初中数学竞赛讲义一元二次方程公共根问题.docx
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初中数学竞赛讲义一元二次方程公共根问题
…………………………
一元二次方程公共根问题
若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题，
解题方法：
1、直接求根法，再讨论根与根之间的公共关系。
2、由题意用以下解题步骤：
若两个一元二次方程只有一个公共根，则：
（1）.设公共根为α，则α同时满足这两个一元二次方程；
2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；α.用加减法消去
（2）（3）.把共公根代入原方程中的任何一个方程，然后通过恒等变形求出公共根．或求出字母系数的值或字母系数之间的关系式．
2例1已知一元二次方程x-4x+k=0有两个不相等的实数
根，
1.求k的取值范围．
2-4x+k=0xk是符合条件的最大整数，且一元二次方程2.如果2+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值．与x
解：
（1）b2－4ac＝16－4k＞0,k<4；
（2）由题意得：
k＝3.∴x2－4x＋3＝0,即（x－1）（x－3）＝0，解方程，得x1=3，x2=1，
当x=3时9＋3m－1＝0,m＝-8/3,
当x=1时，1＋m－1＝0,m=0。
∵m2＋4＞0∴此时m的值为m＝0,或m＝-8/3.
22+ax+1=0只有一个公共的+x+a=0与2例若两个关于x的方程xx实数根，求a的值
2+α+a=0α①有为公共根α，则的方两：
解设个程2+aα+1=0②α（（（（（（（．
…………………………
①-②得（1-a）α+a-1=0，即（1-a）（α-1）=0因为只有一个公共根，所以a≠1，所以α=1
22+1+a=0，1代入xa=-2+x+a=0得把α=1
又解：
两个方程相减，得：
x+a-ax-1=0，整理得：
x（1-a）-2+x+a=0方程x，a-1=0即a=1时，x-1）（1-a）=0，若（1-a）=0，即（22-4ac都小于0的b，即方程无解；故和xa≠1，∴公共根+ax+1=0是：
x=1．把x=1代入方程有：
1+1+a=0∴a=-2．
2-（a+b）x+ab=0与b＞2，试判断关于x的方程x例3、已知a＞2，2-abx+（a+b）=0有没有公共根，请说明理由．x
22-abx+（xa+b）-（a+b）x+ab=0解：
不妨设关于x的方程x与=0有公共根，设为x0，
22?
abx+（a+b）＝02?
（a+b）x+ab＝0①x则有x0000整理可得（x+1）（a+b-ab）=0．∵a＞2，b＞2，∴a+b≠ab，∴x=-1；00把x=-1代入①得1+a+b+ab=0，这是不可能的．所以关于x的两个0方程没有公共根．
2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b）=0x又解：
所以其两根分别是a和b
2-abx+（a+b）=0有1根x=a,代入若方程：
x,得：
22b+a+b=0–aa2-a-b=0（b-1）a（（b-1）a-b）（a+1）=0
得：
a=b/（b-1）,或a=-1（a<2,舍去）
由a=b/（b-1）>2,（其中b-1>0）,得：
b>2（b-1）
即：
b<2
这与b>2矛盾
2-abx+（a+b）=0有1根x=b,也能推出同样同理,方程：
x的矛盾
所以两个方程没有公共根
例4、求的值，使得一元二次方程，有2202）?
（?
x?
k?
x0x?
kx1?
?
k相同的根，并求两个方程的根．
（（（（（（（．
…………………………
解答：
不妨设a是这两个方程相同的根，由方程根的定义有
2+ka-1=0，①a
2+a+（k-2）=0．②a
①-②有ka-1-a-（k-2）=0，
即（k-1）（a-1）=0，所以k=1，或a=1．
2+x-1=0，所以两个方程有两个相）当k=1时，两个方程都变为x（1
同的根，
没有相异的根；
，时，代入①或②都有k=0
（2）当a=1
22+x-2=0-1=0，x．此时两个方程变为x
2=-1；x=1，解这两个方程，xx-1=0的根为21
2．=-2=1，xx+x-2=0的根为x21
为两个方程的相同的根．∴x=1
和例5二次项系数不相等的两个二次方程22202a）a（?
?
2）x?
（ax（a?
1）?
?
有一个公共根，求为正整数）（其中，2220?
bx（?
b2）?
x?
（b?
2）1）b（?
baa?
aba的值。
a?
b?
a?
b
（（（（（（（．
…………………………
解答：
222+2a）=0得，[（a-1）x-（-a（+2）x+（aa+2）由方程（a-1）x]（x-a）=0
；x=a2222=0解得（bx）-（b+2b+2）x+同理可由方程（b-1）
；x=b2为不相等的正整数，而两个方程有一个公共根．∵a，b，，或a=4或3，即a=2，b=4只能为所以a-11b=2．也是同样的结果）（若有，当a=2，b=4（把a=4，b=2代入计算的结果一样）
k的两个一元二次方程：
方程①：
已知关于例6x0?
21?
）x?
（）（1?
x?
k22
方程②：
0?
xk?
x（2?
1）?
2k3?
2
（1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；
2（）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程
没有实数根，并化简（（（（（（（．
…………………………12k?
4?
1）4（k?
2
的求代数式）若方程①和②有一个公共根，（3aa?
5k?
3a2（a?
4a?
）22值．
解答：
练习：
已知关于的一元二次方程有两个实数根。
1.x06?
x?
k?
x2的取值范围；
（1）求k与如果取符合条件的最大整数，且一元二次方程）（2k0k6x?
?
?
x2（（（（（（（．
…………………………
有一个相同的根，求常数的值。
m0?
?
1x?
mx2
∵，1）解（∴k≤9；是符合条件的最大整数且k≤9，）∵k（2∴k=9，x1=x2=3；时，方程x2-6x+9=0的根为当k=9，x2+mx-1=0得9+3m-1=0把x=3代入方程-8/3∴m=
有两个实数根。
2.已知一元二次方程0k?
x?
4x?
2的取值范围；
（1）求k与且一元二次方程如果取符合条件的最大整数，
（2）k0k?
x?
4x?
2的值。
有一个相同的根，求此时m0?
?
1x?
mx2解答：
（1）△>0k<4
解得k=3,说明
（2）k是最大整数231x和-4x+k=0的根是2,m=01时+mx-1=0的根是x2,m=-8/33时+mx-1=0的根是x
有两个不相等的实是一元二次方程3.已知03?
2kx?
k?
xx,x（k?
1）?
221数根。
）求1的取值范围；（k取符合条件的最小整数时一元二次方1）的条件下，当
（2）在（k的值。
与程只有一个相同的根，求m0?
?
mx?
m?
x?
xk?
0x222
解答：
1）∵方程有两个不相等的实数根，（220
）＞（（k+1）k-3）（∴△=b-4ac=2k-4（（（（（（（．
…………………………
解得k＞-3/2
∵方程是一元二次方程
∴k+1≠0，
∴k≠-1．
∴实数k的取值范围为：
k＞-3/2且k≠-1．
（2）由
（1）可得：
k取最小整数时k=0．
2-x+0=0，∴x
解得x=0，x=1．2122=0，m=0．x=0代入x+mx-m①把22=0得，+mx-mx=1②把代入x
2-m-1=0，解得m
m=
的值与方程、已知方程有公共根，求4k0）?
1x?
6x?
（k?
20?
?
xkx?
72及两方程的所有公共根和所有的相异根。
x，依题意得解答：
设两个方程公共根为2＝0①kx?
?
X72＝0②6x?
X（k+1）?
，）=0-6+k）x+（6-k（②-①得，取任意值，两个方程得解都相同．两个方xk=6时，当-6+k=0，即=-1；x=7，x程是同一个式子．方程得解是21x=1．当k≠6时，解得2．，k=-6x=1代入x1-k-7=0-kx-7=0得，把2．=-7x=1，x于是两方程为：
x+6x-7=0③，212．=5=1-6x+5=0④，x，xX21（（（（（（（．
…………………………．和5；其公共根为1，相异根为：
-7故答案为：
k=-6
22b-x-b=0+bx+1=0与x5.关于x的方程x有且只有一个公共根，求的值．x=t，则解：
设方程的公共根为20
（1）+bt+1T＝20
（2），?
b＝Tt?
23）-t（由
（2）得b=t3b=2．，当t=-1）得：
t时，+1=0，解得，t=-1将（3）代入（1
22只有一个公共根，则和x●变式：
若两个方程x+bx+a=0+ax+b=0）（
a+b=-1.
．a+b=0C．a+b=1DA．a=bB．22+a=0②．，则x+bx+ax+b=0①x解：
设公共根为x00000，）=0）（x-1a-b①-②，得（0时，所以=1时，方程可能有两个公共根，不合题意；当x当a=b0D．1+a+b=0，a+b=-1．故选
和2+ax+b=0=1,且方程x2●变式：
已知实数a,b满足a2+bb的值求a、x2+bx+a=0至少有一个公共根,a=b=±第一种情况：
有两个相同的根，则a=b,即解:
2第二种情况：
有一个相同的根，则x2+ax+b=0和x2+bx+a=0，两式作差，得（a-b）（x-1）=0可得x=1可得a+b+1=0
22=1,可解得a=-1,b=o或a=0，a加上b=-1+b
6.若方程和只有一个公共根，求的）?
b（a20120a?
?
xax?
b0?
xbx?
?
22值。
解答：
设公共根为t，
22+bt+a=0，t+at+b=0，t则（（（（（（（．
…………………………
∴（a-b）t=a-b，
∵t有唯一的值，
∴a-b≠0，
∴t=1，
22012=1）a+b=-1故答案是（x-1+ax+b=0得a+b+1=0．把t=1代入
7.当是什么实数时，方程与方程有一0?
1）x?
（p?
xpx?
3?
0?
x?
422p个公共根。
解答：
2-4x-p+1=0.
（1）X2+px-3=0.
（2）x
（2）-
（1）:
（x+1）p+4x-4=0
p=4（1-x）/（x+1）
代入
（2）：
2+4x（1-x）/（1+x）-3=0x
32+x-3=0-3xx
2+1）（x-3）=0（x
x=3
p=4（1-3）/（1+3）=-2
8.设、、为三个互不相等的实数，且，已知关于的方程xac1c?
b和方程有一个公共根，方程和方0a?
x?
x0?
?
x?
bx?
c0?
axx?
?
1222程有一个公共根，试求的值。
c?
b?
a0?
b?
cxx?
2
，由x22+x2+a=0得x1=，同理，，分析：
设x12+ax1+1=0x12+bx1+c=0，（c≠1），再根据韦达定理即可求解．x2=x22+cx2+b=0，得），两式相减，得（x12+ax1+1=0，x12+bx1+c=0a-b解答：
解：
设（（（（（（（．
…………………………
x1=，x1+1-c=0，解得x2=，x22+cx2+b=0，得（c≠1），同理，由x22+x2+a=0∵x2=，是第一个方程的根，∴∵x1与是方程x12+ax1+1=0的两根，是方程x2+ax+1=0和x2+x+a=0的公共根，∴x2，x2-1）=0）因此两式相减有（a-1（时，这两个方程无实根，当a=1，x2=1，从而x1=1故，，b+c=-1于是a=-2．所以a+b+c=-3
）有整数根，是否存在整，（其中9.已知方程①：
0?
c0bx?
?
cax?
2与方程①有相同的整，使得方程②：
数0c?
）x?
bax?
（?
p）x?
（?
p23p的值及相应的公共根，若不存在，请说数根？
如果存在，请求出p明理由。
解答：
x+c=0
）x2+（b+Px3+（a+P）ax2+bx+c=0而则x3+Px2+Px+ax2+bx+c=0c≠0），其中则方程必有一个根为∴x3+Px2+Px=00，而ax2+bx+c=0（根无0有相同的整数根∴x2+Px+P=0与ax2+bx+c=0而方程x2+Px+P=0的根为，（a+P）x2+b+P）x+c=0的根为0（时方程而4P=0从而或，P=0x3+根，不合题意0（其中ax2+bx+c=0而，c≠0）无（（（（（（（．
…………………………
∴P=4，此时方程x2+Px+P=0的根为-2
●已知关于x的方程x2+x-3m=0与x2-mx+3=0只有一个相同的实数根，求m的值．
解：
将方程x2+x-3m=0和x2-mx+3=0组成方程组得，
x2+x?
3m＝0
x2?
mx+3＝0，
解得x=3，m=4．
10.是否存在某个实数，使得方程和方程mx?
2x?
2?
0m?
0?
xmx?
22有且只有一个公共根？
如果存在，求出这个实数及两方程的公共根；若不存在，请说明理由。
解：
假设存在实数m，使这两个方程有且只有一个公共实数根a，由方程根的定义，得
a+（2-m）=0，）得：
（m-2）
（1）-（2，，或解得：
m=2a=1时，两个已知方程为同一方程，且没有实数根，当m=2舍去，所以，m=2m=-3时，求得第一个方程的根为）得时，代入（1m=-3,当当a=1
第二个方程的根为时，两个方程有且只有一个公共当m=-3所以，存在符合条件的m,。
根x=1
（（（（（（（．
…………………………
11.如果方程和方程有一个公共根是3，0?
?
2bx?
bxax?
?
6?
015ax22求的值，并分别求出两个方程的另外一个根。
ba,
答案：
把x=3分别代入两个方程，
得
9a-3b-6=0
9a+6b-15=0
解得
a=1
b=1
把a=1，b=1代入ax2-bx-6=0得x2-x-6=0，
（x-3）（x+2）=0，
解得：
x1=3，x2=-2．
方程ax2-bx-6=0的另一个根为-2．
把a=1，b=1代入ax2+2bx-15=0得
x2+2x-15=0，
即（x-3）?
（x+5）=0，
解得x1=3，x2=-5．
方程ax2+bx-15=0的另一个根为-5．
12.已知两个方程，有一个公共根为1，求证0?
cx?
d?
b?
xax?
?
0x22
1.
一元二次方程也有一个根为的公共根，x2+ax+b=0和x2+cx+d=0是方程证明：
∵x=1，∴a+b+1=0，c+d+1=0∴a+c+b+d+2=0，①∴b+d=-a-c-2
（（（（（（（．
…………………………
（（（（（（（．
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