=ϕψτϕψ*d,（,
（6.28
其中积分对体系的全部空间坐标进行,dτ是坐标空间体积元。
一维粒子⎰τ
d=⎰∞
+∞-xd;
三维粒子⎰τd=⎰⎰⎰+-∞∞
zyxddd.内积的性质:
对于任意波函数ψ与ϕ以及任意复
常数c1和c2
0,（≥ψψ,
（7.29a
（*,（ψϕϕψ=,（7.29b
（,（,（22112211ϕψϕψϕϕψcccc+=+,（7.29c
（*,（*,（22112211ϕψϕψϕψψcccc+=+.（7.29d
3、厄米共轭算符
●算符A
ˆ的复共轭算符*ˆA:
将表达式
中的所有量,都换写成其复共轭。
例、动量算符的复共轭算符
=*ˆp
∇
=∇-i*i（=
pˆ-.（7.30
●算符A
ˆ的转置算符~
ˆA:
⎰⎰=*ˆdˆ*d~
ψϕτϕψτAA
或*ˆ*,（ˆ,（~
ψϕϕψAA
=.（7.31
●算符Aˆ的厄米共轭算符或伴随算符+A
ˆ⎰⎰=+ϕψτϕψτ*ˆ（dˆ*dA
A或,ˆ（ˆ,（ϕψϕψA
A=+.
（7.32
●厄米共轭算符就是转置共轭算符
证:
ˆ（ˆ,（ϕψϕψAA=+
（厄米共轭算符定义
*ˆ,（ψϕA
=（复共轭算符定义
**ˆ*,（ψϕA=（复
共轭算符定义
*ˆ,（~
ϕψA=.（转
置算符*ˆ~
A
定义（7.
33
4、厄米算符（自伴算符
满足下列关系的算符A
ˆ:
ˆ（ˆ,（ϕψϕψAA
=或⎰⎰
=ϕψτϕψτ*ˆ（dˆ*dAA.（7.34
利用厄米共轭算符的定义式
ˆ（ˆ,（ϕψϕψA
A=+,可以得到ˆ,（,ˆ（ˆ,（ϕψϕψϕψ+==AA
A.（7.35
因此,厄米算符的定义式也为
.（7.36
三厄米算符的性质厄米算符与力学量
1、厄米算符的平均值必为实数
假设一个体系处于波函数ψ所描写的量子态,当对力学量A进行多次测量时,一般说来,可能出现各种不同的结果,各有一定的概率。
系综:
设大量的、完全相同的、均处在用波函数ψ描述的状态体系的集合。
平均值或期望值:
对系综进行多次测量,然后对所得的结果求平均,则将会发现这个值趋于一个确定值。
以下一般都假定波函数ψ已归一化（上
式中的分母1,（=ψψ.
●厄米算符平均值的基本性质:
体系
在任何状态下,其厄米算符的平均值
必为实数。
证明:
利用厄米算符的性质,对于任意
波函数ψ,有
ˆ（ˆ,（ψψψψAA
==*（*ˆ,（A
==ψψ,（6.38
这表明该平均值是实数。
证毕。
●可证:
在任何状态下平均值均为实
数的算符必为厄米算符。
●实验上可观测力学量的算符必须是
厄米算符。
因可观测量当然要求在
任何状态下的平均值都是实数。
故,在量子力学中厄米算符具有特殊的
重要性。
2、厄米算符的本征值必为实数
厄米算符本征值的基本性
质。
证明:
由本征值方程nnnAAψψ=ˆ可见,在
ψn态下A
ˆ的平均值就等于其相应的本征值
An,即对于归一化本征函数ψn有nnnnnnAAA===,（ˆ,（ψψψψ.
（6.39
再根据厄米算符平均值的基本性质,即可得出上述结论。
3、厄米算符本征函数的正交性
如果函数1ψ和2ψ的内积为零,即
0d*
（2121==⎰τψψψψ,（6.40
则称1ψ和2ψ两函数是相互正交的,式中的积分遍及变量的整个变化区域。
厄米算符的本征函数的基本性质:
厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。
证明:
设nnnAAψψ=ˆ,
mmmAA
ψψ=ˆ,假定内积,（nmψψ存在,可得
（,ˆ（nmmnmAA
ψψψψ=,（利用厄米算符的本征值必为实数的性质
再利用厄米算符的定义AAˆˆ=+,可得
（ˆ,（,ˆ（nmnnmnmAAA
ψψψψψψ==,将以上两式相减,立即得到
0,（（=-nmnmAAψψ.即,若Am≠An,必有0,（=nmψψ.证
毕。
通常,总是把厄米算符的本征函数归一化
（ym,yn=,òym*yndt=dmnì1m=n=íî0m¹n（6.41i.e.，厄米算符的本征函数组成正交归一函数系。
[例题21.1]~试证明¶=-¶，（¶+=-¶.¶x¶x¶x¶x[解]根据转置算符的定义式ˆˆòdty*Aj=òdtjAy*~或ˆˆ（y,Aj=（j*,Ay*,~（21.47有+¥ò-¥y~¶¶+¥*jdx=ò-¥jy*dx.¶x¶x对上式右边作分部积分，可得724
+¥ò-¥j+¥¶¶+¥y*dx=jy*-ò-¥y*jdx.¶x¶x-¥利用波函数的有限性条件，上式右边第一项为零，于是得到+¥ò-¥y~¶¶+¥*jdx=ò-¥y*（-jdx.¶x¶x因为y和j都是任意波函数，所以由上式可得~¶¶=-，¶x¶x再由式（21.49Aˆ+ˆ=A*可得~~¶+¶¶¶（=（*=（-*=-.¶x¶x¶x¶x2001年4月27日725
升级会员 